mozart-君子一言驷马难追

一：周长与面积公式
知识精讲
在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆．点O就称为该圆
的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆 心，
并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．


圆 心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆
心”和“半径”，就能完全确 定下来．

圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母
表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算
中，常常取近似值．
一．圆的周长与面积公式

1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r 表示，圆周长通常用C
表示，圆面积通常用字母S表示．

2．圆周长公式：


蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等
于大圆的 直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．


3．圆面积公式：




二．扇形的周长与面积公式

扇形是指圆上被两条半 径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也
称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的 圆心角．扇形是圆的一部分．

要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就 可以了．它
是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积
的几 分之几．

1．扇形弧长公式：


2．扇形面积公式：


3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．

三点剖析
重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径

题模精讲
题模一 圆的周长与面积公式
例、
已知一个圆 的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为
_________平方厘米．

答案：
；

解析：
周长为厘米，面积为平方厘米．


例、
已知一个圆的周长为厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．

答案：
16

解析：
直径为厘米．


例、
有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞
了多少米如果小蜜蜂沿 着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的
两个小圆，那么这次它飞了多少米（取）


答案：
（1）米（2）米

解析：
小圆半径是5 米，飞行路线为两个小圆周长，所以是米．无论小圆有多少个，
大小是否相等，只要所有小圆的直径之和 等于大圆，那么它们的周长之和也
等于大圆．


例、

如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少（取）


答案：

解析：
长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积 都是6．方中圆，方和圆的面
积比为，可求出小圆的面积是，那么阴影部分的面积是．


例、
如图，在一块面积为平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板 ．问：
余下的边角料的总面积是多少平方厘米（取）


答案：
平方厘米

解析：
，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为平方厘米．


例、
已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，
并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘
米．（取）


答案：

解析：
假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有，4个小圆的周长之和为
厘米．


例、

如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是__ ______平方厘米（π取
3）．


答案：
240

解析：
直角三角形的直角边即为圆的半径，所以，，圆的面积是平方厘米．


题模二 扇形的周长与面积公式
例、
如图3，圆P的直径OA是圆O 的半径，，，则阴影部分的面积是__________．（π
取3）


答案：
75

解析：
阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即．


例、 一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________
厘米．（ 取）

答案：

解析：
这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是cm，扇形的周长是厘米．


例、
一个扇形的面积为平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（取）

答案：

解析：
这个扇形是它 所在圆的，所以这个圆的半径的平方是，所以这个圆的半径是
4厘米，所以扇形的半径是4厘米，扇形的 周长是厘米．


例、
在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了 一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为，，．这个雕塑的原始图形来自
于阿基米德《引 理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长 为__________
（圆周率用π表示）


答案：
πm

解析：
鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为m．


例、 如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE为
半径画扇形 ，那么三个扇形的面积和是多少（结果保留π）


答案：

解析：
各扇形圆心角均为，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的面积和是．


例、
一个半径为3分米的扇形，面积为平方分米，那么它的圆心角是_____ _____，它
的弧长又是__________分米．

答案：
80°，

解析：
根据题意得，，所以，所以圆心角是度．弧长为．


例、
如图 ，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它
的顶点B为圆心，边长为 半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留
π）．


答案：

解析：



连结AC、FB．易知，故，．


例、
如图，有三个同心半圆 ，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如
果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母 代表相同的面积，那么(A＋B)：C
＝_______


答案：
55：48

解析：
设A的半径为，B的半径为，C的半径为

A的面积：

B的面积：3B=，．

C的面积：5C=，．

．


题模三 捆圆的周长和面积

例、
已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取）


答案：

解析：
如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积 相当于8个边长为2的正方形
和一个半径为1的圆的面积的和．面积为．



例、
如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的
黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少


答案：
周长，面积

解析：
如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个 半圆弧，所以周长为；
而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆，即．



例、
如图，每个圆的面积都为，求该图形的外周长．


答案：

解析：
圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆 弧，
则外周长为．

例、
如图，有七根直径为 5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮
筋的长度是多少厘米


答案：

解析：
如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线 段和6个60°角的
圆弧组成，所以皮筋长度为．



随堂练习
随练、
已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米（取）

答案：

解析：
直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．


随练、
已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米（取）

答案：
20

解析：
这个圆的半径为平方是，所以这个圆的半径是10厘米，直径是20厘米．


随练、
半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米（取）

答案：

厘米

解析：
圆的周长公式为，周长之和为

厘米．


随练、 如图，在一块面积为平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余
下的纸板的总面积是 多少平方厘米（取）


答案：
平方厘米

解析： 大圆的面积是平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1
厘米，面积是平方厘米． 阴影部分的面积是平方厘米．


随练、
已知三个小圆的圆心在大圆同一 直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长
为多少厘米（π取近似值）


答案：
6

解析：
大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．


随练、
如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它< br>的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保
留π） ．


答案：

解析：
阴影部分面积为 梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，
易得为．


随练、
已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：

（1）这个扇 形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的
_________，它的弧长占 圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，
周长是_________ 厘米．

（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________ 平方厘米．

答案：
（1）；；；；（2）；

解析：
（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长
占圆周长的，这个扇形的弧长 是厘米，周长是．

（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是平方厘米．


随练、
半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．


答案：
5

解析：
为，为，所以是的5倍．


随练、
根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）


答案：

解析：
平方厘米．4个直角扇形的面积之和是4，因此整个圆角矩形的面积就是．



随练、
如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此 时橡皮
筋的长度是多少厘米（π取近似值）


答案：

解析：
把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直
线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所
对应的圆心角都是60°，每 段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一
个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆 角六边形的周长就
是这两部分长度之和，即厘米．



课后作业
作业1、
已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米（π取近似值）

答案：

解析：
圆周长的计算公式为：C
圆
=π×D．


作业2、 < br>把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，
至少要用铁丝__ __________厘米．

答案：

解析：
厘米．


作业3、
一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽米，直径 是米．前轮转动一周，压路的面积是
______平方米．

答案：
平方米

解析：
轮子压一周，周长为米，即压在路面上的长是米，

压路的面积=长×宽平方米．


作业4、
已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米（π取近似值）

答案：

解析：
由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为．


作业5、
已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长< br>为多少厘米（π取近似值）


答案：
6

解析：

大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．


作业6、
如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小 的圆铝
板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米


答案：
8平方厘米

解析：
小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为平方厘米；
大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米．


作业7、
已知 一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长
是_______ _（π取）．

答案：
面积，周长

解析：
扇形的面积；

周长．


作业8、
如图，求各图中阴影部分的面积．（取）


答案：

解析：
阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面
积． 阴影部分面积为．

作业9、
已知扇形的半径为3米，面积为米，那扇形的圆心角为多少度（π取近似值）

答案：
180

解析：
扇形所在圆的面积≈×3
2
=平方米，由此可知该扇形是它所在圆的

．那么圆心角应该是360°的二分之一．


作业10、
已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为厘米，这个扇形的面积是多少

答案：

解析：
因为扇形的弧长为厘米，所以，可得．扇形面积为平方厘米．


作业11、
根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）


答案：

解析：
平方厘米．4个直角扇形的面积之和是，因此整个圆角矩形的面积就是．



作业12、
如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少（π取近似值）

答案：

解析：
整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．


作业13、
如图 ，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡
皮筋的长度是多少厘米（π取 近似值）


答案：

解析：
把圆角六边形的周长分为 12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直
线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘 米6段圆弧中，每段所
对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就
是这两部分长度之和，即 厘米．