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7-1-3.加法原理之树形图及标数法


1.使学生掌握加法原理的基本内容；
2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；
3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．
加法原理的数学 思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨
论问题的习惯，锻炼思维的周全细 致．
教学目标
知识要点
一、加法原理概念引入

生活中常有 这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又
有几种可能的做法．那么，考 虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．
例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也 可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火
车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天 中去天津能有多少种不同的
走法？
分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途 汽车，有这两大类走法，如
果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都 可以从北京到
天津，故共有5+4=9种不同的走法．
在上面的问题中，完成一件事有两大类 不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中
的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的， 那么完成这件事的全部做法数就是
用第一类的方法数加上第二类的方法数．
二、加法原理的定义
一般地，如果完成一件事有
k
类方法，第一类方法中有
m
1
种不同做法，第二类方法中
有
m
2
种不同做法 ，…，第
k
类方法中有
m
k
种不同做法，则完成这件事共有
N m
1
 m
2
……m
k
种不同方法，这就是加法原理．
加法原理运用的 范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成
任务，这样的问题可以使用加法原 理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．
分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于 它的分类标准，然后在这个标准下进行
分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：
① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．
运用加法原理解题时，关键是 确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，
就是“整体等于局部之和”．
三、加法原理解题三部曲
1、完成一件事分
N
类；
2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；
3、类类相加
枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．
分类讨论的 时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚
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举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．

例题精讲


模块一、树形图法

“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使 枚举过程不仅形象直
观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．

【例 1】
A
、
B
、
C
三个小朋友互相传球，先从
A
开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5
次传球后，球恰巧又回到
A
手中，那么不 同的传球方式共多少种？
【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2005年，小数报
【解析】 如图，
A
第一次传给
B
，到第五次传回
A
有5种不同方式．
同理，
A
第一次传给
C
，也有5种不同方式．
所以，根据加法原理，不同的传球方式共有
5510
种． B
A
AB
A
C
B
C
C
B
B< br>C
C
A

【答案】
10


【巩固】 一只青蛙在
A
，
B
，
C
三点之间跳动， 若青蛙从
A
点跳起，跳4次仍回到
A
点，则
这只青蛙一共有多少种不 同的跳法？
【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 6种，如图，第1步跳到
B
，4步回到
A
有3种方法；同样第1步到
C
的也有3种
方法．根据加法原理，共有
33 6
种方法．
B
A
AB
C
C
B
A
A
A

【答案】
6


【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁 赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局
谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？
【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：

图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一
共有 7＋7=14（种）可能的情况．
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【答案】
14


【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过
一次，有 种不同的走法。
起点
终点

【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第3题
【解析】 给这些点依次标上字母（如左图），然后采用枚举法（如右图）：
bd
d
b
c
d
e
e
d
e
f
f
f
f
a
f
a
ce
c
e
c
bd

共4种不同的走法。
【答案】
4
种


模块二、标数法

适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点 的线路数量，最终得到到达终点的
方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．

（一）简单图形的标数法

【例 4】 如图所示，沿线段从
A
到
B
有多少条最短路线？
1
3< br>2
1
6
3
1
10
4
1
E
C
F
B
1
B
D
G
A

【考点】加法原理之标数法 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 图中
B
在
A
的右上方，因此从
A
出发， 只能向上或者向右才能使路线最短，那么
反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这 个点左边的点来的，
要么是从这个点下边的点来的．那么，如果最后到达了
B
，只有两 种可能：或者经
过
C
来到
B
点，或者经
D
来到B
点，因此，到达
B
的走法数目就应该是到达
C
点的
走 法数和到达
D
点的走法数之和，而对于到达
C
的走法，又等于到达
E
和到达
F
的
走法之和，到达
D
的走法也等于到达
F
和到达
G
的走法之和，这样我们就归纳出：
到达任何一点的走法都等于到它左 侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法
原理，我们可以从
A
点开始，向右向上 逐步求出到达各点的走法数．如图所示，
使用标号方法得到从
A
到
B
共有10种不同的走法．
【答案】
10


【巩固】 如图，从
A
点到
B
点的最近路线有多少条？
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A

B
1
1< br>1
4
3
2
1
10
6
3
1
2 0
10
4
1
B

A

A

【考点】加法原理之标数法 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 使用标号法得出到
B
点的最近路线有20条．
【答案】
20


