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第11讲 加法原理与乘法原理
内容概述
理解加法原理和乘法 原理，体会分类计数与分布计数的区别；能够根据题
目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数 法解决各类路径问题。
典型例题
兴趣篇
1．墨莫去吃午饭，发现附近的中餐厅有 9个，西餐厅有3个，日式餐厅有
2个，他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？

答案：l4种
解析:中餐厅、西餐厅、日餐厅是三种不同口味的餐厅，墨莫只是选择其中的< br>某一种口味，而不是逐一品
所以不同口味的餐厅之间是
图所示：






由加法原理，共有9+3+2=14种不同的选择．

2．墨莫进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和
热菜各 买1种，一共有多少种不同的买法？

答案：60种
解析:主食和热菜都要买 ，缺一不可，只是可以有先后顺序，逐步完成．假设
墨莫先买主食，再买热菜，这样就把这件事情分为< br>尝各种口味，
分类关系．如

两步完成．如图所示：




由乘法原理，共有3×20=60种不同的买法．

3．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺
序排成一行就会有神 龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列
的特定顺序，请问：运气不好的沙鲁最多要试 几次才能遇见神龙？

答案：5040次
解析:7颗不同的龙珠分别是一星珠到七星珠，当把7颗龙珠排成一行的时
候，
从左到右，分别称为“位置1”到“位置7”，如图所示：





逐步在这7个位置放上龙珠，一共需要7步，即从位置1到位置7依次放
入龙珠．
“ 位置1”可以放7颗龙珠当中的任意一颗，有7种可能．“位置2”需要从剩下
的6颗中任意选出一颗来 ，有6种可能．
类似地，“位置3”有5种可能，“位置4”有4种可能，剩下的三个位置分 别有3、

2、1种可能．
根据乘法原理，得不同的排列方法总共有
7×6×5×4×3×2×1=5040种可能．
所以沙鲁最多要试5040次才能遇见神龙。

4．电影院里有10个空座位，萱萱和卡莉娅 去看电影，每个人坐一个座位，
共有多少种不同的坐法？

答案：90种
解析:如图所示：




由乘法原理，共有10×9=90种不同的坐法．

5．用红、黄、蓝三种颜色 给图11-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种
颜色，并且相连的两个圆圈不能同色．一共有多少种 不同的染色方法？







答案：6种
解析:三个圆圈都要染色，可以先染圆圈A的颜色，再染圆圈B的颜色， 最
后染圆圈C的颜色，这显然是；一个分步的关系．
第一步是对圆圈A的染色，可以染成红、黄、蓝中的任意1种颜色，有3

种选择；
第二步是对圆圈B的染色，由于圆圈B与圆圈A之间有线段相连，不能同
色，只有2种选择；
第三步是对圆圈C的染色，由于圆圈C与圆圈A和圆圈B都有线段相连，
那么除去圆圈A和圆圈B 的2种颜色，只有1种选择．如图所示：





根据乘法原理，对A、B、C这三个圆圈的染色有；3×2×1=6种不同的方法，

6．用红、黄两种颜色给图II -2中小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，如果每
种器官必须染相同的颜色，一共有多少种不同的染色方法？






答案：8种
解析:如图所示：

根据乘法原理，对小丑的眼睛、鼻子、嘴巴的染色有2×2×2=8种不同的方
法。
< br>7．运动会中有4个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，
规定每个参 赛者只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这4
个项目，请问：
(l)如果每名同学都可以任意报这4个项目，一共有多少种报名方法？
(2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？

答案： （1) 256种(2) 24种
解析:假设他们依次去报名，甲先报，乙、丙、丁再接着一个个报，那么这
之问是分步的关系．
(1)甲可以在4个项目中任意选取一个来报名，有4种选择，乙、丙、丁也
都可以有4种选择，
根据乘法原理，不同的报名方法总共有
4×4×4×4=256（种）．
(2)甲可以在4个项目中任意选取一个，有4种选择，乙报名的项目不能和
甲相同，剩下3种选择．
类似地，丙只剩2种选择，丁只剩下最后1种选择，
所以，根据乘法原理可得，总共的报名方法有
4×3×2×1=24（种）．
< br>8．萱萱的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语
书．请问：(l)如 果从中任取l本书，共有多少种不同的取法？(2)如果从中取出
语文书、数学书、英语书各1本，共有 多少种不同的取法？

