标数法与牛顿台阶问题
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标数法与牛顿台阶问题
关于“标数法”，先来看两个最简单的例子。
例1：从A到B的最短路径有多少条？
楚香凝解析：从A到C有一种路径，所以在C点标记个“1”；从A到D有一种路径，
所以在D点也标记一个1；到B点有两类情况，可以从C过来，也可以从D过来，所以到达
B点的情况
数=（到达C点的情况数）+（到达D点的情况数），所以在B点标记1+1=“2”。
例2：从A到B的最短路径有多少条？
楚香凝解析：从A到C有一种路径，所以在
C点标记个“1”；从A到D有一种路径，
所以在D点也标记一个1；到E点有两类情况，可以从C过来
，也可以从D过来，所以在E
点标记1+1=“2”；从A到F有一种路径，所以在F点标记个“1”；
到B点有两类情况，可
以从F过来，也可以从E过来，所以在B点标记1+2=“3”。
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注意：标数法适用的前提条件为“最短路径”，更通俗来讲，即不能走“回
头路”
。
下面来看近几年出现过的三道真题。
例1：A、B、C三地的地图如下图所示
，其中A在C正北，B在C正东，连线处为道路。
如要从A地到达B地，且途中只能向南、东和东南方向
行进，有多少种不同的走法：
【山东2014】
A.9B.11C.13D.15
楚香凝解析：标数法，共15种，选D
例2：从A地到B地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果要以最短距离从A地
到达B地，有多少种不同的走法可以选择？【黑龙江2015】
A.14 B.15
C.18 D.21
楚香凝解析：标数法，共15种，选B
例3：下图为某大厦走火通道逃离路线。某大厦集中所
有的人员开展火灾逃生演习，从
入口A点出发，要沿某几条线段才到出口F点。逃离中，同一个点或同一
线段只能经过1
次。假设所有逃离路线都是安全的，则不同的逃离路线最多有（）种。【广州2015】
A.8 B.9 C.10 D.11
楚香凝解析：此
题与标数法的区别在于，可以往上和斜上走，所以标数法不再适用，需
分类计算；A→D，之后有四种；
A→B→D，之后有三种；A→B→C，之后有三种；共10种，
选C
牛顿台阶问题（斐波那契递推数列）
例1：十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走完此楼梯共有多少种方法？
A.55
B.67 C.74 D.89
楚香凝解析：
解法一：列举找规律；
阶梯数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
方法数: 1 2 3 5 8 13 21 34
55 89
走到1阶只有1种方法；走到2阶有2种（1+1或直接上2阶）；走到3阶有3种（
1+1+1
或1+2或2+1）„依次类推，选D
解法二：到达第十阶的前一步只有两类情况
：【从第九阶迈一步上来】或者【从第八阶
迈两步上来】，所以到达第十阶的情况数=（到达第九阶的情
况数）+（到达第八阶的情况数），
以此类推，到达某阶的情况数等于前面两个数之和（前两项通过列举
得到），由此可得斐波
那契递推数列1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，选D
解法三：分类计算；
走五次两阶、共五步，有1种；
走四次两阶、共六步，选出四步来走两阶，有C（6 4）=15种；
走三次两阶、共七步，选出三步来走两阶，有C（7 3）=35种；
走两次两阶、共八步，选出两步来走两阶，有C（8 2）=28种；
走一次两阶、共九步，选出一步来走两阶，有C（9 1）=9种；
走0次两阶，有1种；
共1+15+35+28+9+1=89种，选D
拓展：十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶或者三阶，请问走完此楼梯共有多少种
方法？
A.89 B.169 C.230 D.274
楚香凝解析：到达
第十阶的情况数=（到达第九阶的情况数）+（到达第八阶的情况数）
+（到达第七阶的情况数），以此
类推„到达某阶的情况数等于前面三个数之和（前三项通过
列举得到），由此可得斐波那契递推数列如下
：
阶梯数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
方法数: 1 2 4 7 13 24 44 81
149 274
例2：小璐有8元钱，她准备从明天起，用这8元钱每天买
一个冰激淋或者一包果冻吃。
冰激淋1元一个，果冻2元一包。请问小璐花完这8元钱一共有多少种方法
？【广东2003】
A.21 B.34 C.55 D.89
楚香凝解析：八元钱看作八个台阶，买个冰激凌相当于走一步、买包果冻相当于走两步，
台阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
方法数 1 2 3 5 8 13 21 34
方法数对应斐波那契数列，选B
例3：兔子在出生两个月后，就
有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如
果现在给你一对幼兔，所有兔都不死，那么一年后
可以繁殖多少对兔子？（假设每对兔子都
为雌雄各一只）【吉林2008】
A.144
B.233 C.286 D.315
楚香凝解析：假设刚出生的兔子，一个月后长
成大兔子、两个月及以后的每个月可以生
一对小兔子；小兔子的来源只有一种：大兔子生出小兔子；大兔
子的来源有两种：小兔子经
过一个月变成大兔子、原来的大兔子依然是大兔子；可得下表
月份数出生 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
小兔子对数 1 0 1 1
2 3
大兔子对数 0 1 1 2 3 5
兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21
34 55 89 144 233
可得兔子总数为斐波那契数列，选B
从本
质分析，兔子总对数=（当月大兔子对数）+（当月小兔子对数），当月大兔子对数=
上个月的小兔子对
数+上个月的大兔子对数=上个月兔子总对数；同理，当月小兔子数=上个
月的大兔子数=上上个月总兔
子对数，所以兔子总对数=（上个月兔子总对数）+（上上个月
