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§4 旋转曲面的面积
教学目的与要求：
1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.
2. 理解并掌握微元法的思想及应用.
教学重点，难点：
1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.
2. 微元法的思想及应用.

教学内容：
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个 步骤导出所求量的积分形式。
但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节和下一节将采用 此法来处理。
一 微元法
为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。
设f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（x）≥0。由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b 以及x轴所围成的
平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积

作法：（ｉ）分割 在区间[ a，b]内任取n-1个分点，它们依次为
a=x
0
＜x
1
＜x
2
＜„＜x
n
－１
＜x
n
=b,
这些点把[a,b]分割成n个小区间[x
ｉ－１
, x
ｉ
],I=1,2,„n.再用直线x= x
ｉ
, ｉ=1,2,„，n-1把曲边梯形分割成
n个小曲边梯形（图9-2）。
（ii）近似求和 在每个小区间[x
i-1
,x
i
]上任取一点

i
，作以f(

i
)为高，[x
i-1
,x
i
]为底 的小矩形.当分
割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f为连续函数,它在每个小区间上 的值变化不大,从而可用这
些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S
的近似值,即
S

f(

i
)x
i
< br>i1
n
(x
i
x
i
x
i1
).

（iii）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又
与所有中间点

i< br>（i=1,2,„，n）的取法有关。可以想象，当分点无限增多，
且对[a,b]无限细分时， 如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x
i
和中间点

i
的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.

S=
lim

f(

i
)x
i


f(x)dx.

T0
i1a
n
b
引入问题：这个过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个实际问题如何直接利 用定积分表示呢？
我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是第二步。这一步是确定

i
的近似值。完成
了这一步，再求和取极限，从而求得Φ的精确值。在实际应用中 ，为简便起见省略下标ｉ，用△表示[a，
b]上任一小区间[x，x+△x]上的窄曲边梯形的面积， 这样有
Φ= ∑△Φ
不妨取任一小区间[x，x+△x]上的左端点为ξ，这样△Φ的近似 值为以点x处的函数值f（x）为高，
△x为底的矩形面积，即△Φ≈f（x）△x= f（x）dx. 由于若当△x趋于零时，△Φ-f（x）△x =o（△x），
从而由微分定义知
dA=f（x）dx，于是Φ= ∑△Φ≈∑ f（x）dx.
然后取极限 Φ=
lim

f(x)dx

f(x)dx.

T0
a
b
一般地，我们可以归纳出写出所求量Φ的积分表达式的步骤。
(1) 选取积分变量及变化区间；
(2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的部分量
△Φ的近似值 ｄΦ＝f（x）dx；
(3) 以ｄΦ＝f（x）dx作为被积表达式，得到所求量的积分表达式 Φ＝

b
a
f(x)dx.

用上述步骤来建立积分表达式 的方法通常称为微元法（或元素法），其中ｄΦ＝f（x）dx为所求量的元
素。在实际问题中，若所求 量为面积，则称ｄΦ＝f（x）dx为面积元素，所求量为功，则称ｄΦ＝f（x）
dx为功元素。 < br>显然，微元法要比按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问
题的所求量满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？
1) 所求量Ф关于分布区间必须是代数可加的 ，即若把区间[a,b]分成许多部分区间，则所求量Ф
也相应地分成许多部分量，且所求量等于部分量 之和Φ= ∑△Φ；
2 )能把Ф的微小增量△Ф近似地表示为△x的线性形式△Φ≈f（x）△x，且当△x趋于
零时，△Φ-f（x）△x =o（△x），从而 ｄΦ＝f（x）dx。
第二点特别关键，在实际应用微元法时要检验是否满足△Φ-f（x）△x =o（△x）。事实上，§ ２导出体
积公式（１）和§３导出弧长公式（２）的过程中，都验证了这一点。在一般情况下，要严格检 验△Ф
－f（x）△x是否为△x的高阶无穷小量往往不是一件容易的事。如果把弧长增量的近似表达式 改取为
△s≈△x，将导致s=

b
a
其根本原因就在于△s－△x 并非是△x的高阶无穷小量。
dxba
的明显错误。
对于前三节所求的平面图形 面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式
分别为
△A≈
y
△x，并有dA=
y
dx；
△Ｖ≈A（x）△x，并有dV= A（x）dx；
22
△s≈
1y
△x，并有ds=
1y

dx。
二 旋转曲面的面积

这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的面积公式。在§３推导曲线弧长公式之前，首 先建立了
曲线弧长的概念。而关于曲面面积的严格定义和一般计算公式要在Ｃhapter 21 §6中介绍。
设平面光滑曲线C的方程为
yf(x),x[a.b]
（不妨设f(x)≥0）
这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面（图10-19）。下面用微元法导出它的面积公式。
(1) 积分变量x, 变化区间[a,b];
(2) 任取[a,b]上小区间[x, x+△x], 通过x轴上点x与x+△x
分别作垂直于x轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条
狭带。当△x很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧
面积，即
22
△ S≈

f

x

f

xx


xy


y

=


2f(x)y

1

x


x

其中△y=f(x+△x)-f(x)。由于
2

y

lim
y0,
lim
1

1f

2

x

，
x0
< br>x

x0
2
因此由
f'(x)
的连续性可以保 证


2f(x)y

所以得到

y< br>
1

x2

f

x
< br>1f

2
(x)xo

x

.

x

dS2

f

x

1f

2

x

dx,

2
(3) 以
dS2

f

x

1f

2

x

dx
为被积表达式，得旋转曲 面的面积公式
S=
2


b
a
f
x

1f

2

x

dx.
（3）
如果光滑曲线Ｃ由参数方程
x=x(t)，y=y(t), ｔ∈[α，β]
给出，且y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为

S2






y(t)x

2
(t)y
'2
(t)dt.
(4)
f

x

1f

2

x

dx

f

x

1(
dy
2
)dx

dx
事实上，由（２）知，S=
2

=
2

b
a
b
a

=
2

=
2

=
2


f

x

a
b
dx
2
dy
2






y(t)ds

y(t)(


dx
2
dy
2
)()d t

dtdt
=
2



y(t)x
2
(t)y
'2
(t)dt.

例1 计算圆x
2
+y
2
=R
2
在[x
1
,x
2
]
[R,R]
上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积。
解 对曲线y=
R
2
x
2
在区间[x
1
,x
2
]上应用公式（3），得到

S2

=
2

R

x
2
x
1
Rx
22
x
2
1
2
dx

2
Rx

x
2
x
1
dx 2

R

x
2
x
1

. □
特别当x
1
=-R,x
2
=R时，则得球的表面积S
球
=4πR。
例2 计算由内摆线x=acos
3
t, y=asin
3
t（见图10—7）绕x轴旋转所得旋转曲面的面积。
解 由曲线关于y轴的对称性及公式（4），得

S=4



2
0
asin
3
t

3acos
2
t sint



3asin
2
2
tcostdt< br>

2
=12

a
2

2
0
sin
4
tcostdt
12
2

a
。 □
5

课后作业题： 1. 1) 2) 2. 3. 1)