父亲节是-个性皮肤

2020
年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（
74
）

一、选择题（本大题共
9
小题，共
36.0
分）
1.

“割圆术”是求圆周率的一种算法．公元
263
年左右，我国 一位著名的数学家发现
当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓< br>“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”请
问上述著名数学 家为
A.
刘徽
B.
祖冲之
C.
杨辉
D.
秦九昭
5
元、
6
元三种价格的饭菜供学生们选择每人限购一份三月份2.

某校食堂有
4
元、
销售该三种价格饭菜的学生比例分别为、、，则该校三月份 学生每
餐购买饭菜的平均费用是
元 元 元
A. B. C.
5
元
D.
3.

在初中已学过的一次函数、反比例函数 和二次函数等函数中，它们的图象与任意一
条直线是任意实数交点的个数为
A.
必有一个
B.
一个或两个
C.
至少一个
D.
至多一个
4.

同时掷两个骰子，其中向上的点数之和是
5
的概率是
A.

B.

C.

D.

5.

给你一列数：
1
，
l
，
2
，
6
，
24
，请你仔细观察这列数的排列规则，然后从四个
供选择单选项中选出一个你认为最合理的 一项，来填补其中的空缺项，使之符合原
数列的排列规律．
A.
48

B.
96

C.
120

D.
144

6.

已知．二次函数是实数，当自变量任取，时，分别与 之
对应的函数值，满足，则，应满足的关系式是

7.

在8
个银元中混进了一个大小形状颜色完全一样的假银元，已知
7
个真银元的重量< br>完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少次就能找出这枚假
银元．
A.
l

B.
2

C.
3

D.
4

8.

如图，
P
是圆
D
的直径
AB
的延长线上的一点，
PC
与
圆
D相切于点
C
，的平分线交
AC
于点
Q
，则

A.
C.

B.
D.

A.
B.
C.
D.





9.

电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：


十进制

二进制

1

1

2

10

3

11

4

100

5

101

6

110

7

111

8

1000



观察二进制为
1位数、
2
位数、
3
位数时，对应的十进制的数，当二进制为
6< br>位数
时，能表示十进制中的最大数是
A.
61

B.
62

C.
63

D.
64

二、填空题（本大题共
7
小题，共
21.0
分）
第1页，共12页

10.

某校去年投资
2
万元购买实验器材，预计今明
2
年的投资总额为
8
万元．若该校这
两年购买的实验器材的投资年平均增长率为
x
，则可列方程为
______
．
11.

如图，在平行四边形
ABCD
中，于
E
，
于
F
，，且，
则平行四边形
ABCD
的周长是
__ ____
．
12.

在一个木制的棱长为
3
的正方体的 表面涂上颜色，将它
的棱三等分，然后从等分点把正方体锯开，得到
27
个
棱 长为
l
的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入口袋，从这个口袋中任意
取出一 个小正方体，则这个小正方体的表面恰好涂有两面颜色的概率
是
______
．
13.

已知关于
x
的一元二次方程与有一个公共实数根，
______
． 则
14.

一个样本为
1
、
3
、
2
、
2
、
a
，
b
，已知这个样本的众数为
3
，平均数为
2
，那么这
个样本的方差为
______
．
15.

如图，在梯形
ABCD
中，，，
______
．，，则该梯形的面积
16.

某计算机用户计划用不超过
500
元的资金购买单价分别为
60
70
元的
A
类软件和
B
类软件，元、根据需要
A
类软件至少买
3
片，
B
类软件至少买
2
片，则不同的选购方式共有
______
种．
三、计算题（本大题共
1
小题，共
10.0
分）
17.

已知，求的值．







四、解答题（本大题共
5
小题，共
53.0
分）
18.

在凸四边形
ABCD
中，，且四个内角中有
一个角为，求其余各角的度数．







19.

某商店若将进价为
100
元的某种商品按
120
元出售，一天就能卖出300
个．若该商
品在
120
元的基础上每涨价
l
元， 一天就要少卖出
10
个，而每减价
l
完，一天赢可
多卖出
3 0
个．问：为使一天内获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？





第2页，共12页

20.

如图，
在函数
，是等边三角形，点
的图象上，点< br>，
，
，
在
x
轴的
的面积． 正半轴上，分别求












21.

如图，在中，
O
是内心，点
E
，
F
都在大边
BC
上，已知，．
求证：
O
是的外心；
若，，求的大小．







22.

