抠-我是霸王龙

2017秋初中数学利用三角形面积公式求解图形面积
——巧用等底、等高

三角形面积公式
S
1
底高
，再熟悉不过了．掌握起来，貌似也 非常容易．但要灵
2
活运用，并不那么容易．
先抛出一个问题，读者可以先思考，然后再读后续内容．
【学生问题】如图，已知M是AB的 中点，N是BC上一点，
且CN=2BN，连接AN与CM相交于点O，四边形BMON的面积为
7cm
2
．
求:(1)CO:OM; (2)三角形ABC的面积．

这个题目，是2016年2月29日，一名七年级学生的问题．注意，是“七年级”学生的
问题 ．
已知有线段比，又要求线段比，不少老师自然会联想到用相似三角形．但是，七年级学
生显 然没有学过相似．那么，此阶段所具备的知识有哪些？三角形面积公式，可能还有方程
或方程组知识．
为解决上面问题，我们先将上面题目变式为几个小题目，以利后面更复杂问题的解答．
【变式1】如图，已知M是AB的中点，N是BC上一点，且CN=2BN，连接
AN与CM相交于 点O，三角形ABC的面积为30cm
2
．
求:(1)三角形AMC的面积; (2)三角形ANC的面积．
【变式1思路】
利用三角形面积公式，有等底、等高． 很显然，三角形AMC的面积=
A
M
B
N
O
C
A
O
M
B
N
C
1

大三角形ABC面积．
2
2

大三角形ABC面积．
3
同理，再利用底边CN=2BN，可得，三角形ANC的面积=

< br>【变式2】如图，已知M是AB的中点，N是BC上一点，且CN=2BN，
连接AN与CM相交 于点O，三角形ABC的面积为30cm
2
．
求：三角形CON面积与三角形AOM面积之差.

相信，有了变式1的基础，这个 题目不是难题．可以用“补”
的方法，补形为可求面积且有公共部分的三角形，如变式1题图，
也可以补为右图形式．

【变式3】如图，已知M是AB的中点，N是BC上一点，且CN= 2BN，连接
AN与CM相交于点O，三角形ABC的面积为30cm
2
．
求：四边形BMON的面积．

A
M
B
A
ON
C
M
B
N
O
C
A
O
MB
N
C
【变式3思路】用“割”的方法，割四边形为两个三角形．再结合三角形面 积公式，可
以把相关三角形面积表示在下图中：
A
M
B
于是有
x
x
y
O
2y
N

2xy10


x3y15
C

这里，各部分面积如何表示出的呢？注意下面线段长度关系：
A
中点
AM
C
B
x
x
y
M
x
x
yO
2y
O
2y
B
N
CN=2BN
NC

方程组如何得到的呢？注意下面两个三角形面积：