解:我们设想,每只鸡都是金鸡独立一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站
着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是
244÷2=122(只).
在 122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下
的就是兔子头数
122-88=34,
有34只兔子.当然鸡就有54只.
答:有兔子34只,鸡54只.
上面的计算,可以归结为下面算式:
总脚数÷2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法 ,马上能求出兔子数,多简单!能够这样
算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍. 可是,当其他问题转化成这类问题时,
脚数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对 这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了
88×4-244=108(只).
每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡
(88×4-244)÷(4-2)= 54(只).
说明我们设想的88只兔子中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).
当然,我们也可以设想88只都是鸡那么共有脚2×88=176(只),比244只脚少了
244-176=68(只).
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,
68÷2=34(只).
说明设想中的鸡有34只是兔子,也可以列出公式
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).
上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.
假 设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为假设法
现在,拿一个具体问题来试试上面的公 式.
例2 红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元 .问红,蓝铅笔各
买几支

11

解:以分作为钱的单位 .我们设想,一种鸡有11只脚,一种兔子有19只脚,它们共有16个
头,280只脚.
现在已经把买铅笔问题,转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式,就有
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3(支).
红笔数=16-3=13(支).
答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类 问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数与11之和是30.我们也
可以设想16只 中,8只是兔子只是鸡根据这一设想,脚数是
8×(11+19)=240.
比280少40.
40÷(19-11)=5.
就知道设想中的8只鸡应少5只,也就是鸡蓝铅笔)数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.
实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,兔数为10,鸡数为6,就有脚
数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只鸡要少3只.
要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子.
例3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需1 0小时完成,现在甲单独打若干小时后,因
有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时
解:我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份) ,乙每小
时打30÷10=3(份).
现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡 头数,总头数是7.兔的脚数是5,鸡
的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了.
根据前面的公式
兔数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,

12

鸡数=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
答:甲打字用了4小时30分.
例4 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年 )父的年龄
是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公 元哪一
年
解:4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年 龄之和是78+8=86.我们可以
把兄的年龄看作鸡头数,弟的年龄看作兔头数.25是总头数是总脚 数根据公式,兄的
年龄是
(25×4-86)÷(4-3)=14(岁).
1998年,兄年龄是
14-4=10(岁).
父年龄是
(25-14)×4-4=40(岁).
因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是
(40-10)÷(3-1)=15(岁).
这是2003年.
答:公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.
例5 蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对 翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有
118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只
解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成条腿与条腿两种.利
用 公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5(只).
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13(只).
也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).
因此蜻蜓数是13-6=7(只).
答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.

13

例6 某次 数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道
的有7人 ,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人
解:对2道,3道,4道题的人共有
52-7-6=39(人).
他们共做对
181-1×7-5×6=144(道).
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把 他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4,鸡脚数=2.5,
总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).
答:做对4道题的有31人.
习题一
1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只
2.学校有象棋 ,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一
副.象棋和跳 棋各有几副
3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍 ,问5分硬币有多
少个
4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共 50张,其中2元与5元的张数一样多.那
么2元,5元,10元各有多少张
5.一件工程 ,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余
下的部分, 这样前后共用了16天.甲先做了多少天
6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段 ,每一阶段中,有的是由一段上坡路(3千米),
一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平 路(4千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),
一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组 成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程
中包含这两种阶段各几段
7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张
二,两数之差的问题
鸡兔同笼中的总头数是两数之和如果把条件换成两数之差又应该怎样去解呢
例7 买一些4 分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮
票各买了多少张
解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

14

(680-8×40)÷(8+4)=30(张),
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有
40+30=70(张).
答:买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:譬如,假设有20张4分,根据条件分比4分多40 张那么应有60张8分.以分作为计算
单位,此时邮票总值是
4×20+8×60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持差是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加
的张数是
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).
因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
例8 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天
工程要多少天才能完成
解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一
例题解一的方法,晴天有
(150-8×3)÷(10+8)= 7(天).
雨天是7+3=10天,总共
7+10=17(天).
答:这项工程17天完成.
请注意,如果把雨天比晴天多3天去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是两数之和如果把条件换成两数之差又应该怎样去解呢
例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只
解一:假如再补上28只鸡脚,也 就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚
4÷2=2(倍),于是鸡的只 数是兔的只数的2倍.兔的只数是
(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).
鸡是
100-38=62(只).
答:鸡62只,兔38只.
当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是

