北京名胜古迹-爱的翅膀

§6 球面三角形的面积与欧拉公式
问题提出
1.如何计算球面三角形的面积？球面三角形面积与平面三角形面积
有什么区别？
2.如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？
3.如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式？
6.1球面二角形与三角形的面积 我们知道，若球面半径为R，则球面面积为
S4

R
2
，现在 考虑
球面上的一个小区域：球面上由两个大圆的半周所围成的较小部分叫
做一个球面二角形。
P
O
A
S
P'
B

)
)
)
)))

如图所示，大圆半周
PAP
和
PBP

所围成的阴影部分就是一个球面
二角形。显然P和
P

是对径点，大 圆半周
PAP'
和
PBP'
称为球面二角

1
)
)
)
)))

形的边。球面角
PP
< br>称为球面二角形的夹角。如果大圆弧
AB
以P
)
)
和
P

为极点，
AB
所对的球心角为

，则
P P

=

。
)
)
例1 计算地球上一个时区所占有的面积。
N
O
A
B
S

解 如图所示，设O为地心，N、S为北极点和南极点，A、
B为赤道上两点，且
A OB15
o
，地球半径为R=6400km，
根据地理知识，地球共分为24个时 区，一个时区跨越地球表面
15
o
，所以由经线NAS与经线NBS围成的二角形就是 一个时区，它所
占面积为地球表面积的
151
，

36024
即
4

R
2
1


6400
2
21446605.85km
2

246
如何计算一般球面二角形的面积？
1． 二角形的夹角

，就是平面PA
P

与PB
P

所夹的二面
角的平 面角；
2．
)
)
)
这个二角形可以看成半个大圆
PAP

绕直径P
P

旋转

2


角所生成；
3． 球面二角形的面积与其夹角成比例。

设这个二角形得面积为
U
，则
U

4


2


即
U2


抽象概括：球面上，夹角为

的二角形的面积为
U2

。
如何计算球面三角形的面积？
设
S(ABC)
表示球面三角形ABC的面积，

1． 对球面三角形ABC，分别画出三条边所在的大圆。
2． 设A、B、C的对径点分别是
A
、B

、C

，则

3

S(ABC)S(A

BC)2A

3． 球面三角形
ABC
+球面三角形
A

BC
+ 球面三角形
ABC

+球面
三角形
A

BC

构成半个球面，所以


S(ABC)
+
S(A
BC)
+
S(ABC

)
+
S(A

BC

)
=
2

LL(1)


4

又因为


S(ABC )S(A

BC)2A


S(ABC)S(AB

C)2B
LL
(2)


S(ABC)S(ABC

)2C

所以
(2)(1)
得到
2S(ABC)2(ABC)2


抽象概括
定理6.1 球面三角形的面积等于其内角和减去

。球面三角形的
三个内角和大于
。

即球面三角形ABC的面积
SABC

， 其中
A,B,C
是
球面三角形ABC的内角。
例2 计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和
的面积。

5

N
B
CS

解 根据地理知识，北京位于北纬39° 56′、东经116°20′，
上海位于北纬31°14′、东经121°29′，重庆位于北纬29° 30′、
东经106°30′的经纬度，地球半径为R=6400km，
如图所示，设N为北极点，B为北京，S为上海，C为重庆，
在球面三角形NBC中，
BNC116.3
o
106.5
o
9.8
o
0 .17
弧度，
NB
50.1

R0.87R5.61 0
3
km
，
180
60.5

R1.06 R6.810
3
km
，
180
NC
解球面三角形NBC，有
cos
BC

cos0.87



cos1.06



sin0.87



sin1.06
cos0.17

，
R
BC0.24R1.510
3
km
， 即
同理
BS0.16R1.010
3
km
，
CS0.22R1.410
3
km

解球面三角形BSC，有
cos0.22cos0.24cos0.16sin0.24sin0.16cosCBS
，

6

即
同理
CBS1.11
弧度，
BSC1.34
弧度，
SCB0.71
弧度，
所以球面三 角形BSC的面积为

1.111.340.71


R2
7.510
5
km
2
。

练习
1． 证明：半径为R的球面上，夹角为

的二角形的面积为
U2

R
2
。
2． 证明：半径为R的球面上，球面三角形ABC的面积
S

ABC


R
2
。
3． 已知球面二角形的面积是球面面积的，求其夹角。
4． 已知球面三角形的边角关系如下，求它的面积（前2组为
单位球面，后两组球面半径为2）：
（1） 已知
a,b,c
（2）
（3）
（4）
2


