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菱形面积公式的拓展
【专题综述】
大家在之前的学习过程中不难 发现，我们在求菱形面积时，大多利用平行形四边形面积公式底×高计算，有
时候求高的过程并不简单， 下面我们介绍一种菱形的面积新的算法，在一些情况下求解菱形的面积会非常
简便.
【方法解读】
一、菱形的面积可以用对角线积的一半来表示
同学们知道，菱形的对 角线互相垂直平分，这样的话，菱形就被对角线分成四个全等的直角三角形，菱形
的面积就可以用对角线 积的一半来表示.
即菱形ABCD的面积=4
S
AOB
=4×AO×BO =2×AO×BO=
1
2
1
AC·BD。[来源
2

例1 已知线段AC=8，BD=6.:学§科
⑴已知线段AC垂直于线段BD，设图1、图 2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S
1
、S
2
和S
3
，则
S
1
= ，S
2
= ，S
3
= ；[来源:Z*xx*]
⑵如图4，对于线段AC与线段B D垂直相交（垂足O不与点A、C、B、D重合）的任意情形，请你就四边
形ABCD面积的大小提出猜 想，并证明你的猜想；
⑶当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A、B、 C、D、A所围成的封闭图形的
面积是多少？

【举一反三】
1 若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等
于________ cm
2
.
【强化训练】

1 一个菱形的两条对角线长分别为3cm，4cm，这个菱形的面积S=______．
2 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm
2
)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？


3 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥AB于E，
（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求DE的长.

4 如图，已知点E,F分别是□ABCD的边BC,AD上的中点，且∠BAC=90°．

（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．

5 在Rt△ABC 中，∠BAC=
90

,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交B E的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．

[来源学科网ZXXK]

6 如图 ，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．



7 如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F.
（1 ）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积.
[来源学科网]

[来源学*科*网]



8 如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．求证：
（1）四边形OCED是菱形．
（2）连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积．

9 在Rt△ABC中，∠BAC=90º，D是BC的中点，E 是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F

（1）求证：△AEF≌△DEB;
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=4，AC=5，求菱形ADCF的面积。


10 在一张 长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小华同学按照取两组对边中点的方法折出菱
形E FGH（见方案一），小丽同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱 形
AECF（见方案二）．

（1）你能说出小华、小丽所折出的菱形的理由吗？
（2）请你通过计算，比较小华和小丽同学的折法中，哪种菱形面积较大？



[来源:Z+xx+]