15

(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是
4×50-2×50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了 保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4
只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2 ).因此要减少的兔数是
(100-28)÷(4+2)=12(只).
兔只数是
50-12=38(只).
另外,还存在下面这样的问题:总头数换成两数之差总脚数也换成两数之差
例10 古诗中,五 言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选
集,其中五言绝句比 七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
解一:如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差
13×5×4+20=280(字).
每首字数相差
7×4-5×4=8(字).
因此,七言绝句有
28÷(28-20)=35(首).
五言绝句有
35+13=48(首).
答:五言绝句48首,七言绝句35首.
解二:假设五 言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是
20×23=460(字),2 8×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了
460-280=180(字).
与题目中少20字相差
180+20=200(字).
说明假设诗的首数少了.为 了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差
增加8.因此五言绝句的首数 要比假设增加
200÷8=25(首).
五言绝句有
23+25=48(首).
七言绝句有

16

10+25=35(首).
在写出鸡兔同笼公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然
也 可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下,就会发现非常
有趣的事 .
例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是
(680-8×40)÷(8+4)=30(张).
例9,假设都是兔,鸡的只数是
(100×4-28)÷(4+2)=62(只).
10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
(20×13+20)÷(28-20)=35(首).
首先,请读者先弄明白上面三个算式 的由来,然后与鸡兔同笼公式比较,这三个算式只是有一处
成了其奥妙何在呢
当你进入初中 ,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举
的所有例子都是 同一件事.
例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角 ,如有破损,破
损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶 破损了几只
解:如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是
(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).
答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想,这是鸡兔同笼同一类型的问题吗
例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次 15
道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分 比
第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分
解一:如果小明第一次测验24题 全对,得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是
8×6-2×(15-6)=30(分).
两次相差
120-30=90(分).
比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题 ,
少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10 分.两者两
差数就可减少
6+10=16(分).
(90-10)÷(6+10)=5(题).

17

因此 ,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对
30-19=11 (题).
第一次得分
5×19-1×(24- 9)=90.
第二次得分
8×11-2×(15-11)=80.
答:第一次得90分,第二次得80分.
解二:答对30题,也就是两次共答错
24+15-30=9(题).
第一次答错 一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错
题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).
如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6× 9.但两次满分都是120分.比题目中条件第一次得
分多10分要少了6×9+10.因此,第二次答 错题数是
(6×9+10)÷(6+10)=4(题)·
第一次答错 9-4=5(题).
第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分).
第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分).
习题二
1.买语文书30本,数学书24本共花 83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数
学书的价格各是多少
2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所
花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克
3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天 只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.
其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的 次数少27次.问一连运了多少天
4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1 分,不做得0分.小华得了76分.问小
华做对了几道题
5.甲,乙二人射击,若命中,甲 得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中
14发.结算分数时,甲比 乙多10分.问甲,乙各中几发
6.甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地,在停留半小时后 ,又从乙地返回甲地,小王从乙地到
甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分 别从甲,乙两地出发,经过4小时后,
他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1. 5千米,求两人的速度.
三,从三到二

18

鸡和兔是两 种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三
种东西.从这两个例 子的解法,也可以看出,要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例
题,告诉大家两类转化的方法 .
例13 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其 中铅笔数
量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三 种笔各有多少
支
解:从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一 支圆珠笔成一组,这
一组的笔,每支价格算作
(0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).
现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用鸡兔同笼公式可算出,钢笔支数是
(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支).
铅笔和圆珠笔共
232-12=220(支).
其中圆珠笔
220÷(4+1)=44(支).
铅笔
220-44=176(支).
答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.
例14 商店出售大,中,小气球,大 球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买
了55个球,其中买中球的钱与 买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个
解:因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所 以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.
我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球, 3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每
个价钱是
(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).
从公式可算出,大球个数是
(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个).
买中,小球钱数各是
(120-30×3)÷2=15(元).
可买10个中球,15个小球.
答:买大球30个,中球10个,小球15个.