答案：(1)14种(2)90种

解析:(l)从所有的书中任取一本，那么就只能选取这三种书中的某一种，所
以这是一个分类的关系， 使用加法原理，一共有5+6+3=14种不同的取法．
(2)从每类中各选取一本，那么三 种书都必须选取，可以先选一本语文书，
再选一本数学书，最后选一本英语书，所以这是分步的关系，使 用乘法原理，一
共有5×5×3=90种不同的取法．

9．如图11-3，甲、乙 两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、
丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少 条不同的路线？






答案：1l条
解析:首先，从甲地到丙地有两类不同的路线，第一类路线是从上方走，经过乙地再到丙地；第二类路线是从下方走，直接到丙地，只需选取其中的某一类
路线即可，因此这之 间是分类的关系．
第一类路线中（上方：甲一乙一丙），是分为两步的，第一步为“甲一乙”，第
二步为“乙一丙”．
第二类路线中（下方：甲一丙），很明显是3种选择．如图所示：第一类：
甲一乙一丙 （上方走）第二类：甲一丙（下方走）

所以总共的不同路线有4×2+3=11种．

10.图1 1-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选
择的最短路线一共有多少条？





答案：56条
解析:根据题目条件， 要选择最短的路线，只能往上走或往右走．采用标数
法，顶点上所标的数字表示从A点到该顶点的走法， 如图1所示：







首先，到M点和N点，当然都只有1种走法，其中到Q点也只有1种走法，
因为到P点的前一 步，要么是从M点过来，要么是从N点过来，这两种情
况之间是分类关系，所以到P点的走法共有1+1 =2种．
同理，到R点的走法共有1+2=3种．
按这样的方法，依次把


每个点都标上数，如图2：

最后，B顶点标记为56，即有56种不同的走法．


拓展篇
1．小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以 坐飞机，经
过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．他们乘坐
这些 交通工具，一共可以有多少种不同的选择？

答案;9种
解析: 小高一家人要么坐火车，要么坐汽车，要么坐飞机，他们只是选择其
中的一种交通工具．所以，不同交通 工具之间是分类关系．如图所示：






由加法原理，共有4+3+2=9种不同的选择．

2． “IMO”是“国际数学 奥林匹克”的缩写，要求把这3个字母涂上3种
不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有5种不同 颜色的笔，按上述要求，
有多少种不同颜色搭配的“IM0？

答案：60种

解析:把“IMO”涂上不同的颜色，可以有先后顺序，因此是分步的关系．
第一步先涂“I”，此时可以选择这5种颜色中的任意一种，有5种选择；
第二步涂“M’，需要从与“I”不同的另外4种颜色中任选一种，有4种选择；
第三步涂“(，颜色与“J”，“M’都不同，那么只剩下3种选择，如图所示：







由乘法原理，一共有5×4×3=60种不同方法．

3．老师要求小高在黑板上写 出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，
减数必须是一位数，小高共有多少种不同的写法？

答案：900种
解析:①写被减数，两位数从10～99，有90种选择；
②写减数，一位数从0～9，有10种选择．
所以不同的算式总共有90×10～900种．

4．有一个三层书架，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三
层放了 5本科普书，并且这些书各不相同．请问：
(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？
(2)如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？
(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？

答案：(1) 30种(2) 750种(3)275种

解析:(l)从所有 的书中任取1本，只能在小说、漫画、科普这三种书中选某
一种，这时，这三种书之间是分类关系，
由加法原理，不同的取法有15 +10+5=30种．
(2)从每层中各取一本，也就是从小说、漫画、科普这三种书各取一本，
①选小说，有15种选择；②选漫画，有10种选择；③选科普书，有5种
选择．
由乘法原理，不同的取法有15×10×5=750种．
(3)选取两本不同类别的书，可能 是小说和漫画，也可能是小说和科普，还
可能是漫画和科普，最后只可能出现这三种情况中的某一种，所 以它们之间是分
类关系．如果选小说和漫画，可以想成先选一本小说，再选一本漫画，这之间是
分步关系，
①选小说和漫画：分为两小步，先选小说，再选漫画，有15×10=150种．
②选小说和科普：也分为两小步，先选小说，再选科普，有15×5=75种．
③选漫画和科普：又分为两小步，先选漫画，再选科普，有10×5=50种．
所以共有150+75+50=275种不同的选法．