【例 5】 如图，某城市的街道由5条东西向马 路和7条南北向马路组成，现在要从西南角
的
A
处沿最短的路线走到东北角
B
出，由于修路，十字路口
C
不能通过，那么共
有＿＿＿＿种不同走法． < br>B
1
1
1
1
A
B
51535
55< br>81
120
4
10
202026
39
36
1 0C
613
2
3
4567
C
A
1
1
1
11
1

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题是最短路线问题．要找出共有多少 种不同走法，关键是保证不重也不漏，一般
采用标数法．如上图所示，共有120种．
另解： 本题也可采用排除法．由于不能经过
C
，可以先计算出从
A
到
B的最短路线有多少
条，再去掉其中那些经过
C
的路线数，即得到所求的结果． < br>对于从
A
到
B
的每一条最短路线，需要向右6次，向上4次，共有10 次向右或向上；而对
于每一条最短路线，如果确定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上 的，从
而该路线也就确定了．这就说明从
A
到
B
的最短路线的条数等 于从10次向右或向上里面选
6
择6次向右的种数，为
C
10
． < br>m
一般地，对于
mn
的方格网，相对的两个顶点之间的最短路线有
C
mn
种．
6
本题中，从
A
到
B
的最短 路线共有
C
10
种；从
A
到
C
的最短路线共有C
6
2
种，从
C
到
B
的最
2
短路线共有
C
4
2
种，根据乘法原理，从
A
到
B< br>且必须经过
C
的最短路线有
C
6
2
C
4< br>种，所以，
622
C
6
C
4
210901 20
种． 从
A
到
B
且不经过
C
的最短路线有C
10
【答案】
120


【例 6】 如图所示，从
A
点到
B
点，如果要求经过
C
点或
D
点的 最近路线有多少条？

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 1、方格图里两点的最短路径，从位置低的点向位置高的点出发的话，每到 一点（如
C
、
D
点）只能向前或者向上．
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2、题问的是经过
C
点，或者
D
点；那么
A
到
B
点就可以分成两条路径了 A
--
C
---
B
；
A
---
D---
B
，
那么也就可以分成两类．但是需要考虑一个问题——
A
到
B
点的最短路径会同时经过
C
和
D
点吗？最短路径只能 往上往前，经过观察发现
C
、
D
不会同时出现在最短路径上了．
3 、
A
---
C
---
B
，那么
C
就是必经 之点了，就需要用到乘法原理了．
A
---
C
，最短路径用标数
法标 出，同样
C
---
B
点用标数法标注，然后相乘
A
---
D
---
B
，同样道理．最后结果是735+420=1155条．
【答案】
1155


【例 7】 如图
1
为一幅 街道图，从
A
出发经过十字路口
B
，但不经过
C
走到
D
的不同的最
短路线有 条.
【考点】加法原理之标数法 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 到各点的走法数如图
2
所示.
D
6
12
18
D< br>66
C
6
1
1
A
3
2
1
6
B
3
1
B
A
C

所以最短路径有
18
条.
【答案】
18


【例 8】 小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在
P
点，他去少年 宫都是走
最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．
P
人工湖
B
超市
A
D
E
C

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题属最短路线问题．运用标数法分别计算出从小王家
P
点到
A< br>、
B
、
C
、
D
、
E
点的不同路线有 多少条，其中，路线条数与小王学习次数56相等的点即为少年宫．
因为，从小王家
P
点到
A
点共有不同线路84条；到
B
点共有不同线路56条；到
C
点共有
不同线路71条；到
D
点共有不同线路15条；到
E
点共有不同线路36条．所以，少年宫在
B
点处．
【答案】
B


【例 9】 一只兔子沿着方格的边从
A
到
B
,规定上只 能往上或往右走，但是必须经过一座独
木桥
MN
,这只兔子有（ ）种不同的走法
B
M
N
A

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【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛，第15题
【解析】 标数法
6
6
12
6
18
6
1
1
1
3
2
1
6
3
1

【答案】
18
种

【例 10】 在下图的街道示意图中，有几处 街区有积水不能通行，那么从
A
到
B
的最短
路线有多少种？ A
A
1
1
1
1
1
1
2
34
5
6
1
3
1
4
1
5
51
6
11
11
5
111111
11
22