如图，正三角形
ABC
的边长为
l
，点
M
，
N
，
P
分别 在边
BC
，
AB
上，设，，，且．
试用
x
，
y
，
z
表示的面积
求面积的最大值．







第3页，共12页

答案和解析

1.
【答案】
A

【解析】解：上述著名数学家是刘徽．
故选：
A
．
根据数学史的了解进行选择．
此题考查了数学常识的知识，要多读书，了解一些有关数学的故事等．
2.
【答案】
B

【解析】解：平均费用为元．
故选：
B
．
用加权平均数的计算方法计算即可．
此题考查了加权 平均数的知识，属于简单题目．把所有数据相加后再除以数据的个数即
得平均数．
3.
【答案】
D

【解析】解：任意一条直线是任意实数是平行于
y
轴的一条直线，
在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，
只有反比例函数与时，没有交点，其他只有一个交点．
它们的图象与任意一条直线交点的个数至多有一个．
故选：
D
．
根据直线是任意实数的性质，得出一次函数、反比例函数和二次函数等函数
中与它的关系，直接得出答案 ．
此题主要考查了函数图象与直线是任意实数的性质，根据已知得出任意一条
直线是任意实数 是平行于
y
轴的一条直线是解决问题的关键．
4.
【答案】
C

【解析】解：列表得：




































































．
共有
36
种等可能的结果，向上的点数之和是5
的情况有
4
种，
两个骰子向上的一面的点数和为
5
的概率为
故选：
C
．
列举出所有情况，看点数之和为
5
的情况占总情况的多少即可．
此题考查了 树状图法与列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件．树 状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意
是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为 ：概率所求情况数与总情况数之比．
5.
【答案】
C

【解析】解：观察所给数字可知，第二个数，
第三个数，
第4页，共12页

第四个数，
第五个数，
故可知第六个数．
故选：
C
．
观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数
五 个数，故可知第六个数，继而即可得出答案．
本题考查规律型中的数字变化问题，仔细观察题中所给数 字，可知第
n
个数
个数．
6.
【答案】
D

【解析】解：，
，第
第
抛物线对称轴为，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
又，满足，
可得，
故选：
D
．
在利用二次函数的增减 性解题时，对称轴是非常重要的．根据、、，与对称轴
的大小关系，判断、、的大小关系．
本 题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，难度一般，解答本题的关键是正确
寻找出对称轴，这是 解答本题的突破口．
7.
【答案】
B

【解析】解：
8
个银元分成
4
组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平
平衡的 一组没有假银元，
天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组，
再一次把较轻的一组分开放在天平的两边进行第二次测量，
则较轻的是假银元，
所以用一台天平最少
2
次就能找出这枚假银元．
故选：
B
．
可以把
8
个银元分成
4
组， 将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的
一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就 在较轻的那组；再把这组分开用天平测，
可找出假银元．
此题考查的知识点是推理与论证，关 键是首先分成
4
组，先找出较轻的一组，再测即得．
8.
【答案】
B

【解析】解：连接
BC
交
PQ
于
E
，
与圆
D
相切于点
C
，
，
为直径，
，
平分，
，
，，
．
故选：
B
．
首 先连接
BC
交
PQ
于
E
，由
PC
与圆D
相切于点
C
，根据弦切角定理，即可得
，又由
AB
为 直径，即可得，然后由
PQ
平分与三角
第5页，共12页

形外角的性质，即可证得
，则可求得的度数．
此题考查了圆的切线的 性质，圆周角的性质，弦切角定理，等腰直角三角形的性质，以
及三角形外角的性质等知识．此题综合性 较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合
思想的应用．
9.
【答案】
C

【解析】解：表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是
111111
， 能表示十进制是：
．
故选：
C
．
根据表可以得到二进制的数转化 十进制的数，，，
，；表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是
111111
，根 据规律即可求得十进制表示的数．
本题考查了有理数的计算，关键是正确观察图表，理解二进制的数写成十进制的数的方
法．
10.
【答案】


【解析】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为
x
，
今年的投资金额为：；
明年的投资金额为：
所以根据题意可得出的方程：
故答案为：．
；
．
本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果该校这两年
购买的 实验器材的投资年平均增长率为
x
，根据题意可得出的方程．
增长率问题，一般形式 为，
a
为起始时间的有关数量，
b
为终止时间的有
关数量．
11.
【答案】
8

【解析】【分析】
要求平行四边形 的周长就要先求出
AB
、
AD
的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．
解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明．
【解答】
解：，
，
，
则，，
设，则，
在中，
根据勾股定理可得，

同理可得

第6页，共12页

则平行四边形
ABCD
的周长是
故答案为
8
．

12.
【答案】


【 解析】解：在
27
个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有
8
个，恰 好有两
个都涂有颜色的共
12
个，恰好有一个面都涂有颜色的共
6
个 ，表面没涂颜色的
1
个．
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发 生包含的事件是从
27
个小正方体中选一个正方体，共有
27
种结果，
满足条件的事件是选出的是恰好涂有两面颜色的正方体，有
12
种结果，
故概率为
故答案为．
本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从
27
个小正方体中选一个正方
体，共有
27
种结果，满足条件的事件是选出 的是表面恰好涂有两面颜色的正方体，有
12
种结果，根据等可能事件的概率得到结果． 本题考查等可能事件的概率，考查计数原理，考查正方体的结构特征，是一个综合题目，
在解题时注 意分割后的小正方体一定要数清楚，本题是一个易错题．
．
13.
【答案】

【解析】解：

与
有一个实数根，
有一个公共实数根，
，
把代入得：
．
故答案为：．
本题需先根据与有一个公共实数根，求出
x
的值 ，再
把
x
的值代入原方程即可求出
m
的值．
本题主要考查 了一元二次方程的解的概念，在解题时要能够灵活应用解的概念求出结果
是本题的关键．
14.
【答案】