5．如图11-5，从甲地到乙地有 3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到
丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不 能重复，那么从甲
地到丙地共有多少条不同的路线？







答案：17条
解析:如图所示，从图中看班，从甲地到丙地 ，有“甲一乙一丙”和“甲一丁一

丙”这两类走法．
①“甲一乙一丙”这类路线，又包含了两步：
第一步，“甲一乙”，有3种走法；
第二步，“乙一丙”，有3种走法．
由乘法原理，共有3×3=9种不同的走法．
②“甲一丁一丙”这类路线，共有2×4=8种不同的走法．








第一类：甲一乙一丙第二类：甲一丁一丙
由加法原理，从甲地到丙地一共有9+8=17种不同的走法．

6．如图11-6 ，四张卡片上写有数字2、4、7、8，从中任取三张卡片，排成
一行，就可以组成一个三位数．请问： 一共可以组成多少个不同的三位数？其中
有多少个不同的三位奇数？







答案：24个；6个

解析:(1)根据题意，要确定一个三位数，必须确定它的每一位．假设先取出
一张卡片作为百位，再取 出一张作为十位，又取出一张作为个位，分三步完成．
①确定百位，4张卡片都可以选，有4种选择，
②确定十位，这时只剩3张卡片，有3种选择，
③确定个位，这时只剩2张卡片，有2种选择，






由乘法原理，这样的三位数共有4×3×2=24个．
(2)要想组成三位奇数，只需要个位数字是奇数，所以第一步确定个位，后
两步再确定百位和十位，
①确定个位，由于这四个数字中只有7是奇数，只有1种选择，
②确定十位，这时只剩3张卡片，有3种选择，
③确定百位，这时只剩2张卡片，有2种选择．
如图2所示：

由乘法原理，满足条件的三位奇数有1×3×2=6（个）．

7．奥运场馆实行垃圾分类处 理，每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次
标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图11 -7．现在准备把这五个
垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收
废纸的垃圾桶不能染成红色，那么一共有多少种染色方法？







答案：32种
解析:对这几个垃圾桶依次染色，这是一个分 步的过程，应该先把有特殊要
求的垃圾桶染色，也就是从回收废纸的垃圾桶开始，如图所示．





第一步先给“废纸”垃圾桶染色籀i秀荥能染红色，只有2种选择；
往左，第二步给“塑料”染色，因为不能和“废纸”同色，只有2种选择；
继续往左，第三步给“电池”染色，因为不能跟“塑料”同色，也只有2种选择．
同理，从“废纸”出发向右看，“易拉罐”和“不可再造”也分别有2种染法．
根据乘法原理，总共的染色方法为

2×2×2×2×2=32（种）．

8．如图I1 -8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻
的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图
共有多少种不同的染色 方法？






答案：96种
解析:A、B、C、D、E五个部分依次相邻，按这个顺序染色，
①给A部分染色，有4砷选择．
②给B部分染色，因不与A同色，只有3种选择，
③给C部分染色，由于与A、B的颜色都不同，只有2种选择．
同样方法可以知道，D部分有2种染色方法，E部分也有2种染色方法．
由乘法原理，一共有4×3×2×2×2=96种染色方法，

9．在图11-9中，从“北 ”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出
“北京奥运会”．那么一共有多少种不同的读法？








答案：16种
解析:依次读出“北”、“京”、“奥”、“运”、“会”这5个
字，恰好为5个步骤，
①选择“北”字，只有1种选择．

②选择“京”孚，图中的两个“京”字都与“北”字相邻，所以有2种选择．
③选择“奥”字 ，如果第二步选择的是左边的“京”字，如图1，只有前个“奥”
字和它相邻，有2种选择；如果第二步 选择的是右边的“京”字，如图2，只有后
两个“奥”字和它相邻，也是2种迭择．所以不管②中选择哪 个“京”字，③中的“奥”
字都是2种选择．







同理，④和⑤，都是有2种选择．
根据乘法原理可得，不同的读法总共有
1×2×2×2×2 = 16（种）．

10.如图II - 10，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈
只能染一种 颜色．请问：(l)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同
的染法？(2)如果要求关于中间 那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？