19

例 13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可
用类 似方法),把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把三转化成二
了.
例15是为例16作准备.
例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是
多少
解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.
平均速度=所行距离÷所用时间
去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半 小
时,平均速度是每小时走4千米.
千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3)÷2=4.5千米.
例16 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速
度是每 小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,
李强行走 了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米
解:把来回路程45×2=90(千米)算 作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下
坡合并成一种路程,根据例15,平 均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问
题.头数10+11=21,总脚数90, 鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是
(90-4×21)÷(5-4)=6(小时).
单程平路行走时间是6÷2=3(小时).
从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是
45-5×3=30(千米).
又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是
(6×7-30)÷(6-3)=4(小时).
行走路程是3×4=12(千米).
下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千米).
答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.
做两次鸡兔同笼的解法,也可以叫两重鸡兔同笼问题例16是非常典型的例题.
例17 某种 考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,
其 中考25题的有多少次
解:如果每次都考16题,16×24=384,比426少42道题.
每次考25道题,就要多25-16=9(道).
每次考20道题,就要多20-16=4(道).

20

就有
9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.
请注意, 4和42都是偶数,9×考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由9×6=54
比 42大,考25题的次数,只能是0,2,4这三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次(考20题有6次).
答:其中考25题有2次.
例18 有50位同学 前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6
元.这些同学共用了 车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位
解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.
如果有30人乘电车,
110-1.2×30=74(元).
还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.
如果有40人乘电车
110-1.2×40=62(元).
还余下50-40=1 0(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30
至40 之间,只有35是5的整数倍.
现在又可以转化成鸡兔同笼了:
总头数 50-35=15,
总脚数 110-1.2×35=68.
因此,乘小巴前往的人数是
(6×15-68)÷(6-4)=11.
答:乘小巴前往的同学有11位.
在三 转化为二时,例13,例14,例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组
成一种 .例17,例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能
是几个 数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成二的问题了.
在小学算术的 范围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等
代数方法去求解.
习题三
1.有100枚硬币,把其中2分硬币全换成等值的5分硬币,硬币总数变成79个, 然后又把其中的1分
硬币换成等值的5分硬币,硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱
2.京剧公演共出售750张票得22200元.甲票每张60元,乙票每张30元,丙票每张18元. 其中丙
票张数是乙票张数的2倍.问其中甲票有多少张

21

< br>3.小明参加数学竞赛,共做20题得67分.已知做一题得5分,不答得2分,做错一题倒扣3分.又知
道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题
4.1分,2分和5分硬币共100枚 ,价值2元,如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分.
问三种硬币各多少枚
注:此题没有学过分数运算的同学可以不做.
5.甲地与乙地相距24千米.某人从甲地到乙 地往返行走.上坡速度每小时4千米,走平路速度每小时
5千米,下坡速度每小时6千米.去时行走了4 小时50分,回来时用了5小时.问从甲地到乙地,上坡,
平路,下坡各多少千米
6.某学 校有12间宿舍,住着80个学生.宿舍的大小有三种:大的住8个学生,不大不小的住7个学生,
小的 住5人.其中不大不小的宿舍最多,问这样的宿舍有几间
测验题
1.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个. 它一连几天采了112个松籽,平
均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨
2.有一水 池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池,只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打
开甲水龙头 几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.
问注满水池总 共用了多少分钟
3.某工程甲队独做50天可以完成,乙队独做75天可以完成.现在两队合做,但 是中途乙队因另有任
务调离了若干天.从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天
4.小华从家到学校,步行一段路后就跑步.他步行速度是每分钟600 ,跑步速度是每分钟140米 .虽
然步行时间比跑步时间多4分钟,但步行的距离却比跑步的距离少400米.问从家到学校多远
5.有16位教授,有人带1个研究生,有人带2个研究生,也有人带3个研究生.他们共带了27位研 究
生.其中带1个研究生的教授人数与带2,3个研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几
人
6.某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元 ,三等奖50元.共有
100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名
7.有一 堆硬币,面值为1分,2分,5分三种,其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍.已知这堆硬
币面值 总和是1元,问5分的硬币有多少个
第三讲 答案
习题一
1.龟75只,鹤25只.
2.象棋9副,跳棋17副.
3.2分硬币92个,5分硬币23个.

