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本期重难点归纳总结——杨秀情+刘丽娜

内容提要

数论
循环小数
数的整除
质数与合数


几何

三角形中的比例关系
四边形中的比例关系

应用题

多人相遇与追及
多次相遇与追及
牛吃草问题
组合
构造与论证之组合原理综合运用
复杂竖式与数字谜中的最值问题
复杂抽屉原理
计数综合

数学思想
从反面情况与特殊情况考虑
对应与转化思想

数论
循环小数
数的整除
质数与合数

一、循环小数
1、小数的基本分类
小数 有限小数
无限小数 无限不循环小数
(一定不能写成分数形式)
纯循环小数
循环小数 混循环小数
2、循环小数化分数
(1) 纯循环小数化分数
①分母中只出现9
②分母中9的个数与其循环节的位数对应,分子是一个循环节的数字组成的

67

=例:
0.5
567

999

=
53


30.5
99

(2)混循环小数化分数
①分母中出现9和0, 分母中9的个数与其循环节的位数对应,0的个数与小数点后不循环的
位数对应
②分子是不循 环节部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所
得到的差
123412611
=
99004950

=
353
=
32
=
16


0.35
90
90
45

4

= 例:
0.123

3、分数化小数的归类
(1)如果分数的分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数
(2)如果分 数的分母不含有质因数2和5，只由2和5以外的质因数组成，那么这个分
数一定能化成纯循环小数 < br>(3)如果分数的分母既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数
一定能化 成混循环小数

二、数的整除
1、一个数被常见数整除的特征
2系列
被2整除只需看个位能否被2整除
被4整除只需看末两位能否被4整除

被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推
3系列
被3整除只需看各位数字之和能否被3整除
被9整除只需看各位数字之和能否被9整除
5系列
被5整除只需看末位是否为0或5
被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75
被125整除的特征依次类推看末三位
7、11、13系列
通用特点
(1)一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除
(2)从右边开始，三位一 段，奇数段之和与偶数段之和的差（大减小）如果是7、11、13的
倍数，则其为7、11、13的倍 数
特殊特点
被11整除：从右边开始，第奇数位的和与第偶数位的和之差（大减小）是11的倍数
2、合数的整除特征
判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个 容易判断整除的数
的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断
3、试除法
在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最小）

三、质数与合数
1、 质数: 除了
1
和它本身，不再有其它的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)
2、 合数：除了1和它本身，还有其它的约数，这个数叫做合数
要特别记住：
0
和
1
既不是质数，也不是合数
3 、常用 的
100
以内的质数：
2
、
3
、
5
、7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、
7 9
、
83
、
89
、
97
，共计
25
个
4、 两个唯一：
2
是唯一的偶质数，其余质数都是奇数
5是唯一个位为5的质数，即唯一的5的倍数
5、 除了
2
和
5< br>，其余的质数个位数字只能是
1
，
3
，
7
或
9

6、 最小的四位质数是1009
7、

判断一个数是否是质数的方法
判断
P
是否为质数
:
①找一 个大于且接近
P
的平方数
K
2

②再列出所有不大于
K
的质数

③用这些质数去除
P
，如没有能够除尽的那么
P
就为质数
例如:判断149是否为质数?
149很接近169=13×13
比13小的质数:2,3,5,7,11
149不能被2,3,5,7,11整除 149是质数

8、 分解质因数
质因数：如果一个质数是某个数的约数 这个质数是这个数的质因数
互质数：公约数只有1的两个自然数 互质数
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 分解质因数

例如：
30235

122232
2
3
(分解质因数的标准式)