答案：(1) 512褊(2) 128种

解析:(1)把整个染色过程分成9步，每步给一个小圆圈染色，各个小圆圈之
间的颜色互不影响，所以 每个小圆圈都有2种染色方式．根据乘法原理，一共有
2×2×2×2×2×2×2×2×2=512
种不同的染法．
(2)如图，小圆圈的染色 方式关于中间的竖线左右对称，那么横线上左边的
两个小圆圈与右边相应位置的小圆圈颜色相同．






先确定中间竖线上的5个小 圆圈颜色，再确定横线上左边的2个小圆圈颜
色，这7个小圆圈每个都可以染成红色与蓝色，而且它们之 间的颜色没有影响，
当这7个小圆圈的颜色确定后，余下的丽个小圆圈的颜色也就随之确定了．
根据乘法原理，满足条件的染色方法有
2×2×2×2×2×2×2×1×1=128（种）．

11．甲、乙、丙、丁、戊五人要 驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，
会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙 三人中的某一人驾驶，则
一共有多少种不同的安排方案？

答案;24种
解析:把5个人与5辆车的对应关系在图中表示出来，

方法一：考虑5个人对5辆车的选择，在确定5个 人选车的先后顺序时，
从要求苛刻的人出发分步讨论．从图中看到，可以按照戊、丁、丙、乙、甲的顺< br>序分步考虑他们所选的车．
①戊可以从B、C、D这三辆车中任意选择，有3种选法，
②丁也可以从B、C、D这三辆车中任意选择，但不能与戊选同一辆车，因
此有2砷选法，
③丙可以从B、C、D、E这四辆军中任意选择，但不能与丁和戊重复、因
此有2种选法．
④乙可以从5辆车中任意选择，但又不能与丙、丁、戊重复，所以有2种
选法．
⑤乙、丙、丁、戊都选好了自己对应的车后，留给甲的就只有一辆车了，所
以甲只有1种选法．
根据乘法原理，5个人满足题意的选车方法一共有3×2 X 2×2×1=24种．
方法二：考虑5辆车对5个人的选择，同样地，从要求苛刻的车出发分步
讨论，

①能驾驶A车的只有甲或乙，有2个人可选，
②能驾驶E车的只有甲、乙或丙，而甲、乙之一已经被安排驾驶A车了，
因此只有2个人可选，
③5个人都能驾驶B车，但是其中2人需要驾驶A车和E车，因此B车有
3个人可选．
④5个人都能驾驶C车，但是其中3人需要驾驶A、B、E车，所以C车只
有2个人可选．
⑤A、B、C、E四辆车都有了对应的驾驶员，那么余下的一位自然就与D
车对应了，所以D车只有1个 人可选，
根据乘法原理，一共有2×2×3×2×1= 24种不同的安排方案．

12．如图11 - 11，4枚相同的棋子放入4×4的方格内，每人方格只能放1
枚，且要 求每行每列最多只能放1枚．一共有多少种不同的放法？







答案:24种
解析:根据题意，每行最多放一枚棋子，而方 格表中一共只有4行，因此每
行恰有一枚棋子放入．同样的道理，每列也恰有一枚棋子放入，
①在第一行中放入一枚棋子，有4种方法，
②在第二行中放入一枚棋子，由于第一行中已经有 一枚棋子，它所在的这一
列就不能再放棋子，所以第二行申还有3个位置可以放置．
③在第三行中放人棋子，同理，当前两枚棋子的位置都确定后，第三行中还

有2个位置可 以放置，
④在第四行中放入棋子，只有1个位置可以放．










根据乘法原理，一共有4×3×2×1=24种不同的放法．

13．图I1-12是一个阶 梯形方格表，在方格中放人5枚相同的棋子，使得每
行、每列中都只有1枚棋子．这样的放法共有多少种 ？






答案：16种
解析: 当棋子相同时不必考虑棋子的放置顺序，则可按照第一行、第二行、
第三行、第四行、第五行的顺序，分 步考虑位于这五行中的棋子的位置．
如图所示，当在第一行放入一枚棋子后，它所在的行与列 都不能放置其他的
棋子了，为了方便观察，把它所在的行与列都划去，接下来只需考虑剩余的部分，

从图中看出，第一行的棋子有2个位置可以放，无论它在哪个位置，当划去
它所在的行 与列之后，第二行的棋子也有2个位置可以放置．
同理，当划去第一行与第二行中的棋子后，第三行的棋子也有2个位置可以
选择，
依次类推，直到倒数第二行（第四行），每行的棋子都有2个位置可以放置．
根据乘法原理，这5枚棋子不同的放法总共有2×2×2×2×1= 16(种)．

