文章道歉声明-角度乐队

鸡兔同笼问题讲解及习题
例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的
鸡与兔各有多少只?
分析 ：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32(只)脚，但实际上有
44只脚，比假设的情况多了 44—32＝12(只)脚，出现这种情况的原因是
把兔当作鸡了。
如果我们以同样数量的兔 去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不
变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2， 就可以求出兔的只
数。 ‘
解：有兔(44—2×16)÷(4—2)＝6(只)，
有鸡16—6＝10(只)。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4 ×16＝64(只)脚，
但实际上有44只脚，比假设的情况少了64—44＝20(只)脚，这是因为 把
鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4
—2＝2(只)。因 此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡
(4×16—44)÷(4—2)＝10(只 )，有兔16—10＝6(只)。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假 设都是鸡，
然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫
置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1

个馍。问：大、小和尚各有多少人?
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演 变而得。如果将
大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，
可以用 假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140＝< br>160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减
少3—1＝2(个) ，因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100—80
＝20(人)。同样，也可以假设 100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文
化用品共买了 16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套?
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个 头11只脚，一种“怪兔”有1
个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品 问题
转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304(元 )，比实际多304－
280＝24(元)，现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19
—11＝8(元)，所以买普通文化用品 24÷8＝3(套)，买彩色文化用品 16
－3＝13(套)。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只?
分析：假设100只都是鸡 ，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚
数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只 ，这说明假设的
鸡脚比兔脚多的数比实际上多200－20＝180(只)。

现在以免换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比
兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6 (只)，而180÷6＝30，因此有兔子30
只，鸡100－30＝70(只)。
解：有兔(2×100—20)÷(2＋4)＝30(只)，
有鸡100－30＝70(只)。
答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每 个小瓶可
装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个?
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。
解：小瓶有(4×50—20)÷(4+2)＝30(个)，
大瓶有50—30＝20(个)。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。
已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨， 那么这批钢材有多少吨?
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装
多少吨。
利用假 设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡
车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4× 36＝144(吨)。根据条件，要装
完这144吨钢材还需要45—36＝9(辆)小卡车。这样每辆 小卡车能装144
÷9＝16(吨)。由此可求出这批钢材有多少吨。
解：4×36÷(45—36)×45＝720(吨)。
答：这批钢材有720吨。

例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费
0．24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔
偿1．26元，结果搬运站 共得运费115．5元。问：搬运过程中共打破了
几只花瓶?
分析：假设500只花瓶在搬运 过程中一只也没有打破，那么应得运费0．24
×500＝120(元)。实际上只得到115．5元， 少得120—115．5二4．5(元)。
搬运站每打破一只花瓶要损失0．24＋1．26＝1．5( 元)。因此共打破花瓶
4．5÷1．5＝3(只)。
解：(0．24×500－115．5)÷(0．24＋1．26)＝3(只)。
答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3
分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比
小乐共多跳了多少下 ?
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那
么两人跳的总 数减少了12×(2+3)＝60(下)。可求出小乐每分钟跳
(780－60)÷(2+3+3)＝90(下)，
小乐一共跳了90×3＝270(下)，因此小喜比小乐共多跳
780—270×2＝240(下)。
练习题
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只?
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，
恰好可供120个学生进行活动。 问：象棋与跳棋各有多少副?

3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。 活页簿每本L9元，
日记本每本3．1元。问：买活页簿、日记本各几本?
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只?
5．小蕾花40元钱 买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，
明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几 张?
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接
连几天共 植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天?
7．振兴小学六年级举行数学竞赛， 共有20道试题。做对一题得5
分，没做或做错一题都要扣3分 。小建得了60分，那么他做对了几道题?
8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。
已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克?
9．蜘蛛有8 条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅
膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20 对翅膀。问：每种小虫各有
几只?
10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92
只。问：鸡、兔各几只?