林俊杰的歌曲-牛比的名字

实用标准文案

放缩法



知识点拨
数的估算时常用方法

（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使 结果介于某两个接近数之间，从而估算结果．
（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．

数的估算(放缩法)
10101010





的整数部分．
1
【考点】数的估算 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和．要求
a
的整数部分， 只要知道
a
在哪两个
连续整数之间．
1010
因为
a
中的11个分数都不大于，不小于，
100110
1


11


11 所以
110100
10101010

1.1 即１

1
由此可知
a
的整数部分是1．
【答案】1

111111
【巩固】 已知
A1
，则
A
的整数部分是_______
245678
【考点】数的估算 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试
114
【解析】
A112
；
23456784488888
【例 1】 求数
a
111141

A11()23
所以
A
的整< br>2345678241245555512
数部分是2。
【答案】
2


1
【例 2】 求数的整数部分是几？
1111

10111219
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】第三届，华杯赛，复赛
111
1
【解析】
1111111110

101010
文档

实用标准文案
1
111

101112
1
19

1
111

191919
1
19

1
1.9
，即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是1.
10
19
【答案】
1


1
的整数部分．
1111

12131421
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
111
1.2
， 【解析】
1111111110

2121212
1111

11

11

10

11

11

又
















5
，
12131421

1221

1320< br>
17

1617

1617

111.7
， 所以
111110

12131421171
1.7
，所以其整数部分是1． 即
1.2
1111

12131421
【答案】1

1
【巩固】 已知：
S

,则
S
的整数部分是 .
1111
...
1986
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2006年，清华附中，入学测试
111818
【解析】 如果全是，那么结果是
73
，如果全是，那么结果是
74
，所以
73
＜
S
＜
74
，
1 98
不能确定
S
的整数部分.我们不妨采用分段估值，有：
17

...
22000
【巩固】 求数
则
111


17
...
22000
大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段 ，
计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！
下面先让我们来看看两个例子：
11111

198319841119811983198219822
⑴

11983198 219821982
1119801984198219822

01 984198219821982
那么也就有：
111111
5

2
1111

1983
（2）
1119801 9831981198211

0198319812
文档

实用标准文案
111111
()24

2
聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！
那么也就有：
27111127

...
0
则
73
【答案】
73


【巩固】 已知
A
，则与
A
最接近的整数是________．
111

8
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】仁华学校
111
【解析】 由于，

8
141111114
所以，
1414
519962
199512008
A
所以，
111
1414

8
7199520086
即
142.5142 A143143.5
，
14141414
那么与
A
最接近的整数是143．
小结：由于只 需要求与
A
最接近的整数，而不是求
A
的整数部分，所以进行上述放缩已经足 够．但
是如果要求
A
的整数部分，又该如何进行呢？
111111
将分母中的14个分数两两分为一组：，，……，(分组的

2
标准在于每组中两 个分数的分母之和相等，此处有偶数项，恰好可以两两分组；如果有奇数项，
则将中间的一项单独分为一 组)，根据“两数之和一定，差越小积越大”，
可知
199520081996200720012002
，
111
所以，

199520081996200720012 002
111111
可得，所以

2
1111

114

1


727
，

8

20012002

20022002
20 02
所以
A143
，即
142.5A143
，所以
A
的整数部分为142．
14
【答案】142

1
【巩固】 的整数部分是________．
1111

30313249
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
111
【解析】 由于
304931483940
，所以，

30493 1483940
797979111111
，即

，
304931483940
1111

11

1
1

1




10 



10
， 所以

30313249

3940

2

4040

文档 221993

2727
1
1111
...
1986

19801
73
，由此可以确定整数部分是73．
273
1

实用标准文案
11
2
， < br>11111

303132492
113
111112< br>
， 又
20
，所以
11112
2< br>3

303132493
1
所以的整数部分是1．
1111

30313249
【答案】
1


1
【巩固】 的整数部分是 ．
11111

20042003
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
1
【解析】 对分母进行放缩．令
s
，
11111

20042003
120033
400
， 则
s
11111
55

20032003
又
20072003200620042005 2005
，根据两个数和一定则差越小积越大，
所以
200720032006200420052005
，
111
则，可得

200720032006200420052 005
12005
11111
401
，
2
，所以
s
1
5
20042005
5
2005
3
即
400s401
，所以
s
的整数部分为400．
5
【答案】400

