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7-6-4.计数之递推法



前面 在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树
形图法 、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳
法、 整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．
教学目标

对 于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可
以利 用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．
【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成 大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人
在一月份买了一对小兔子，那么十二月份 的时候他共有多少对兔子？







【例 2】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝 ．一棵树
苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过 一年的
枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这 棵树
上有多少条树枝？






【例 3】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？






【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？






【例 4】 1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．






【例 5】 用
13
的小长方形覆盖
38
的方格网，共有多少种不同的盖法？
例题精讲

【例 6】 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？






【巩固】 一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？






【例 7】 有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？






【例 8】 如下图，一只蜜蜂从
A< br>处出发，回到家里
B
处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆
行， 共有多少种回家的方法？
A




B


【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由
A房间到达
B
房间有多少种
方法？





【例 9】 如下图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻 近的蜂房而不准逆
行，共有多少种回家的方法？
AB


【例 10】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1
操 作停止．问经过9次操作变为1的数有多少个？

【例 11】 有20个石子，一个人分若干次取，每次可 以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下
质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区 分，只考虑石子个数）







【巩固】有20个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有 种不同的方法取完这堆棋子.

【例 12】
4
个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作< br>为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？





【巩固】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过
4< br>次传球后，球仍回到甲手中．问：共
有多少种传球方式？






【例 13】 设
A
、
E
为正八边 形
ABCDEFGH
的相对顶点，顶点
A
处有一只青蛙，除顶点
E< br>外青蛙可以从
正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点
E
时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶
点
A
出发恰好跳
10
次后落到
E
的方法总数为 种．

【巩固】在正五边形
ABCDE
上，一只青蛙从
A
点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，
一旦跳到
D
点上就停止跳动．青蛙在6次之内(含6次)跳到
D
点有 种不同跳法．
A
B
E
C
D

【例 14】 有6 个木箱，编号为1，2，3，……，6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子
放进一把钥 匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打
开，则说这是一 种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种．

【巩固】有10个 木箱，编号为1，2，3，……，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱子放
进一把 钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10把锁都打
开，则说这 是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种．