名画图片-一把刀顺水漂有眼睛没眉毛

由“三角形内切圆”引出的2个中考命题
我们知道：和三角形各边都相切的圆叫三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，
它是三角形3条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相 等，这个距离就是三角形的内
切圆的半径（如图甲）.观察图形3个角平分线将三角形分成3个三角形， 而每个三角形的
高均为内切圆的半径，底为三角形的三边长.所以
S
△ABC
=S
△OAB
+S
△OBC
+S
△OCA
=
1< br>2
1
2
ABr
+
1
2
BCr
+
1
2
CAr

A
O
┓
B
(ABACBC)r
（r为内切圆的半径）
C
=
从上述三 角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法，有些图形的面积可以
通过适当的分割，分割为若 干个可求图形的面积，利用整体等于各个部分面积之和从而获得
上面的结论.
我们知道三角形 是多边形中最简单的多边形，而且任意的三角形都存在唯一的内切圆，
但四边形不一定存在内切圆，假若 四边形存在一个内切圆上述结论成立吗？对于任意的n
边形呢？请欣赏如下的江苏省淮安市06年的一道 中考题：
例1、阅读材料：如图(一)，△ABC的周长为
l
，内切圆O的半径为r ,连结OA、OB、OC，
△ABC被划分为三个小三角形，用S
△ABC
表示△AB C的面积

∵ S
△ABC
=S
△OAB
+S
△OBC
+S
△OCA

1
2
ABr
，S
△OBC
=
1
2
1
2
BCr
，S
△O CA
=
1
2
CAr
=
1
2
1
2
CAr
又∵S
△OAB
=
∴S
△ABC
=
公式)
1
2
ABr
+
BCr
+
lr
(可 作为三角形内切圆半径
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二))且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边 形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边
长分别为a
1
、a
2
、a
3
、„、a
n
，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由) ．
分析：本题创设了一个以“阅读材料—三角形的面积与内切圆半径及周长之间关系”的
问题 背景，通过阅读使读者体会到“同一个图形分割后整体的面积等于各个部分之和”，其
中的巧妙之处在于 分割后3个三角形的高均为内切圆的半径，因而三角形的面积等于三角形
的周长之半与内切圆半径之积.
（1）首先根据三边之间关系判定是直角三角形，即5
2
+12
2
= 13
2
由勾股定理的逆定理可知：
边长分为5、12、13的三角形，所以S
△ABC
=
1
2
512
=30，设内切圆半径为
r，则 有30=
1
2
O
(51213)r
，所以r=2
（2）设四边形内切圆的圆心为点O，分别连接OA、OB、OC、OD，将四
边形ABCD分割为4个 三角形△AOB、△BOC、△COD、△DOA，它们的高视为四边形ABCD的内

切 圆半径，则有S=
1
2
(abcd)
·r，所以
r
2s
abcd

（3）根据阅读材料及问题（2）的 解答过程，进行类比推理，不难猜想：面积为S，各
边长分别为a
1
、a
2< br>、a
3
、„、a
n
的n边形(n为不小于3的整数)内切圆半径公式< br>r
2s
a
1
a
2


an
.
评注：本题是提供的是“一个多边形如果存在内切圆，那么这个多边形的面积如何用 多
边形的周长及内切圆的半径来表示”的研究课题，试题首先从最简单三角形的内切圆入手让
学 生通过阅读获得问题的解题方法，经历解决问题的过程并掌握得到问题的结论，然后让学
生类比迁移问题 的处理方法，去解决四边形内切圆问题，然后从特殊到一般让学生猜想对任
意的n边形的内切圆的半径与 n边形的面积与各边长之间的关系. 通过本题的解答读者应该
掌握“学会从‘特殊情况、简单情况’入 手，观察分析推理，得出规律后再向‘一般情况’
推广的研究问题“的数学方法
例2、(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.
(1)如图2-1，若半径为r
1
的⊙O是Rt△ABC 的内切圆，求r
1
；
(2)如图2-2，若半径为
r
2
的 两个等圆⊙O
1
、⊙O
2
外切，
且⊙O
1
与AC、 AB相切，⊙O
2
与BC、AB相切，求
r
2
；
A (3)如图2-3，当n是大于2的正整数时，若半径为
r
n
的
n个等圆 ⊙O
1
、⊙O
2
、„、⊙O
N
依次外切，且⊙O
1
与AC、AB相切，⊙O
n
与BC、AB相切，⊙O
2
、⊙O
3
、„、
⊙O
n-1
均与AB边
C
相切，求
r
n
.