14．如图11-13和图11-14，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走．请
问：
(l)如图11 - 13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条？
(2)如图11- 14所示，从A点走到B点的不同路线有多少条？






答案;(1)5条(2)108条
解析:(1)由题意得，蚂蚁只能向 上走或向右走，因此对于最下面一行中的每
个点，蚂蚁只有1种方法可以到达，对于最左边一列中的点也 是同样的结论．

把A点处标上1，表示蚂蚁从A点出发到达A点，只有原地不 动这1种方
式，用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，如图1：





容易看出，蚂蚁可以从G点或C点到达H点，而且只有这2类不同的方式 ，
那么，在H点处标上数字1+1=2（把G点与C点上的数相加），表示蚂蚁到达
H点有2条路线，如图2所示：





同理，蚂蚁可以从H点或D点到达J点，则就有2+1=3条路线（把H点与
D点上的数相加）．
依次计算，可以得到
有4种和5种路线，如



蚂蚁到达-，点和B点分别
图3所示：

故蚂蚁从A点爬到B点的不同路线有5条．
(2)蚂蚁从A点出发，到达A点上方的C点只有1条路线，那么在C点处标
上数1，如图4所示：





蚂蚁到达D点有2种方式：分 别从C点、A点到D点，因此蚂蚁到达D点
的方法数就等于它到达C点与A点的方法数之和，为1+1= 2条路线，如图5：





蚂蚁到达E 点有3种方式：分别从C点、A点、D点到E点，因此把C点、
A点与D点处的三个数相加，那么到达E 点就有1+1+2=4条路线，如图6：

蚂蚁到达F点、H点、J点时与D点类似，各有2种方式；到达G点、j
点 、B点时与E点类似，各有3种方式，根据同样的规律，按照D、E、F、G、
H、I、J、B的顺序， 标出各点上对应的数，如图7所示：






因此，蚂蚁从A点爬到B点的不同路线有108条，

超越篇
1 ．爸爸、妈妈带小高去吃西餐，餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、
烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油 蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果
小高想要点1种主食和1种主菜，汤和甜点可点可不点， 而且种类不限，请问：
小高一共有多少种点菜方法？

答案：48种
解析:小高可点的菜分成四种：主食、主菜、汤、甜点，这四种菜之间是搭
配的关系，
第一步，挑选主食，餐厅里有米饭和面条这2种主食，必须从中选择一种，
有2种选择方法．
第二步，挑选主菜，餐厅里有3种主菜，必须从中选择一种，有3种选择

方法．
第三步，挑选汤，汤类虽然只有1种，但是可以点也可以不点，点与不点这
恰好是2种选择方法．
第四步，挑选甜点，甜点有2种，既可以两个都选，又可以只选其一，还可
以两个都不 选，那么甜点的选择有4种方法：蛋糕和布丁都点，两者都不点，只
点蛋糕，只点布丁．



由乘法原理，共有2×3×2×4=48种点菜方法．

2．如图11-15，在一个3×4的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至
多有1枚棋子 ，一共有多少种不同的放法？如果放入4枚互不相同的棋子，要求
每列至多有1枚棋子，一共有多少种不 同的放法？






答案:81种；1944种
解析:(1)因放入的4枚棋子是相同的，并没有顺序可言，则只需要选定四个
位置即可．
根据题葸，每一列有且仅有1枚棋子，困此总共分4个步骤考虑：按从左
到右的顺序依次考虑每一列的棋 子放在什么位置，每一步都有3种选择方法，
根据乘法原理，一共有3×3×3×3—81种不同的放法．
(2)方法一：假设4枚互不相同的棋子为A、B、C、D．

①先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法，
②放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其他的格子都可以放B，所以
一共有9种方法，
③放棋子C，A、B那两列一共有6个格子不能选，所以一共有6种方法，
④放棋子D，A、B、C所在三列一共有9个格子不能选，还剩3个格子，
所以一共有3种方法．
根据乘法原理，共有12×9×6×3=1944种不同的放法．
方法二：4枚棋子要占4个方格，分两步考虑：
①先选出放棋子的4个方硌，由(1)可得总共有3×3×3×3=81种选择方法．
②再把4枚不同的棋子按照顺序放入选好的4个方格中，一共有4×3×2×
1=24种方法，
由乘法原理，总方法数为81×24=1944种．

