千层糕的做法-边疆的意思

旗开得胜

7-1-3.加法原理之树形图及标数法


教学目标

1.使学生掌握加法原理的基本内容；
2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；
3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．
加法原理的数学 思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻
炼思维的周全细 致．
知识要点
一、加法原理概念引入

生活中常有这样的情况，就是在 做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做
法．那么，考虑完成这件事所有可 能的做法，就要用加法原理来解决．
例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现 在知道每天有五次火车从北京到天津，
有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种 不同的走法？
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分析这 个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5
种走法， 如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的
走法 ．
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就 可
以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二 类的
方法数．
二、加法原理的定义
一般地，如果完成一件事有
k
类方法，第一类方法中有
m
1
种不同做法，第二类方法中有
m
2种不同做法，…，
第
k
类方法中有
m
k
种不同做法，则 完成这件事共有
N m
1
 m
2
……m
k
种不同方法，这就是加法原理．
加法原理运用的 范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问
题可以使用加法原 理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．
分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于 它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分
类时要注意满足两条基本原则：
① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．
运用加法原理解题时，关键是 确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于
局部之和”．
三、加法原理解题三部曲
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1、完成一件事分
N
类；
2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；
3、类类相加
枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．
分类讨论的 时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意
顺序，这样才 能做到不重不漏．

例题精讲


模块一、树形图法

“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又< br>不重复遗漏，使人一目了然．

【例 1】
A
、
B
、
C
三个小朋友互相传球，先从
A
开始发球(作为第一次传球)，这样经过 了5次传球后，球恰
巧又回到
A
手中，那么不同的传球方式共多少种？
【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答
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