解(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8. ∴AB=
ACBC
如图2-（4），设⊙O
1
与Rt△ABC的边AB、BC、CA分别切 于
点D、E、F，连接O
1
D、O
1
E、O
1
F、 AO
1
、BO
1
、CO
1
.于是，O
1
D
⊥AB，O
1
E⊥BC，O
1
F⊥AC，
S
A O
1
C
=
S
BO
1
C
=
SAO
1
B
22
C
O
1

图2-1
B
C
图2-3
O
1

A
图2-2
O
2

B
A
O
1
O
2

O
3

„
O
n
B
=10.
C
F
O
1

E
1
2
1
2
×AC×O
1
F=
×BC×O
1
E=
1
2
1
2
1
2
×AC×r
1
=3r
1
，
A
×BC×r
1
=4r
1
，
1
2
D
B
图2-(4)
=×AB×O
1
D=×AB×r
1=5r
1
，

S
ABC
=
1
2
×AC·BC=24.
+
S
BO
+
S
AO< br>，∴24=3r
1
+4r
1
+5r
1
.
C
图2-（5）
O
1

N
M
O
2

B
又∵
S
ABC
=
S
AO
∴r
1
=2.
1
C
1
C
1
B
(2)如图2-（5）连接AO
1
、BO
2
、CO1
、CO
2
、O
1
O
2
，则
SAO
1
C
=
S
BO
2
C
=
1
2
1
2
×AC·r
2
=3r
2
，
×BC·r
2
=4r
2
，∵等圆⊙O
1
、⊙O
2
外切，∴
A
O
1
O
2
=2r
2
，且O
1
O
2
∥AB.过 点C作CM⊥AB于点M，交O
1
O
2
于点N，则CM=
－r
2
=
24
5
ACBC
AB
=
24
5< br> ，CN=CM
—r
2
，
=
1
2
∴
S
CO
1
O
2
O< br>1
O
2
·CN=(
1
2
1
C
24< br>5
—r
2
)r
2
,
C
∴
S梯形AO
1
O
2
=
B
(2r
2
+10 )r
2
=(r
2
+5)r
2

+
S
BO
+
S
CO
+
S
梯形AO

A

K
O
2

H
„
∵
SABC
=
S
AO
2
C
1
O
21
O
2
B
O
1

O
3

O
n

B
∴24=3r
2
+4r
2+(
24
5
—r
2
)r
2
+(r
2< br>+5)r
2
.解得r
2
=
10
7
图2-（6 ）
如图2-（6），连接AO
1
、BO
n
、CO
1
、CO
n
、O
1
O
n
，则
S
AO1
C
=
1
2
×AC·r
n
=3r
n< br>，
S
BO
n
=
C
1
2
×BC·r
n
=4r
n
，∵
等圆⊙O
1
、⊙O
2、„、⊙O
N
依次外切，且均与AB边相切，∴⊙O
1
、⊙O
2
、„、⊙O
N
均在直线
O
1
O
n
上，且 O
1
O
n
∥AB.∴O
1
O
n
=(n－2 )2r
n
+2r
n
=2(n－1)r
n
，过点C作CH⊥A B于点H，交O
1
O
N
于点
K，则CH=
∴
SCO
24
5
，CK=
1
2
24
5
—r
n
，
24
5
1
O
n
= O
1
O
n
,CK=(n－1)(
1
2
1
C
—r
n
)r
n
,
∴
S
梯形AO
1
O
n
=
B
[2(n－1)r
n
+10]rn
=[(n—1)r
n
+5]r
n

+
SBOnC
+
S
CO
24
5
1
O
n
∵
S
ABC
=
S
AO
+
S
梯 形AO
1
OnB
,
∴24=3r
n
+4r
n+(n－1)(—r
n
)r
n
+[(n—1)r
n
+5 ]r
n
,解得r
n
=
10
2n3

评注 ：本题是探索相切圆的半径规律型问题，要求同学们善于观察图形，能从最简
单情况探究问题的解法中得 到启示，从而根据已有的知识经验对复杂图形进行分解计算
与探究，找出其中的隐含变化规律，从而迁移 问题的解法推广得一般的结论.