【解析】解：因为众数为
3
， 可设
平均数
根据方差公式
，，
c
未知
，解得


故填．
因为众数为
3
，表示
3
的个数最多，因 为
2
出现的次数为二，所以
3
的个数最少为三个，
则可设
a
，
b
，
c
中有两个数值为另一个未知利用平均数定义求得，从而根据 方差公式
求方差．
本题考查了众数、平均数和方差的定义．
第7页，共12页

15.
【答案】
18

【解析】解：取
CD
的中点
E
，连接
BE
，
，
是菱形，
，
，
，，
，
，
．
四边形
ABCD
的面积是
18
．
故答案为
18
．
取
CD
的中点
E
，连接
BE
，从而得到
菱形，得到，从而得到
．
本题考查了梯形的性质， 解题的关键是正确地作出辅助线，熟记梯形中常用辅助线的作
法对解决此类题目有很大的帮助．
16.
【答案】
7

【解析】解：设购买
A
、< br>B
类软件分别为
x
，
y
片，
根据题意得：，
进而判定四边形
ABED
是
然后得到：
，，
，
，
，
，
，
舍去
，
舍去
舍去
，
舍去
舍去
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
当， 时，
当，时，
当，时，
当，时，
不同的选购方式共有
7
种．
故答案为：
7
．
，
，
，
，
，
B
类软件分别为
x
，
y
片，首先设购买
A
、根据题意即可得不等式组：，
解此不等式组，然后根据分类讨论的思想求解即可求得答案．
此题考查了不等数组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是注意理解题意，根
据题意求得方程组 ，然后根据其性质解题，注意分类讨论思想的应用．
第8页，共12页

17.
【答案】解：
，
原式
，





．

【解析】先化简，再代入求值即可．
本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．
，
18.
【答案】解：设
则，，，
，
．
1
、< br>，
2
、
3
、
4
、
时，
，
时 ，
，
，
，
时，
，
，
，
；
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，

【解析】可设，根据四边形内角和等于，
分四种情况进行讨论，从而求解．
本题考查 了多边形内角与外角，四边形内角和等于，由于四个内角中有一个角为
，不确定，故应该分类讨论．
按
120
元出售，一天就能卖出
300
个，
19.
【答案】解：
可获得利润：元；

设涨价为
x
元，则可卖出个，设利润为
y
元，则


；

若设降价
x
元，则可以卖出个，设利润为
y
元，则：


；
第9页，共12页

，
所以当售价定为
115
元获得最大为
6750
元．
综上所述，当定价为
115
元时，商店可获得最大利润
6750
元．

【解析】分别以
120
元为基础，当涨价时，大于
120
元，当降价时，小于
120
元，利用
每个商品的利润卖出数量总利润分别写出函数关系 式；利用配方法求得两个函数解
析式的最大值，比较得出答案．
此题主要考查了二次函数在实 际问题中的运用，根据利润售价进价卖的件数，
列出函数解析式，求最值是解题关键．
20.
【答案】解：分别过、作
x
轴的垂线，垂足分
别为
D
、E
，如图，
设，．
，是等边三角形，
，
，，
，
的坐标为
又点在函数
，解得
，
点在函数的图象上，
，解得
，
，
的面积
的面积

【解析】分别过
到
为，
，
．
，舍去，
．
，的坐标为，
的图象上，
舍去，
、作
x
轴的垂线，垂 足分别为
D
、
E
，设，
根据等边三角形的性质和含
30度的直角三角形三边的关系得
，，，得到的坐标
，然后先把的坐标代入反比例解析式求的坐 标为
得
m
的值，再把的坐标代入反比例解析式得到
n
的值，这样就确 定两等边三角形的
倍计算即可． 边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的
本题考 查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含
30
度
的直角 三角形三边的关系以及等边三角形的性质．

21.
【答案】解：证明：连接
OA
、
OB
、
OC
、
OE
、
OF
，
第10页，共12页

是
在和
的内心，
，
中

≌
同理
是

是
在等腰三角形
的外心，
，
，
，
同理，
，
，
，
，
的外心．
，

答：

【解析】
的度数是．
≌，推出，连接
OA
、
OB
、
OC
、
OE
、
OF
，证
即可；
根据三角形的内角和定理求出，，再根
据三角形的内角和定理求出即可．
本 题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和
判定，三角形的内角 和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题
的关键．
正三角形
ABC
的边长为
l
，
22.
【答案】解：
，
，，，
，，，
；

，
，
，
当时，等号成立，
第11页，共12页

．

【解析】由正三角形
ABC
的边长为
l
，
MC
，
NA
，
PB
的值，又由
即可求 得
由
，即可求得
的面积；
与
的最大值，继而求得面
，，< br>与
，即可求得
，
积的最大值．
此题考查了三角形的面积问题，几何不 等式的应用问题，以及正三角形的性质．此题综
合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的 应用，注意几何不等式的应用．

第12页，共12页