3．如图11 - 16，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色
染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色 ，不相邻的部分可以使用同一种颜
色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？






答案：768种
解析:按照D、B、E、G、A、C、H、F的步骤进行染色．
对D进行染色时没有任何限制，共有4种选择，
对B进行染色时不能和D同色，有3种选择．
对E进行染色时不能和B、D同色，有2种选择，

对G进行染色时不能和D、E同色，有2种选择，
接下来，对A、C、F、H进行染色时的情况相同，都是有2种选择．
根据乘法原理，不同的染色方法总共有
4×3×2×2×2×2×2×2=768（种）．

4．用4种不同的颜色给图II - 17中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈
不能同色．一共有多少种不同的染色方法？






答案：84种
解析:方法一：按照A、B、C、D的顺序进行染色．
从C的染色情况出发，分为两类考虑：
第一种情况，如果C和A的染色相同，那么C就只有和A相同的这1种染
法，那么D有3种选择．
第二种情况，如果C和A的染色不同，那么C就必须和A与B的染色都不
相同，有2种 不同的染法，那么D有2种选择，
如图1所示：





所以共有4X3×[(1×3)+(2×2)]=84种不同的染色方法．

方法二：按照A、C、B、D的顺序进行考虑，先考虑A和C的染色情况．如
图2所示：





所以共有4×[(1×3×3)+(3×2×2)]=84种不同的染色方法．

5．一只甲 虫沿着图11-18中的方格线从A爬到B，每次只能向右爬一格或
向上爬一格，图中画着黑点的地方不 能通过，请问：这只甲虫可以选择多少条不
同的路线？







答案:66条
解析:由题意，只能沿方格线向右爬或向上爬，则按照从下向上、从左向右
的顺序来标数，
把最下边一行与最左边一列上的点都标上1，表示到达这些点只有1种方法，
如图1所示：

对于图中的其他点，本 应该都可以从它的左边蓟下面过来，这时只需要把与
它紧邻的下边一点与左选一点上的数相加，就得到了 该点处标记的数．
但黑点不能通过．在黑点上标
线．依次标出每行上的点处对应的






B点处标的数是56，因此，这只甲虫从A爬到B有66条不同的路线．

6．王老师家装修 新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工3
人，另有1人既能做木匠也能做电工，要从这7 人中挑选出4人完成这项工作，
共有多少种不同的选法？

答案:27种
解析:考虑既能做木匠也能做电工的人的工作情况，分为三种：
①做木匠，则还需要 选出1个木匠和2个电工，从3个木匠里选出1人，
有3种方法，再从3个电工里选出2人，也有3种方 法，所以有3×3=0种选法，
②做电工，则还需要选出2个木匠和1个电工．跟第一种情况类似，也有3
×3=9种选法，
③什么都不做，那么还需要选出2和2个电工，选出2个木匠和2个电工
上数0，代表0条雕
数 ，如图2所示：

的方法都是3种，那么有3×3=9种选法．
以上三种工作情况之间是分类关系，所以，一共有9+9+9=27种不同的选法．

7．如图11 -19所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重
复经过任何点 ，请问：这只甲虫有多少种不同的走法？





答案：69条
解析：




如图，E、F两点将左右两部分分隔开了．
用字母M表示在正方形EFBC 内从E点爬到B点的路线数，用字母m表
示在△ECB内从E点爬到B点的路线数，用字母N表示在正方 形FECB内从F
点爬到B点的路线数，用字母n表示在△FCB内从F
点爬到B点的路线数．
不难求出：M= 3+3 +3=9条，m=4条，N=1+3+4=8条，n=3条，
现在考虑从A到B:
①若第一步是AE，则有M+n+n=15条；
②若第一步是AP，则有M+N+N=25条；
③若第一步是AD:

若第二步是DF，则有N+m=12条；
若第二步是DP，则有M+N=17条．
综上所述，从A点到B点的总路线是
15-25+12+17=69（条）．

8．如图11- 20所示，国际象棋中的棋子“ 皇后”从左下危走到右上角，每
步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法？







答案：188种
解析:采用标数法，从左下往右上标数，注意本题不但可以往右走，往上走，
还可以往右上斜着走，并 且每次移动可以是任意格，如表所示：