今天是七夕-王二小的英雄事迹

奥年级标数法




小四

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四年级计数问题：标数法
难度：高难度
如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从
西南角的 处沿最短的路线走到东北角 出，由于修路，十字路口 不能通过，那
么共有＿＿＿＿种不同走法．

解答：

四年级计数问题：标数法

难度：中难度 如图为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经
过C走到D的不同的最短路线有 条.
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解答：


计数习题标数法和加法原理的综合应用
（★★★★）有20个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3
个或4个，但 要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有（ ）种不
同的方法取完这堆棋子.




【分析】 把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成一串，用标号法
把所有的方法数写出来：


考点说明：本题主要考察学生对于归纳递推思想的理解，具体来说就是列
表标数 法的使用，难度一般，只要发现了题目中的限制条件，写出符合条件的
剩余棋子数，然后进行递推就可以 了。

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<评价> ：计数问题在各大考试中所占的分量越来越重，计数 的知识也学习
的比较早，标号法是加乘原理中加法原理的内容，在四年级以前已经学习过，
但是 灵活应用学习过的知识才是学习最重要的意义，六年级上（第十一级）第
10讲会将计数问题与应用题或 者最值问题进行综合学习，学习后能力会有进一
步的提高。
计数方法与技巧（标数法例题1）
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计数方法与技巧（标数法例题2）

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计数方法与技巧（标数法例题3）

1. 如图所示，小明家在A地，小学在B地，电影院在C地。
1.小明从家里去学校，走最短的线路，有多少种走法?
2.小明从家里去电影院，走最短线路，有多少种走法?

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精品资料 如图，从一楼到二楼有12梯，小明一步只能上1梯或2梯，问小明从1楼上到
2楼有多少种走法？

一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的
蜂房而 不准逆行，共有多少种回家的方法？

解答：蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的 蜂房而不准逆行”这意
味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房。明确了行走路径的方
向，就可运用标数法进行计算。
如图所示，小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法。

例1．按图中箭头所指的方向行走，从A到I共有多少条不同的路线？
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解答：

第1步：在起点A处标1。再观察点B，要想到达点B，只有一个入口A，
所以在B点也标1。



第2步：再观察点C，要想到达点C,它有两个入口A和B，所以在点C处
标1＋1＝2。
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同理重复点F，点D，点E，点G，点H，点I



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分析:既然要走最短路线,自然是不能回头走,所以从A地到B地的过程中只
能向右或向下走.

我们首先来确认一件事,如下图


从A地到P点有m种走法,到Q点有n种走法,那么从A地到B地有多少种
走法呢?

就是用加法原理,一共有m+n种走法.

这个问题明白了之后,我们就可以来解决这道例题了:

首先由于只能向右或向下走,那 么最上面一行和最左边一列的每一个点都只
能有一种走法,(因为不可以走回头路).
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我们就在这些交点的旁边标记上一个数字,代表走到这个位置有多少种方法.


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有一个5位数,每个数字都是1,2 ,3,4,5中的一个,并且相临两位数之差是1.那
么这样的5位数到底有多少个呢?(数字可以重复 )
这是一道数论的题目,但是我们也可以使用标数法来解答,并且非常直观.

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到第一站可以有5种选择,每种选择有一种走法,
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那么下一站,

走1号门就只有一种走法(就是第一站走的2号门),

走2号门就有2种走法(第一站走1号或3号门)

走3号门也是2种走法(第一站走2号门或4号门)

走4号门2种走法(第一站走3号门或者5号门)

走5号门只有一种走法(第一站走的是4号门)

我们发现在这一站经过某个门有多少种 走法,正好等于他左上和右上的两个
数字和.于是我们可以将数字标全.

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这道题的答案就是42种,

虽然很多同学会用枚举法也能做出 42种,但是一旦这道题给的不是5位数,
而是7位数,9位数的话,枚举法就显得无力了.这种时候标 数法是个不错的选择.

可以用到标数法的问题有很多，大家掌握这种方法之后可以解决很多平时
看起来很麻烦的题目。
在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我
们主要解决的问题是如 何确定从某处到另一处最短路线的条数。
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例1 下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车
从A走到B处共有多少条最短路线？



分析 为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2. 在这里，首
先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，不论怎样
走，最 短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB.因此，在水平方向
上，所有线段的长度和应 等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.
这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保 证这一点，我们就不应该走“回头
路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只 能向右和
向下走。

有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：

A→C→D→G→B A→C→F→G→B

A→C→F→I→B A→E→F→G→B

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A→E→F→I→B A→E→H→I→B

通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方
法找 ，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如
果图形更复杂些，做到“不重 ”也是很困难的。

现在观察这种题是否有规律可循。

1.看 C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由
D→C是由右向左走，这两条路线 不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，
从A到C只有一条路线。

同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。

我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。

2.看F点：从 上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到
F，可以是A→C→F，也可以是A→E→ F，共有两种走法.我们在图4—2中的F
点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从A→C的 一种走法；第二个“1”是
从A→E的一种走法。
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3.看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G





我们在G点标上数字“3”.3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“ 1”是
从A→D的一种走法。

4.看I点：从上向下走是F→I，从左向右走是H→I，那么从出发点





在I点标上“3”.3=2+1.“2”是从A→F的两种走法；“1”是从A→H的
一种走法。

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5.看B点：从上向下走是G→B，从左向右走是I→B，那么从出发点A→B
可以这样走：






共有六种走法.6=3＋3，第一个 “3”是从A→G共有三种走法，第二个
“3”是从A→I共有三种走法.在B点标上“6”。

我们观察图4—2发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与
左下 角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数.这样，
我们可以通过计算来确定从A →B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也
“不漏”。

解：由上面的分 析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数
字和即为这格右下角应标的数字.我们称这种方 法为对角线法，也叫标号法。

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根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线
（见图4—3）。

答：从A到B共有6条不同的最短路线。
如图是某街区的道路图，C点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短路
线有多少条？



解答：使用标数法，C点不通用0表示，答案为110种。

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