333

2

已知
a,B,c

223

3

已知
A,B,C

344
2

已知
a,B,C

323
1
8

5． 查阅资料，比较例2结果与实际数据的差异。
6． 已知球面三角形ABC的三个内角之和为
角形的面积与球面面积的比。

7
5

，求这个球面三
4

7． 用4个全等的球面三角形覆盖整个球面，如何构造？

6.2球面上的欧拉公式

设S是一个球面，我们把球面分割成若干个球面三角形，要求球
面上的每一点至少包含在某个球 面三角形的内部或边上。同时，任何
两个球面三角形或者没有公共点，或者有一个公共点的顶点，或者有
一条公共边，三者比居其一，这样构成的球面上的网络，叫做球面S
上的一个三角剖分，记为< br>
。

图中所示的两个三角形的位置关系在球面的三角剖分中都是不
允许出现的。

设

是球面S的一个三角剖分，

的顶点数记为V，三角形边数
记 为E，三角形的个数记为F，那么V、E、F满足什么关系？

8

例3 观察下面的球面三角剖分，记录它们的顶点数V，三角形
边数E和三角形个数F，说明它 们满足什么关系？


解 在左图中，顶点为A、B、C、D，顶点数V=4，
三角形的边为AB、AC、AD、BC、BD、CD，边数E=6，
三角形为ABC、ABD、ACD、BCD，三角形个数F=4，
所以

VEF2
；

9

在中图中，顶点为A、B、C、D、E、F，顶点数V=6，
三角形的边为A B、AC、AD、AE，FB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、
ED，边数E=12，
三角形为ABC、ABE、ACD、ADE，FBC、FBE、FCD、FDE，三角形
个数F=8，
所以

在右图中，顶点为A、B、C、D、E、F、G、H，顶点数V=8，
三角形的边为AB、A C、AH、HD、AE、CH、HE，FG、GB、FC、FD、
FE、BC、BE、CD、ED、CG 、GE，边数E=18，
三角形为ABC、ABE、ACH、CHD、AHE、HED，FGC、GC B、FGE、GEB、
FCD、FDE，三角形个数F=12，
所以

抽象概括
球面上的三角剖分

满足下面的公式：
VEF2< br>。其中V、E、
F分别是三角剖分

的顶点数，三角形边数和三角形个数。

10
VEF2
；
VEF2
。

我们把这个公式叫做球面的欧拉公式。
这个公式与球面的大小，三角剖分的方 式无关。即不管你在怎样
的球面上，如何进行三角剖分，虽然V、E、F都发生了很大的变化，
但是它们永远满足欧拉公式。因此，欧拉公式一定反映出球面本身固
有的某种性质。
在另一个专题《欧拉公式与闭曲面的分类》中，将对这个问题进
行详细讨论。

如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？

1． 考虑E和F的关系：球面上共有F个三角形，每个三角形
有三条边，每条边属于两个三角形，所以
3F2E

即
1
FEFLL(1)
。
2
2． 把F个三角形编号，记为i1,2,LL,F
。对于第
i
个三角形，
设它的面积为
S< br>i
，三角形的内角分别为

i
，

i
，
i
，那么
S
i


i


i


i


。
因此，整个球面的面积

11

4

< br>
S
i
i1
F
F


(

i


i


i


)
i1
F



(

i

i


i
)

F
LL
( 2)
i1
3． 因为三角剖分

共有V个顶点，而在每个顶点处，以它为< br>顶点的所有球面角之和为
2

，所以
F

(

i1
i


i


i
) 2

V
LL
(3)
。
4． 根据（1）、（2）、（3）式，得
VEF2
。

这个公式用欧拉的名字命名，是因为在1750年欧拉首次发现了
凸多面体的欧拉公式。 由若干个平面多边形所围成的封闭的立体，称为多面体。如果一
个多面体在它的每一个面所决定的平 面的同一侧，就称为凸多面体。
(1)
(2)
(3)


