广州天河部落-2019四川高考分数线

三角形面积公式之水平宽铅垂高
三角形的面积公式计算较多，而在平面直角
坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积
一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅
垂高面积公式会更加的方便.
公式呈现
如右图所示，过△ABC三个顶点分别作x 轴的垂
线，其中过A，C两条垂线与x轴交于点E，F，
线段EF的长度称为△ABC的水平宽 ，而过B点
y
D
C
铅垂高
B
A
O
E
水平宽
F
x
1
的垂线与边AC交于点D，线段BD的长度称为铅垂高，则S
△ABC
＝
EFBD
，
2
此即为三角形水平宽铅垂高面积公 式，其中水平宽EF通常取最外两条垂线的宽
度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B）与边（AC） 交点（D）之间的距离.

公式推导
如右图，过点A，C作铅垂高BD上的高AG ，CH，
则有S
△ABC
＝S
△ABD
+S
△BCD
＝
＝

公式应用1——上下垂线
例1（适合八年级） 如图，已知边长为
a
的正方
形
ABCD,E
为
AD
的中点，
P
为
CE
的中点，
F
为
BP
的
中点，则△
BFD
的面积是（ ）.
A.
y
H
D
C
11
AGBDCHBD
22
11

AGCH

BD
＝
EFBD
.
22
B
A
O
A
G
F
E
D
x
E
1
2
1
2
1
2
a
B.
a

a
C.
832
16
D.
1
2
a

64
F
B
P
说明：本题可以连结CF，由△BCD的面积减去△BCF
与△CDF 的面积求解，也可以建立平面直角坐标系，
利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.

C

1

解析：不妨以B为原点，BC为x轴，B A为y轴建立平面直角坐标系，则点C
坐标为（a，0），点D坐标为（a，a），
1
a，a），
2
31
∵
P
为
CE
的中点，∴点P坐标为（a，a），
42
31
∵
F
为
B P
的中点，∴点F坐标为（a，a）.
84
∵E为AD的中点，∴点E坐标为（过F点作BC的垂线交BD于点G，则点G的横
y
A
E
D
PG
F
x
O
（
B
）
C
3
坐标为
a
，又直线BD的解析式为
yx
，∴点
8
3
G的 纵坐标为
a
，
8
311
∴△BDF的铅垂高FG＝
a
－a＝
a
，
848
1111
∴S△BDF＝
BCFGaaa
2
.
22816

公式应用2——左右垂线
例2（适合八年级） 如图，直线< br>y
3
x1
与
3
y
C
B
PO
A
x
x
轴，
y
轴分别交于点A，B，以线段AB为直 角
边在第一象限内作等腰直角△ABC，且

1

∠BAC=90° .如果在第二象限内有一点P

a,

，

2
< br>且△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等，求
a
的
值.

说明：本题常见解法有三，一是连结OP，△ABP
的面积＝△AOB面积+△BOP面积－△AOP 面
积，然后用a的代数式表示，与Rt△ABC的面积
相等列方程求解；
二是将点C 沿AB翻折到C’位置，则△ABC面积与
△ABC’面积相等，若△ABP的面积与Rt△ABC的面 积

2
y
B
P
O
A
C
x
y
C
B
P
O
C'
A
x

相等，则可得PC’AB，因此，可以由点A，C坐标先求C’坐标，再根据AB的
斜率与点C ’坐标求直线PC’的解析式，将点P纵坐标代入，即可求a的值.
三是考虑水平宽铅垂高公式来计算 ，但如果从A，B，P三点向x轴作垂线，较
为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A，B，P向y轴作 垂线（即左右方向作
垂线），仿公式求解.现解析如下.
解析：过A，B，P三点作y轴的垂
线，则OB可以看成公式中的水平宽，
而PE可以看成公式中的铅垂高，（不
习惯的同 学可以将屏幕或头转个90
度）由AB的解析式可以得OA＝
3
，
OB＝1， 而P的纵坐标为
所以PE＝-a+
3
，
2
y
B
E
P
OA
x
C
1
，所以E为AB的中点，
2

113

a
从而有
221

，


222

解得
a

3
4
.
2
公式应用3——内外垂线
从例2可以看到 ，三条垂线不一定作向x轴，也可以作向y轴，仿公式用即
可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的 距离，但这个做法不是绝对的，有
时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为：S△ABC
＝
1
EFCG
.
2
简单推导：
S
△ABC
＝S
△ACG
－S
△BCG
＝
y
11
CGEHCGFH
22
C
D
铅垂高
G< br>1
＝
EFCG
.
2
说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时 ，第三
条垂线将与第三边（AB）的延长线相交，此时顶
B
A
O
E< br>水平宽
FH
x

3

点（C）到交点（G）的距离为铅垂高（CG）.
例3（适合九年级） 如图所示，直线l： y=3x+3与
x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻
折，点A落到点C，抛物 线过点B，C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物 线的对称轴交于点M，点N在坐
标轴上，以点N，B，D为顶点的三角形与△MCD相
似，求所 有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S
△PBD
=6？若 存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（4）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存 在点Q使得
BQCQ
的值最大，
若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由.
解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物
线解析式为
yx
2
4x3
，BD解析式为
yx3
，由于问题中并未交待P点在BD的
y
上方或下方，故要分类讨论：
当P在BD下方时，如右上图，水平宽为OD
B
E
＝3，铅垂高为PE＝
x4x3x3x3x
；
当P在BD上方时，P可能在左，也可以在右，
但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD
＝ 3为水平宽，则铅垂高
22
22
A
O
x
C
P
y
D
PE＝
x3x4x3x3x
.
1
两种情况合起来就是
3x
2
3x6
，即
2
x
2
3x4
.
P
EB
当
x
2
3 x4
时，方程无实数根，即P在BD
下方时，不可能面积为6；
O
x
CD

4

当
x< br>2
3x4
时，解得
x
1
1,x
2
 4
，
即当P（－1，8）或P（4，3）时，S
△PBD
=6.

解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角
形面积问题，尤 其是在例3，可以将P点的两种不同的位置分类统一为PE长（绝
对值）问题求解，可以有效回避原本点 P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂
作法，使得问题解决简洁而快捷.


老叶2015年1月26日记于温十七中


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