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为
B
在
A
的右下方，由标号法可知， 从
A
到
B
的最短路径上，到达任何一点的
走法数都等于到它左侧点的 走法数与到它上侧点的走法数之和．有积水的街道不可
能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0．接 下来，可以从左上角开始，按照
加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从
A
到
B
的最短路线
有22条．
【答案】
22
条

B

1
B
（二）不规则图形的标数法
【例 11】 在下图的街道示意图中，
C
处因施工不能通行，从
A
到
B
的最短路线有多少条？
B
C
1
1
1
2
1
A
3
2
2
1
0
2
B
6
3
3
1
C

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为
B
在
A
的右上方，由标号法可知，从
A
到
B
的最短路径上，到达任何一点的
走法数都等于到它左侧点的走法数与到它下侧点的走法数之和．而
C
是一个特殊
的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过
C
，可以认为到达
C
点的走法 数是
0．接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法
数．如图 ，从
A
到
B
的最短路线有6条．
【答案】
6
条
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A
1

【巩固】 小群家到学校的道路如图4所示。从小君家到学校有_________种不同的走法。（只
能沿图中向右向下的方向走）
小君家

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试，第15题
【解析】
小君家
1
11
2
2
4
7
10
3< br>1
学校
1
2
1
3
1
2
学校

所以有10种.
【答案】
10


【例 12】 如下表 ，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里
能连续(即相邻的字在表中也是左右 相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的
“我们学习好玩的数学”的读法．
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
1
5
15
35
70

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：标数法．第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择
前面那个字的下方 或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：(如右上
图，在格子里标数)共70种不同的读法． < br>方法二：组合法．仔细观察我们可以发现，按“我们学习好玩的数学”走的路线就是向右走
四步， 向下走四步的路线，而向下和向右一个排列顺序则代表了一种路线．所以总
共有
C
8< br>4
70
种不同的读法．
【答案】
70


【例 12】 在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，
正 好拼出“
APPLE
”的路线共有多少条？
7-1-3加法原理之树形图及标数法 教师版 page 7 of
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A
|
1
|
A—P—A
| | |
1—3 —1
| | |
A—P—P—P—A
| | | | |
1—2—7 —2—1
| | | | |
A—P—P—L—P—P—A
| | | | | | |
1—2—4—15—4—2—1
| | | | | | |
1—2—4—8—31—8—4—2—1

A—P—P—L—E—L—P—P—A

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 要想拼出英语“
APPLE< br>”的单词，必须按照“
A
→
P
→
P
→
L→
E
”的次序拼写．在图中
的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示 ，运用标号法原理标号得出
共有31种不同的路径．
【答案】
31


【巩固】 如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖< br>国明天更美好”，那么可读成“祖国明天更美好”的路线有 条.
【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如图2所示，利用加法原理，将读到各个字的路线数写在每个字下方，共有不同的
路 线
2
7
1127
(条).



【答案】
127


【巩固】 如图，用水平线或竖直线连结相邻汉 字，沿着这些线读下去，正好可以读成“我
爱学而思”，那么可读成“我爱学而思”的路线有 条．
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我
我
我
我
我
爱
爱
学
爱
学
而
爱
学
而
思
我
爱
学
而
我
爱
学
我
爱
我

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第3题
【解析】 只有一个思，可以从后向前考虑，用标数法 。共有
14641464131
种。
1
4
6< br>4
11
3
1
3
2
1
1
1
1
4
3
2
1
6
3
1
4
11

【答案】
31
种

【巩固】右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.
我
爱
希
望
杯
爱
希
希
望
望
杯
杯
望
杯
杯
1
我
1
爱
1希
1
望
1
爱
2
希
1
希
3
望
3
望
1
望
1
杯
杯
5
杯
11
杯15
杯< br>16

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 “我爱希望杯”的读法也就是从“我”走到“杯”的方法.如上右图所示，共16
种方法.
【答案】
16


【例 13】 如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一
共有多少种不同的走法？
1
北
131
北京北
北京欢京北

12721

欢迎欢
你
2112
11
【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖 直方向走，北以后的每一个字都只能选择上
面的或左右两边的字，按加法原理，用标号法可得右上图．所 以一共有
11
种走法．
【答案】
11