12

(4)
(5)

11
8
7< br>6
12
4
1
2
3
10
9
12
11
8
5
(6)
6
9
7
16
10
5
15
1
4
(7)
3
2
14
13

如图所示，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是凸多面体，而（6）、
（7）不 是凸多面体。
用V表示凸多面体的顶点数，E表示凸多面体的棱数，F表示凸
多面体的面①
数，欧拉证明了：
VEF2
。


思考交流

多面体的面是指可以经过连续变换变成圆盘的多边形，比如三角形、四边形都可以做多面体的面，而正
方形中挖掉一个小正方形后剩下的图形就不是凸多面体的面。
①

13

观察上面的图形，写出它们的顶点数V、棱数E和面数F，并验
证欧拉公式。

正如上面的（6）中看到的一样，后来又可以把凸多面体的欧拉
公式推广到简单多面体。 当把多面体想象成由橡皮薄膜围成的，一充气这个橡皮薄膜就可
以变成一个球面，这样的多面体就是 简单多面体。
上图中的（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都是简单多面体，而
（7）不是简单多面体。


如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式？

例4 观察下面的图形，写出凸多面体和它对应的球面三角剖分
的顶点数V、棱数E 和面数F，并验证凸多面体的欧拉公式和它对应
的球面三角剖分的欧拉公式。

14

解 在上图中，凸多面体的顶点数V=4，棱数E=6，面数F=4
它对应的球面三角剖分的顶点数V=4，棱数E=6，面数F=4，
凸多面体的欧拉公式是< br>VEF2
，它对应的球面三角剖分的欧
拉公式
VEF2
；
在中图中，凸多面体的顶点数V=6，棱数E=12，面数F=8

15

它对应的球面三角剖分的顶点数V=6，棱数E=12，面数F=8，
凸多面 体的欧拉公式是
VEF2
，它对应的球面三角剖分的欧
拉公式
VE F2
；
在下图中，凸多面体的顶点数V=8，棱数E=18，面数F=12
它对应的球面三角剖分的顶点数V=8，棱数E=18，面数F=12，
凸多面体的欧拉公式 是
VEF2
，它对应的球面三角剖分的欧
拉公式
VEF2
；

下面我们给出简单多面体的欧拉公式的证明思路。

不失一般性，我们不妨假设简单多面体P的顶点都在同一个单位
球面S上。
如果A、 B是简单多面体上两个顶点，且连结A、B的线段是多面
体P的一条棱，过A、B作球面S的大圆劣弧， 这样就得到一个覆盖
整个球面的球面多边形

。
在这个变化过程中，多面体 P和它对应的球面多边形

的顶点数
V、棱数（边数）E和面数F都是一样的。

16

在球面多边形

中连接顶点使得它成为球面 S的一个三角剖分

，在此过程中，每添加一条大圆劣弧，边数E就变成E+1，与此同
时，面数F就变成F+1。
假设

中一共新连结了N条大圆劣弧，那么边数为E+ N，面数为
F+N，而顶点数V不变，根据球面三角剖分的欧拉公式，有
V(EN)(F N)2
，
因此

习题
VEF2
。
A
1． 已知地球表面上的球面三角形的三边分别是1000km，
1500km，2000km，求它的面积。
2． 在单位球面上，已知等边球面三角形的面积等于球面面积
的，求它的三个内角和三条边。
3． 已知一个简单多面体的顶点数为8，面数为6，求这个多面
体的棱数。
4． 在一个球面上，画出一个三角剖分，并分别数出V、E、F，
验证欧拉公式。
5． 如图所示，验证简单多面体的欧拉公式。
1
4

17

6． 若

是球面上的一个三角剖分，说明

的三角形个数一定
是偶数。
7． 用8个全等的球面三角形覆盖整个球面，如何构造？
8． 在平面上，用等边三角形可 以覆盖整个平面，从一点出发
需要6个等边三角形。从球面上一点出发，用5个球面等边三角形覆
盖整个球面，这样的球面三角形覆盖是否成立？说明你的想法。



18

B
1． 求以北京、上海、广州为顶点的球面三角形的面积。
2． 球面上除了可以有等边三角形覆盖外，还有其它三角形的
覆盖吗？举例说明。

19