总兔子对数）。
例4：如图所示为两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1号蜂房到8号蜂房，假设只向右方（正
右或
右上或右下）爬行，则不同的走法有（）。【安徽2011】
A.16种B.18种C.21种D.24种
楚香凝解析：斐波那契数列；从1号出发，
到达编号数 5 2 6
3 7 4 8
对应方法数 1 2 3 5
8 13 21 ，选C
从本质分析，到达7号的前一步有两类情况：【从3号往
右上过来】或者【从6号往右
过来】，所以到达7号的情况数=【到达3号的情况数】+【到达6号的情
况数】。斐波那契数
列其实是属于标数法的一种，标数如下：
对于求一些标准格子图形的最短路径数，除了标数，还可以利用排列组合。
例5
：
从一个3×4的方格中的一个顶点A到顶点B的最短路线有几条？
A.28 B.30 C.32 D.35
楚香凝解析：往右走4步、往
上走3步，总共7步，相当于从7步里选出3步往上走
即可，C（7 3）=35种。
例6
：
从一个6×4的方格中的一个顶点A到顶点B、且不经过C点的最短
路线有几条？
A.96 B.100 C.120 D.195
楚香凝解析：A→B的总情况数减去必经过C的情况数（先A→C，然后C→
B）即可，C
（10 4）-C（6 2）*C（4 2）=120种，选C
巩固练习题：（有一定难度）
例1：十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者三阶，请问走完此楼梯共有多少种方法？
A.32
B.40 C.46 D.28
楚香凝解析：到达第十阶的情况数=（到达第九阶的情
况数）+（到达第七阶的情况数），
以此类推„到达某阶的情况数等于【前面挨着的第一个数】与【前面
挨着的第三个数】之和
（前三项通过列举得到），由此可得斐波那契递推数列如下：
阶梯数:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
方法数: 1 1 2 3 4 6 9 13 19
28 ，选D
例2：一条小河宽6米,一只青蛙向前跳一次可以跳0.5米或
1米，这只青蛙从河的一
岸跳到对岸共有多少种跳法？
A.74 B.92
C.168 D.233
楚香凝解析：相当于总共有12级台阶，每次可以走一步或两步，
阶梯数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12
方法数: 1 2 3 5 8 13
21 34 55 89 144 233 ，选D
例3：余梅今年4岁，爱吃泡泡糖，她现有10颗完全相同的泡泡糖，妈妈只允许她每
次吃一颗或两颗，
则她共有( )种不同的组合方法吃完这些泡泡糖。【陕西2015】
A.72 B. 89
C.95 D.107 E.112 F.124 G.136 H.144
楚香凝解析：牛顿台阶问题，本质斐波那契递推数列；
台阶数 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
方法数 1 2 3
5 8 13 21 34 55 89 ，选B
例4：如图所示为三排蜂房，一只蜜蜂从左下角的蜂房到右下角的蜂房，假设只向右方
（正右或右上或右
下）爬行，则不同的走法有（）种？
A.44 B.55
C.66 D.77
楚香凝解析：标数法，共77种，选D
例:5：从一个4×4的方格中的一个顶点A到顶点D，必须经过B点且不能经过C点
的最短路线有几条？
A.12 B.15 C.18
D.24
楚香凝解析：C（4 2）*[C（4 2）-C（3 2）]=18条，选C
对本类问题做进一步拓展
例1：十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，若不能
经过第7阶，走完此楼梯共有
多少种方法？
A.21 B.26 C.54
D.89
楚香凝解析：
解法一：牛顿台阶问题，本质斐波那契递推数列；
台阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
方法数 1 2 3 5 8 13 0 13
13 26 ，共26种，选B
解法二：分步，1→6阶有13种，然后直接到达第八阶，
还剩下两阶有2种，共13*2=26
种，选B
例2：十阶楼梯，小张
每次只能走一阶或者两阶，若必须经过第7阶，走完此楼梯共有
多少种方法？
A.42
B.54 C.63 D.72
楚香凝解析：
解法一：牛顿台阶问题，本质斐波那契递推数列；
台阶数 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
方法数 1 2 3 5
8 13 21 21 42 63 ，共63种。
解法二：分步，1→7阶有21种，还剩下三阶有3种，共21*3=63种，选C
例3：由1、3、4组成的各位数字和为9的多位数共有多少个？（可以只用1种或2种
数字）
A.20 B.25 C.30 D.40
楚香凝解析：分类讨论方法不再详述。
转化为台阶问题，总共九级台阶，每次可以走一步、三步或四步。
台阶数 1 2
3 4 5 6 7 8 9
方法数 1 1
2 4 6 9 15 25 40 ，共40种，选D
例4：有15枚棋子，每次可以取出1-4个，但每次取过后剩下的不能是3或4的倍数，
有多
少种取法？
A.33 B.42 C.60 D.78
楚香凝解析：树形图标数的方法不再详述。
转化为台阶问题，共15个台阶，其中3的倍数或4的倍数阶不能到达。
比如到达第七阶的情
况数=（到达第六阶的情况数）+（到达第五阶的情况数）+（到达
第四阶的情况数）+（到达第三阶的
情况数），其中有些情况数为0；
取出数：1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
剩余数：14 13 12
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
方法数：1 2 0 4 7 0 0 11 0 11 0 0
11 22 33 ，选A
例5：20枚硬币分若干次取完，每次取完后不能留下3的倍数，有多少种取法？
A.4200 B.5672 C.7564 D.8192
楚香凝解析
：转化为台阶问题，取完后剩余数为19-1，其中第18、15、12、9、6、3
13
阶不
能到达，还剩下19-6=13个台阶，每个台阶到达与否都有2种选择，共2=8192种，选
D