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双曲线焦点三角形面积公式的应用
广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）

x
2
y
2
定理 在 双曲线
2

2
1
（
a
＞0，
b
＞0）中，焦点分别为
F
1
、
F
2
，点P是双曲线上任意< br>ab
一点，
F
1
PF
2


，则
S
F
1
PF
2
bcot
2

2
.
y
P
证明：记
|PF
1
|r
1
,|PF
2
|r
2
，由双曲线的第一定义得
|r< br>1
r
2
|2a,(r
1
r
2
)2
4a
2
.

在△
F
1
PF
2
中，由余弦定理得：
r
1
r
2
2r
1r
2
cos

(2c)
2
.

配方 得：
(r
1
r
2
)2r
1
r
2
2r
1
r
2
cos

4c.

即< br>4a2r
1
r
2
(1cos

)4c.

22
22
22
F
1
O F
2
x
2(c
2
a
2
)2b< br>2
r
1
r
2
.

1cos

1cos

由任意三角形的面积公式得：
S
F
1
PF
2

1sin

r
1
r
2
sin

b
2
b
2

21cos

2sin

22
b
2
cot

.

2
2sin
2
2
cos

S
F
1
PF
2
b
2
c ot

2
.

y
2
x
2
同理可证 ，在双曲线
2

2
1
（
a
＞0，
b＞0）中，公式仍然成立.
ab
典题妙解
x
2
y
2
1
的两个焦点，P在双曲线上，且满足
F
1
PF
2< br>90
，例1 设
F
1
和
F
2
为双 曲线
4
则△
F
1
PF
2
的面积是（ ）
A. 1 B.
2
解：
S
F1
PF
2
bcot
5
C. 2 D.
2
5


2
cot451,

选A.

1

x
2
y
2
1
的两个焦点，例2 (03天津)已知
F
1
、
F
2
为双曲线P在双曲线上，若△
F
1
PF
2
的
4
面积是1，则
PF
1
PF
2
的值是___________.
2
解:
S
F
1
PF
2
bcot

2
co t

2
1,

2
45
,即
90.


PF
1
PF
2
，从而
PF
1
PF
2
0.

例3 已知
F< br>1
、
F
2
为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且
F1
PF
2
60
，△
F
1
PF
2< br>的
面积是
123
，离心率为2，求双曲线的标准方程.
2
解 ：由
S
F
1
PF
2
bcot

2< br>b
2
cot30123
得：
b
2
12.
b
2
又
e1
2
2,

a1
12
4.
从而
a
2
4.

2
a
x
2
y
2
y
2
x
2
1
，或
1
.

所求的双曲线的标准方程为
412412
金指点睛
x
2
y
2
1
的两个焦点为
F
1
、
F
2
，点P在双曲线上，且△
F
1
PF
2
的面积为
3
，则 1. 已知双曲线
4
PF
1
PF
2
的值为( )
A. 2 B.
3
C.
2
D.
3

2.（ 05北京6）已知双曲线的两个焦点为
F
1
(5,0),F
2
(5 ,0)
，P是此双曲线上的一点，且
PF
1
PF
2
,|P F
1
||PF
2
|2
，则该双曲线的方程是（ ） x
2
y
2
x
2
y
2
x
2y
2
22
y1
D.
x1

1
B.
1
C. A.
44
2332
y
2
1
的焦点为
F< br>1
、
F
2
，点M在双曲线上，且
MF
1
M F
2
0
，3.（05全国Ⅲ）已知双曲线
x
2
2
则点M到
x
轴的距离为（ ）
A.

45
23
B. C. D.
33
3
2
3

x
2
y
2

1
两焦点为F
1
，F
2
，点P在双曲线上，直线PF
1
，PF
2
倾 斜角之差为
,
则 4. 双曲线
3
916
△F
1
PF
2
面积为( )
A．16
3
B．32
3
C．32 D．42
5. 双曲线
16x
2
9y
2
144
，
F
1
、
F
2
为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且
|PF
1
||PF
2
|32
，求
F
1
PF
2
的大小.
x
2
y
2
b
＞0）6. 已知双曲线
2

2
1
（
a
＞0，的焦点为
F
1
、
F
2
，P为双曲线上一点，且
PF
1
PF
2
 0
，
ab
|PF
1
||PF
2
|4ab
，求双曲线的离心率.

参考答案
2
1. 解：
S
 F
1
PF
2
bcot

222
1
又S
F
1
PF
2
|PF
1
||PF
2
|sin

3
，

|PF
1
| |PF
2
|4
.
2
1

PF
1
PF
2
=
|PF
1
||PF
2
|cos< br>
42
.
2
故答案选A.
cot
3
，


30,

60
.
2. 解：

PF
1
PF
2
,

S
F
1
PF
2

2
又
S
F
1
PF
2
bcot
11
|PF
1
|| PF
2
|21
.
22

2
b
2
cot45b
2
1
，

b1
，而
c5
，

a2
.
故答案选C.
2
3. 解 ：

MF
1
MF
2
0
，

M F
1
MF
2
.

S
F
1
M F
2
bcot

2
2cot452
.
点 M到
x
轴的距离为h，则
S
F
1
MF
2

故答案选C.
4. 解：设
F
1
PF
2
< br>
，则


故答案选A.
1
23
|F< br>1
F
2
|hch3h2
，

h
.
2
3

3
2
.

S
F1
PF
2
bcot

2
16cot
6
163
.
x
2
y
2
1
. 设
F
1
PF
2


（
0

180
）. 5. 解：由
16x9y144
得
91622

S
F
1
PF
2
b
2
cot
又
S
F
1
PF
2


2
16cot

2
.
1
|PF
1
| |PF
2
|sin

16sin

.
2
3


sin

cot
2
，即
2sin

2
cos

2< br>cos

sin

2
.

2
整理 得：
sin
2

2

1

2
< br>，

sin
，
45
，

90.
22
22
故
F
1
PF
2
的大小 为
90
.

90
. 6. 解：设
F
1
PF
2


，

PF
1
PF< br>2
0


S
F
1
PF
2
b
2
cot
又

S
F
1
PF
2


2
b
2
cot45b
2
.
11
|PF
1
||PF
2
|4ab2ab
，
22
b

b
2
2ab
. 得
2
.
a
b

离心率
e1()
2
5
.
a

























4