22

应将总钱 数2.99元分成2×4+5=13(份),其中2分钱数占2×4=8(份),5分钱数占5份.
4.2元与5元各20张,10元有10张.
2元与5元的张数之和是
(10×50-240)÷[10-(2+5)÷2]=40(张).
5.甲先做了4天.
提示:把这件工程设为36份,甲每天做3份,乙每天做2份.
6.第一种路段有14段,第二种路段有11段.
第一种路段全长13千米,第二种路段全长 9千米,全赛程281千米,共25段,是标准的鸡兔同笼
7.最多可买1角邮票6张.
假设 都买4分邮票,共用4×15=60(分),就多余100-60=40(分).买一张1角邮票,可以认为40 分换
1角,要多6分.40÷6=6„„4,最多买6张.最后多余4分,加在一张4分邮票上,恰好买 一张8分邮
票.
习题二
1.语文书1.74元,数学书1.30元.
设想语文书每本便宜0.44元,因此数学书的单价是
(83.4-0.44×30)÷(30+24).
2.买甲茶3.5千克,乙茶8.5千克.
甲茶数=(96×12-354)÷(132+96)=3.5(千克)
3.一连运了27天.
晴天数=(11×3+27)÷(16-11)=12(天)
4.小华做对了16题.
76分比满分100分少24分.做错一题少6分,不做少5分.24分只能是6×4.
5.甲中8发,乙中6发.
假设甲中10发,乙就中14-10=4(发).甲得4×10=40(分),乙得5×4-3×6= 2(分).比题目条件甲
比乙多10分相差(40-2)-10=28(分),甲少中1发,少4+2= 6(分),乙可增5+3=8(分).
28÷(6+8)=2.
甲中10-2=8(发).
6.小张速度每小时6千米,小王速度每小时4.5千米.

王的速度是每小时
注:为了避免分数运算,路程以米为单位,时间以分钟为单位,就可以达到目的.
回答者： 61.154.10.* 2009-12-29 16:53

23

例1 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184 -128=56只
脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应 该换进几只鸡才能使
56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只 兔就行了.所以，鸡的只
数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）

=（184-128）÷2

=56÷2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答：鸡有28只，免有18只。

我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们 全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设
下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相 比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一
只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们 称这种解题方法为假设法.概括起来，
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数


24

当然，也可以先假设全是鸡。

例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

分析 这个例题与 前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又
如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比 兔脚多200只，
而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80） =120（只），这是因
为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减 少4只.那么，鸡脚
与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（ 只）.有鸡（100-20）=80
（只）。

解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：鸡与兔分别有80只和20只。



1、有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡有 只，兔有 只．
【解析】
解法一：
假设全是兔子，则脚有88×4=352只，实际才24 4只，相差的108只脚其实就是鸡和兔的脚数的差，
故鸡有：108（4-2）=54只，兔子有：3 4只
解法二：
波利亚跳舞法。假设鸡和兔的脚全部抬起一半，那么脚就变成122只，所以 多出的这34个头就是
兔子的，因此鸡是54只

25

2、红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元．那么， 红铅
笔买 支，蓝铅笔买 支．
【解析】
红铅笔：（16×0.19-2.8）（0.19-0.11）=3支
蓝铅笔：（2.8-16×0.11）（0.19-0.11）=13支

3、蜘 蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀．现在这三种小虫共18只，
有118条 腿和20对翅膀．有 只蜘蛛， 只蜻蜓， 只蝉．
【解析】
假设全部都是蜘蛛，那么蜻蜓和蝉共有：（8×18-118）（8-6）=13只
所以蜘蛛有：18-13=5只
假设全都是蝉，那么蜻蜓有：（20-13×1）（2-1）=7只
所以蝉有：13-7=6只

4、鸡和兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28．鸡有 只，兔有 只．
【解析】
涉及到了盈亏问题
假设全是鸡，那么，鸡的脚数比兔的脚数多200只
实际上，鸡的脚数比兔的脚数少28
所以兔子的数量是：（200+28）（2+4）=38只
故鸡的数量是：100-38=62只


26

5、有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算．每只２角，如有破损，破
损瓶子不给运费，还要每只赔偿１元．结果得到运费389.2元．在这次搬运中，玻璃破损了
只．
【解析】
假设没有损坏，则得到：2000×0.2=400元
故破损了：（400-389.2）（0.2+1）=9只

B卷
6、 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一诗
选集，其中 五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．那么，五言绝句有
首，七言绝句有 首．
【解析】
如果再添加13首七言绝句就多了13×7×4=364个字
则总字数就比五言绝句多了384字
因此五言绝句有：384（2×4）=48首
七言绝句则就有：48-13=35首