9、约数个数定理
约数个数:指数加1再相乘

几何
共边定理
三角形中的比例关系 共角定理
四边形中的比例关系 蝴蝶定理
梯形蝴蝶定理

一、三角形中的比例关系

三角形面积=底×高÷2
底相等 看高
高相等 看底（特殊：共同顶点）
等底等高 相等

1、共边定理（三角形等积变形）

内容跟课件的一样，请课件制作人员按照课件的内容来做


2、 共角定理（鸟头模型）
A
E
D
（1）
S
 ADE
ADAE

S
ABC
ABAC
B
C< br>
A
E
（2）
S
CDE
CDCE
< br>S
ABC
BCAC
B
C
D

E
D
A
（3）沙漏模型：
S
ADE
ADAE

S
ABC
ABAC
B
C



二、四边形中的比例关系

1、蝴蝶模型
SSSS
OAOD
①
1

2

或
1

4


S
4
S
3
OCS
2
S
3
OBD
A
S
2
B
S
1
O
S
3C
S
1
×S
3
= S
2
×S
4

OA
S
1
S
2< br>S
ABD

②
OCS
3
S
4S
BCD
S
4
OD
S
1
S
4S
ADC

OBS
2
S
3
S
 ABC

2、梯形蝴蝶模型
A
S
2
a
S
1
O
S
3
B

D
S
4

①
S
1
:S
3
a
2
:b
2

②
S
2
S
4

③
S
1:S
2
:S
3
:S
4
a
2
:ab: b
2
:ab

④ 梯形面积S的对应份数是
（a+b）
2



b
C

多人相遇与追及
应用题 多次相遇与追及
牛吃草问题

一、多人相遇与追及
1、行程问题的核心公式
路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
2、直线型相遇、追及
相遇时间=路程和÷速度和
追及时间=路程差÷速度差
3、环型相遇、追及
相遇：每相遇一次共走1圈
追及：每追上一次多走1圈
4、
解题方法 比例：建立设份数的思想
方程：找到同一个量的两种表示形式
做行程问题一定要画图

二、多次相遇与追及

相遇时间=路程和÷速度和

追及时间=路程差÷速度差
相遇：共走路程和
本质
追及：多走路程差

画图分析

当次数较多时，可从周期性，规律性出发



三、牛吃草问题
同一块草地上的牛吃草问题
多块草地上的牛吃草问题
牛吃草变形题

1、牛吃草问题的基本量
牛：每头牛每天的食草量不变 通常“设1头牛1天吃1份草
(1)两个重要角色
草：原有草

新生草

(2) 要想求出答案必须先已知两个量
原有的草量

每天生长量

2、牛吃草问题基本步骤
每天长的草量
原来有的草量
让一些牛去吃每天长的草

3、牛吃草变形题：
谁相当于草
谁相当于牛
谁是原有量
谁是新生量

组合
构造与论证之组合原理综合运用
复杂竖式与数字谜中的最值问题
复杂抽屉原理
计数综合

一、构造与论证之组合原理综合运用
抽屉原理
最值原理
统筹原理
容斥原理

抽屉原理
把苹果放抽屉里 必然有什么结果

抽屉

苹果

1、把4个苹果放到3个抽屉里，必有1个抽屉里至少有2个苹果
（出现4个苹果和3个抽屉，然后放进去）

2、把10个苹果放到3个抽屉里，必有一个抽屉里至少有4个苹果
（出现10个苹果和3个抽屉，然后放进去）

最不利原则
抽屉原理
平均分原则

最值原理
极限思想
任我意法
特殊情况




统筹原理

时间最短
花钱最少
路程最小


容斥原理

容 包容

斥 排斥

如（手画）
这是什么法宝？？ 韦恩图

总结：奇层加，偶层减


二、复杂竖式与数字谜中的最值问题
1 个位数字分析法
2高位数字分析法
3 数字估算分析法（结合数位）
数字谜的分析方法 4进位借位分析法
5 分解质因数法
6 奇偶分析法

1极限思想
最值问题考虑方法 2 假设法
3乘积：如果两个数和一定，差小积大




三、计数综合
枚举法（树形图）
解计数问题常用方法 加乘原理（标数法）
排列组合（有序排列，无序组合）

1、枚举法（树形图）
枚举法结果 不重复、不遗漏一一列举
注意结果相同的情况 免做重复劳动
2、加乘原理——标数法
加乘原理解题步骤
1 分类
2 每一类内部用乘法原理
3 各类相加
标数法：
（手写）

确定大方向
每点从哪来
不能走标0

3、排列组合
1 有序排列，无序组合

2 排列数记为：
A
n

m
，
n为总数,m为参加排列的数目
组合数记为：
C
n
m

n为总数,m为要选的数目
3排列组合的本质 乘法原理
4排列组合中一些重要的方法
排除法

优先法

捆绑法

插空法

隔板法

数学思想
从反面情况与特殊情况考虑
对应与转化思想

一、从反面情况与特殊情况考虑
两大化难为易的法宝： 反面情况考虑
特殊情况考虑

二、对应与转化思想
当正面很难求时用
一般情况难求时用
（排除法）
（极限法）
① 计数问题:两者一 一对应,则个数相等
对应:一一对应的思想 ②覆盖问题:寻找关键格,分类对应
② 大小与求差值问题 比大小:有剩余即为多
求差值:一 一对应的部分抵消后即为差值
转化:化繁为简的思想