神奇的解法阶梯型标数法
美好家园-yy创建频道
一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列
的2列纵队，每列仍
然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那
么，2列纵队有 种不同排法。
【解析】首先，将8人的身高从低到高依次编号为1、2、3、4、
5、6、7、8，现在就相当于要将这8个数填到一个
4×2的方格中，要求每一行的数依次增大，每一
列上面的要比下面的大。
下面我们将1、2、3、4、5、6、7、8依次往方格中填
，按照题目规则，很容易就发现：第二行填的的数字的个数
永远都小于或等于第一行数字填的个数。也就
是说，不能出现下图这样的情况。
而这个正好是“阶梯型标数”题型的基本原则。于是，我们可以把原题转化成：
在这个
阶梯型方格中，横格代表在第一行的四列，纵格代表第二行的四列，那么此题所有标数的方法就相当于从A
走到B的最短路线有多少条。
例如，我们选择一条路线：
它对应的填法就是：
最后，用“标数法”得出从A到B的最短路径有14种，如下图：
2．难度：★★★★
圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余10个点
没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形
中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色 多边形；只包含
红点(蓝点)的多边形称为红色(蓝色)多边形．不包含
红点及蓝点的称无色多边形．试问，以这12个
点为顶点的所有凸多边形(边数可以从三角
形到12边形)中，双色多边
形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？
【
解析】从任意一个双色的边形出发(N>=5时)，在去掉这个双色多边形中的红色顶点与蓝色顶点后，将得到一
个无
色的N-2边形；另一方面，对于一个任意的无色的M边形，如果加上红色顶点和蓝色顶点，就得到
一个双色的M+2边形，
所以无色多边形与双色多边形中的五边形以上的图形是一一对应的关系，所以双
色多边形的个数比较多，多的是双色三
角形和双色四边形的个数．而双色三角形有10个，双色四边形有
C
10
2
=45个，所以双色多边形比无色多边形多10+45=55
个。
阶梯型标数法
1. 加菲和宗峰一起洗5个大小互不相同的盘子。加菲洗好的
盘子从大到小一个一个往上摞，宗峰再从最上面一
个一个的拿走放进橱柜里。加菲一边洗，宗峰一边拿，
那么宗峰摞好的盘子一共有多少种不同的摆法？
每横着走一步，表示加菲洗完了一个盘子；每竖着走一格，表示宗峰拿走了一个洗好的盘子。 无论任何
时候，
宗峰拿走的盘子都不可能比加菲已经洗好的盘子多，所以整个图是一个斜三角。这种标数法叫阶梯
型，也叫斜三角标数
法。
每一种最终到达右上角的走法都对应着一种盘子的摆放顺序，所以只
需要给每一步标上数字即可。注意阶梯型标
数法标数要标在节点上。
另外要注意的就是每一步只能向右或向上走，所以每个节点的数值都是下面和左边两个节点的数值之和。
全部标好数字之后，就容易看出，一共有42种摆放方法。
阶梯型标数法是一种非常非常非常
有用的解决计数问题的方法，可以把很多复杂的题目轻松秒掉。强烈建议大家
掌握哦~
2.
把10、16和其他四个不同的自然数填进6个空格里，要求这6个自然数从左到右按顺序构成一个等差数列，<
br>那么一共有多少种不同的填法？
解：如果包含10和16的数字构成了等差数列，那么10和16的差一定是公差的倍数。
由于公差能整除6，所以公差只能是1、2、3、6.
其中公差等于1的情况是不可能在只有6个数的时候出现的，
只要看后三者即可。
以公差为2
举例，此时10和16之间有12和14，另外还要再填两个数。可以来看10在这6个数里的位置，能从
左边第一格到左边第3格，共有3种填法。
同样的，公差为3时有4种，不过公差为6时10只能填在第一或第二个，只有两种。
因此，升序的时候共有9种填法。每一种左右颠倒就能得到对应的降序的数列，一共共有18种填法。
3. 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元
的钞票，另
外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找
得开零钱？
解：与类似题目找对应关系
阶梯型标数法专用来解决有“先后或大小关系“的排列组合题。
要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的 要比
拿2元
的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜
直角三角模型．在下
图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为
从A 点沿格线走到B 点，每次只
能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的
小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下
图中从A 到B
有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法。
但是由于10个小朋
友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5！=120
种排
法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有A
5
5
×A
5
5
=14400种排队方法。
这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有42×14400=604800种。