7、一辆卡车运矿石，晴天每天可运16 次，雨天每天只能运11次．一连运了若干天，有晴天，也
有雨天．其中雨天比晴天多３天，但运的次数 却比晴天少27次．那么一连运了 天．
【解析】
假设晴天再多3天，那么就能多运3×16=48次，因此雨天比晴天的次数少了48+27=75次
所以雨天的次数是：75（16-11）=15天
雨天的次数是：15+3=18天
因此一连运了15+18=33天


27

8 、一些２分和５分硬币，共值2.99元，其中２分硬币个数是５分硬币个数的４倍．５分硬币有
个．
【解析】
假设有1个5分，那么就有4个2分
因此有：5+4×2=13分
所以有5分的：29913=23个

9 、学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元．其中铅笔
的数 量是圆珠笔的４倍．已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元．那么
铅笔有 支，圆珠笔有 支，钢笔有 支．
【解析】
假设有1支圆珠笔，那么就有4支铅笔，所以就有2.7+0.6×4=5.1元
假设全是钢笔，那么就有铅笔和圆珠笔（232×6.3-300）（6.3-5.15）=220支
所以铅笔有：220×45=176支，圆珠笔44支，钢笔12支

10、“京 剧公演”共出售750张票得22200元．甲票每张60元，乙票每张30元，丙票18元．其
中丙票 张数是乙票数的２倍．其中甲票有 张．
【解析】
乙丙每张票需要：（18×2+30）3=22元
假设全是甲票，则乙丙有：（60×750-22200）（66-22）=600张
所以甲有150张，乙有200张，丙有400张

11、某工厂的27位师傅共 带徒弟40名，每位师傅可以带1名徒弟、2名徒弟或者3名徒弟．如果
带1名徒弟的师傅人数是其他师 傅的2倍．带2名徒弟的师傅有 位．
【解析】

28

带1名徒弟的师傅有：27×23=18人，故收1名徒弟的有：18人
假设剩下的9位师傅都是带3名徒弟，那么有徒弟9×3=27人，实际才22人
因此带2名徒弟的师傅有：（27-22）（3-2）=5人

C卷
1 2、某人在途中经过一个山岭，上山时每小时走3240米；下山时每小时走6440米．已知他从上山
到下山共用去6小时（不包括休息时间），共走27.440千米．上山用了 小时，下山用
了 小时，上山走 米，下山走 米．
【解析】
假设全是上山，则总共爬了3240×6=19.44千米
因此下山用时（27.44-19 .44）（6.44-3.24）=2.5小时，走了2.5×6.44=16.1千米
故上山则用时6-2.5=3.5小时，走了27.44-16.1=11.34千米
< br>13、甲乙两人进行射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发扣12分．两人各打了10发，共得208分，其中甲比乙多64分．甲中 发，乙中 发．
【解析】
甲得分（208+64）2=136分，乙得分208-136=72分
甲中（136+12×10）（20+12）=8发
乙中（72+12×10）（20+12）=6发

14、大小猴子共35只，它 们一起去采摘桃子．猴王不在的时候，一个大猴子一小时可采摘15千克，
一个小猴子一小时可采摘11 千克；猴王在场监督的时候，每个猴子不论大小每小时都可多采
摘12千克．一天采摘了8小时，其中只 有第一小时和最后一小时猴王在场监督，结果共采摘
4400千克桃子．那么，在这群猴中，共有小猴 只．
【解析】

29

假设猴王一分钟都不在，那么可以采摘4400-35×12×2=3560千克
假设全是大猴，则可以采摘35×15×8=4200千克
所以相差的640千克是小猴子采摘的
故有小猴子：6408（15-11）=20只

15、郭华叔叔八点整由A地出发到相距7.2千米的B地去．开始他步行，每分钟走90 米；走到C
地，向朋友借了一辆自行车，骑车的速度是原来步行的3倍．又知他借车花了6分钟，最后他
是八点四十分到达B地的．AC两地相距 米．
【解析】
A ----------C-------------B
去掉借车的6分钟，则总共用时40-6=34分钟
假设都是自行车，则行驶：90×3×34=9180米=9.18千米
因此步行用时：（9.18-7.2）（0.27-0.09）=11分钟
故AC相距：11×90=990米