【例 14】 如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“
Einstein
”，按图中箭头< br>所示方向有 种不同的方法拼出英文单词“
Einstein
”.
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E
i
n
s< br>t
e
i
n
i
n
s
t
e
i< br>n
s
t
i
n
s
1
1
s
n< br>4
t
10
i
1
E
i
3
s
2
n
6
t
20
i
i
1
1
n
4
t
10
i
s
1
3
s
10
e30
n
10
e
30
n

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由
E→i→n→s→t→e→i→n
的拼法如图
2
所示.
根据加法原理可得
共有
303060
(种)不同拼法.
【答案】
60


【例 15】 图中有10个编好号码的房间，你 可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，
但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有 多少种不同的走法？

【考点】加法原理之标数法 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 我们可以把这个图展开，用箭头标出来就更直观了，然后采用我们学的标数法．

【答案】
22


【例 16】 国际象棋中“马”的走法如图
1
所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的
方格中， 类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在
88
的国际象棋棋盘中
位于第一行第 二列（图
2
中标有△的位置），要走到第八行第五列（图
2
中标有＠
的位置），最短路线有________条．
@
图1图
@
图2

第
题
【考点】加法原理之标数法 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】 最后一步的可能如图
1
，倒 数第二步的可能如图
2
，倒数第三步的可能如图
3
．
最后
36312
（种）．
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1
11
2
1
1
1
21
2
1
1
3
2
6
1
1
32
1
2
1
1
@
图1
@
图2
@
图3

【答案】
12


【例 17】 如图所示 ，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成，小兔要从
A
处做到
B
处，如果它 在圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道
路最多走一次，那么小兔可以选择的 不同路线有 条.
4
2
2
A
1
2
1
2
6
A
2

【考点】加法原理之标数法 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第2题
【解析】 采用标数法，如图所示，不同路线共有6条．
【答案】
6
条

【例 18】 蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下．每个正六边
形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2．春节到来之时，群蜂将在巢上跳
起舞步，舞步的每个节 拍恰好走过的四个数字：2010（从某个2出发最后走完四
步后又回到2，如图中箭头所示为一个舞步 ），且蜜蜂每一步都只能从一个正六边
形移动到与之有公共边的正六边形上．蜜蜂要经过四个正六边形且 所得数字依次
为2010，共有 种方法．
B
2
B

【考点】加法原理之标数法 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复赛，8题
【解析】 图中标2的六边形分两类，第一类如上左图所示，第二类如上右图所示．

从第一类六边形出 发，每个六边形都只有1种走法，因此共有6种走法．从第二类六边形出
发，每个六边形有4种不同的走 法，其中两种是环形回路（细线表示），两种是原路返回（粗
线表示），因此共有
4624
种走法．综上所述，共有
24630
种不同的走法．

【答案】
30


7-1-3加法原理之树形图及标数法 教师版 page 11 of
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（三）立体图形标数法

【例 19】 从北京出发有到 达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如
图所示(虚线表示在地球背面的航线)，则从 北京出发沿航线到达其他所有城市各
一次的所有不同路线有多少？
莫斯科
巴黎
北京
东京
纽约

【考点】加法原理之标数法 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 第一站到东京的路线有10条：




< br>纽约
莫斯科巴黎悉尼



悉尼巴黎莫斯科


巴黎悉尼


纽约





悉尼巴黎
北京东京

莫斯科


纽约悉尼

巴黎



悉 尼纽约




巴黎莫斯科


纽 约




莫斯科巴黎

悉尼
< br>
纽约莫斯科


巴黎




莫斯科纽约


同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路线各有10条， 不同的路线共有
10440
条．
【答案】
40
条
悉尼

【例 20】 如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线
共有 条。
B

【考点】加法原理之标数法 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第15题
【解析】 直接用标数法，即可 。观察发现，从A点出发的三个面左面、下面、前面所标数相
等，则上面的中间填6，进而中间右填18 。类似的，即可得到到达B段的方法总共
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A

有：18×3=54。
6
3
1
3
3
2
1
1
2
2
1
3
3
3
1
6
6
18
6
6
6
18
18
54
B
A
1

【答案】
54
条

【例 21】 如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共
有 条。
B
A
【考点】加法原理之标数法 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第15题
【解析】 最短路线有条384条。
20
10
4
1
4
8
10
18
18
20
36
18
1
3
6
10
18
1
8
2
34
10
4
1
1
1
56
36
56
128
128

B
128
56
20
A

【答案】
384
条

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