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椭圆面积公式的初等证明

陕西定边三中 白治清
关于椭圆面积公式，现行中学数学教材没有选编，在高等数学中
是用微积分的方法证明的，本文用平面祖 暅原理的推论证明椭圆面积公
式.
平面祖暅原理:夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平 行于这
两条直线的任意直线所截，如果截得的两条线段的长度总相等，那么这
两个平面图形的面 积相等.
平面祖暅原理的推论：夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平
行于这两条直线的 任意直线所截，如果截得两条线段的长度之比总是一
个常数，那么这两个平面图形的面积之比等于这个常 数.
下面求长半轴为
a
、短半轴为
b
的椭圆面积.
x< br>2
y
2
如图1，椭圆方程：
2

2
1，选半径为
a
的圆：
x
2
y
2
a
2
为“参照
ab
物”.
两个直角坐标系的y轴在一条直线上，单位
长度相同.过椭圆长半轴的两个端点作y轴的两
条平行线，椭圆和圆夹在这两条平行线之间.
用平行于y轴的任意直线
l
截椭圆和圆，交
椭圆于A
1
、B
1
两点，交圆于A
2
、B
2
两点.
设点A
1的坐标为（
x
1
,y
1
），因为点 A
1
在椭
圆上，所以
2
x
1

y
1
1
，
a
2
b
2
2
用
x
1
表示
y
1，得 y
1
=
y
1

b
a
2x
1
2
.
a

点A
2
的坐标 可设为（
x
1
,y
2
），因为点A
2
在圆上，所以
x
1

2
y
2
2
a
2
，
2
用
x
1
表示
y
2
，得 y
2
=
a
2

x
1
.
线段A< br>1
B
1
与A
2
B
2
的长度之比


y
1
b

（常数
A
2
B2
y
2
a
数）
A
1
B
1
由平 面祖暅原理的推论得到：椭圆和圆的面积之比等于线段A
1
B
1
与
A
2
B
2
的长度之比，即
S
椭圆
S
圆
b

，所以
a
bb
2
S

a

ab
. S
椭圆
=
圆
aa
练习题：
有一个油罐，其横截面为椭圆，椭圆短半轴与地面垂直，长半轴
a=3m ,短半轴b=2m ,罐长5m ,罐内有的深度为1.5m .求油的体积。
上述推证椭圆面积公式的思想方法，观点高 、立意新，既有理论
性又有实践意义，应当选入高中解析几何教材.对于椭圆来说，面积公
式是 最重要的，高中生学了椭圆而不知其面积公式真是太遗憾了！小学
生就学了圆面积公式，高中生就应该学 习椭圆面积公式.这也符合“学
有用数学”的理念，能很好的体现解析几何的应用价值，为学生日后学< br>习微积分奠定思想基础，促进学生辩证唯物主义观点和形成，弘扬我们
民族文化.
参考文献：《两个基本原理的推广及应用》，安徽师范大学《中
学数学教学》1998年3期, 白治清