思考：
☆ 今年是1998年 ，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄是17岁．四年后（2002年）
父的年龄是弟的年龄的４ 倍，母的年龄是兄的年龄的３倍．那么当父的年龄是兄的年龄的３倍时，
是公元 年．
【解析】
4年后，父母的年龄是78+2×4=86岁，兄弟的年龄是17+2×4=25岁
假设这25岁都是兄的年龄，则母亲的年龄则是25×3=75，实际才86，相差11年
故弟弟4年后的年龄是11岁，兄的年龄是14岁，父亲的年龄是11×4=44岁
父亲和兄的年龄差是44-14=30，因此父亲：兄=3：1=45：15
故是在公元2003年

30

☆ 甲、乙两 件商品成本共600元．已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价；
后来甲打8折出 售，乙打9折出售，结果共获利润110元．两件商品中，成本较高的那件商品的成
本是 元．
【解析】
甲的售价是1.45×0.8=1.16，获利0.16
乙的售价是1.4×0.9=1.26，获利0.26
假设都是甲商品，则获利600×0.16=96元
因此乙商品的成本是（110-96）（0.26-0.16）=140元
故甲商品的成本就是600-140=460元
因此甲的成本高

☆ 如下图，从A至B步行走细线道ADB需要35分钟，坐车走粗线道ACDEB需要
22. 5分钟．DEB车行驶的距离是D至B步行距离的3倍，ACD车行驶的距离是A至D步行
距离 的5倍．又知车速是步行速度的6倍．那么，先从A至D步行，再从DEB坐车，一共需要
分钟。


【解析】
假设DEB车行驶的距离是D至B步 行距离的5倍，那么坐车走ACDEB用时22.5×
65=30分钟，实际用时是22.5分 钟，因此DEB坐车需要（30-22.5）（5-3）=3.75分钟，坐
车走ACD需要2 2.5-3.75=18.75分钟，步行AD需要18.75×65=22.5分钟，因此总共需要
3 .75+22.5=26.25分钟

31

思维训练九、牛吃草问题
A卷
1、牧场上一片青草，每天都匀速生 长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者供15头牛吃10天．
这片青草可供25头牛吃 天（每头牛每天吃草量相同）．
【解析】
每天草的增量：（20×10-10×15）（20-10）=5份
原有的青草量：（10-5）×20=100份
25头牛需要：100（25-5）=5天

2、牧场上一片青草，每天都匀速生长．这片牧草可供12头年吃20天，或者供17头牛 吃10天．
这片青草可供 头牛吃5天．
【解析】
每天草的增量：（20×12-10×17）（20-10）=7份
原有的青草量：（12-7）×20=100份
能供应的牛数：1005+7=27头

3、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内．如果10人淘水，3小时淘完 ；如果5
人淘水，8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排 人淘水．
【解析】
每小时的进水量：（8×5-3×10）（8-3）=2份
原有的进水的量：（5-2）×8=24份
需要安排的人数：242+2=14人


32

4、某车站在检票前若干分钟就有人开始排队等候检票．如果 每分钟前来检票的旅客人数同样多，
从开始检票到等候检票的队伍消失（无人排队等候检票），同时开4 个检票口，需要30分钟；
同时打开5个检票口，需要20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需要 分钟．
【解析】
每分钟的人流量：（4×30-5×20）（30-20）=2人
原有的人流总量：（4-2）×30=60人
需要的时间就是：60（7-2）=12分钟

5、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或者可供80亿人生活300年 ．假设地球上新
生的资源生长的速度是一定的，为了使我们人类有不断发展的潜力，地球最多能够养 人．
【解析】
每年资源的增长量：（80×300-100×100）（300-100）=70份
因此，地球需要保持70亿人口即可

B卷
6、一块草地，每天生长的 速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天．
如果一头牛一天的吃草量等 于4只羊一天的吃草量．那么10头牛与60头羊一起吃可以吃
天．
【解析】
1牛=4羊，都看成牛
每天的增加量：（16×20-804×12）（20-12）=10份
原有草的总量：（16-10）×20=120份
可供应的天数：120（10+604-10）=8天


33

7、有3块草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷．草地上的草一样厚，而且每天草的生长 量
相同．第一块草地上的草可供11头牛吃10天，第二块草地上的草可供12头牛14天．那么，第三块草地上的草可供19头牛吃 天．
【解析】
此类问题可转化成每亩去做
每亩每天的增长量：（12×146-11×105）（14-10）=1.5份
每亩原有的草总量：（126-1.5）×14=7份
第三块草可供时间：7（198-1.5）=8天

8、有三个牧场长满青草，第 一牧场33公亩，可供22头牛吃24天；第二牧场28公亩，可供17头
牛吃84天；第三牧场40公 亩，可供 头牛吃24天．
【解析】
每亩每天的增长量：（84×1728-24×2233）（84-24）=712份
每亩原有的草总量：（2233-712）×24=2份
第三牧场可供时间：（224+712）×40=803头

9、一片牧场上的青 草每天都匀速生长．这片青草可供17头牛吃30天，或者供19头牛吃24天．
现有一群牛，在这片草 场上吃了6天后，卖掉4头，余下的牛又吃2天，把草场上的草全部吃
光．这群牛原来有 头．
【解析】
每天的增长量：（17×30-19×24）（30-24）=9份
原有的草的量：（17-9）×30=240份
假设这群牛有X头，则得到如下方程：
240+9×（6+2）=6X+2（X-4）
→X=38头

34

C卷
10、画展9点开门，但早有人排队等候入场．从第一个观 众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．
如果开了3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个 入场口，9点5分就没有人排队．
那么，第一个观众到达的时间是 点 分．
【解析】
每分钟的人流量：（9×3-5×5）（9-5）=0.5人
原有的人流总量：（5-0.5）×5=22.5人
第一个观众到达：22.50.5=45分钟之前
即8：15分

11 、快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆自行车．它们的速度分别是24千米时、20千米
时、19 千米时．快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行
车用 小时．
【解析】
自行车的时速：（20×10-24×6）（10-6）=14千米
与自行车距离：（20-14）×10=60千米
需要追上时间：60（19-14）=12小时

12、有一批工人完成某项工程 ，如果再调来8个人，10天就能完成；如果仅调来3人，要20天才
能完成．现在只调来2个人，那么 完成这项工程要 天．
【解析】
原有的人数：（8×10-3×20）（20-10）=2人
工程总量是：（8+2）×10=100份
需要时间是：100（2+2）=25天

35

13、甲、乙、丙三块地，每块地面积一样大， 甲块地用1台拖拉机和6头牛5天耕完；乙块地用1
拖拉机和16头牛3天耕完；丙块地有拖拉机2台， 如果要求2.5天把地耕完，同时还要 头
牛．
【解析】
总量=（1拖+6牛）×5=（1拖+16牛）×3 → 1拖=9牛
故总量=（9牛+6牛）×5=（2拖+X牛）×2.5
→X=12头
其实也可以直接这么看
1台拖拉机和6头牛5天耕完
2台拖拉机和12头牛2.5天耕完

14、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不 仅不生长，反而以固定的速度天天减少．已知一块牧场上
的草可供20头牛吃5天，或者可供15头牛吃 6天．照此计算，可供 头牛吃10天．
【解析】
每天草的减少量：（15×6-20×5）（6-5）=-10份
原有的草量则是：[20-（-10）]×5=150份
需要的牛的头数：15010-10=5头

15、自动扶梯以均匀速度由下往上 行驶，两个性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级
阶梯，女孩每分钟走15级阶梯．结果男 孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．
那么，该扶梯共有 级阶梯．
【解析】
电梯的速度：（15×6-20×5）（6-5）=-10份
电梯的长度：[20-（-10）]×5=150级

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思考：
☆ 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井 顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛爬行的速度不
同，一只白天爬20分米，另一只白天爬15分米．黑 夜里往下滑，两只蜗牛的滑行速度相同．结果
一只蜗牛用了5昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜 到达井底．这口井底有 米深．
【解析】
每天滑下的距离：（15×6-20×5）（6-5）=-10分米
原来的井深则是：[20-（-10）]×5=150分米=15米

☆ 一个牧 场长满青草，而且牧草每天都在均匀在生长着．12头牛4周可以吃光103格尔的
牧草；21头牛9周 可以吃光10格尔的牧草．24格尔的牧草或够 头吃18周（格尔是牧场的
面积单位）．
【解析】
每格尔每周的增长量：（21×910-12×4103）（9-4）=0.9份
每格尔原有的草的量：（2110-0.9）×9=10.8份
能够供应的牛的头数：（10.818+0.9）×24=36头


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