1111111
【例 3】 已知
N1
，求
N
的整数部分．

51 1192941k

k1

110099
所以
【考点】 数的估算 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 题中已 经指明，式子中每一项的分母都可以表示成
k

k1

1
，对于
k

k1

1
不好直接进行处
理，很 容易联想到
k

k1

及

k1
< br>k
，所以可以进行放缩．
由于

k1

kk< br>
k1

1k

k1

，所以111
，那么

k

k1

k

k1

1

k1

k
1
111
，
23344510012101
1
N11122
，即
122334 991100
1N2
，那么
N
的整数部分为1．
小结：从式子中也可以直接看出
N1
，所以对于这一点也可以不进行放缩．
【答案】1

【例 4】
A

8.8

8.98

8.998

8.9998

8.99998 ，
A
的整数部分是________.
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】第六届，小数报，决赛
【解析】 方法一：
A

8.8

5

44 ，
A

9

5

45 ，所以
A
的整数部分是44 .
方法二：将原式变形后再估算
A

8.8

8.98

8.998

8.9998

8.99998
N1
文档

实用标准文案

(9

0.2

(9

0.02)
(9

0.002)

(9

0.0002 )

(9

0.00002)

45

0 .22222
所以
A
的整数部分是44 .
【答案】44
< br>a
=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，
a< br>的整数部分是 。 【巩固】
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】
a
=11-0.2+11 -0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222
所以
a
的整数部分是54。
【答案】54


0.9999999999．求
x
的整数部分． 【巩固】 已知
x

0.9

0.99

0.999

【 考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 方法一：要求
x
的整数部分，必须找到
x
介于哪两个连续整数之间即
a

x

a

1，
x
的整数部分
和
n
相等．可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是1

10< br>
10；然后将原算式缩
小，把每个加数都看成0.9，结果是0.9

10

9．可见原算式的结果介于10和9之间即9

x

10，
所以
x
的整数部分是9．
方法二：将原式变型后再估算．

0.9999999999
x

0.9

0. 99

0.999


(1

0.)

(1

0.1)

(1

0.01)
< br>(1

0.001)


0.)

10
0.1111111111

10

( 0.1

0．01

0.001

所以
x
的整数部分是9．
【答案】9

【例 5】 计算 8.01

1.24

8.02

1.23

8.03
1.22整数部分.
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】第五届，华杯赛
【解析】 方法一：在8.01
1.24

8.02

1.23

8.03

1.22中，各式的两个因数之和都相等.
根据两个数和一定时，这两个数越接近则乘积越大 ，所以8.01

1.24

8.02

1.23

8.03

1.22；
则有1.22

8.00

3

1.22

8.03

3

原式

1.24

8.01

3

1. 25

8.00

3 ，即 29.28

原式

30 ，所以原式的整数部分是29 .
方法 二：为了使计算简便，可以把8.01、8.02、8.03分成整数和小数两部分计算，小数部分可
以 进行估算
8

1.24

8

1.23

8

1.22

8

(1.24
1.23

1.22)

8

3.66
29.28
0.01

1.24

0.02

1.23

0.03

1.22≈0.01

1

0.02

1

0.03

1

0.06
因为0.06不会影响整个算式的整数部分，所以整数部分是29．
【答案】29

【例 6】 老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均 数（保留小数点后面两位）．小明计算出
的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了 ．”那么，正确的得数应是___ ___.
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 法1：因为14.7这三个数字正确，1 4.7×7＝102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，
104，……等，当和为103时 ，平均数为103÷7≈14.71，当和为104时，平均数为104÷7≈14．86，
就不符已知 条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71．
法2：此题可以用放缩法：由题意知： 14.70≤平均数≤14.79，所以这7个数的和介于102.90和
103.53之间，又由于7 个自然数的和必然是整数，所以是103。则正确的平均数是103÷7＝14.71 .
【答案】14.71

【巩固】 有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确 到小数点后一位是26.9．那么，精确到小数点
后两位数是多少？
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 利用放缩法，13个自然数之和必然是整 数，又有26.85

平均数

26.95，则这13个自然数的和
介于13

26.85和13

26.95之间．即在349.05和350 .35之间，所以只能是350．所以
350

13

26.923 ，则精确到小数点后两位数是26.92 .
文档

实用标准文案
【答案】26.92

【例 7】 已知除法算式：111213

312111．它的计算结果的小数点后的前三位
数字分别是 .
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 各取被除数、除数前两位，有：原式

12

32

0.375，原式

13

31

0.419 4 ；在0.375～0.4194
之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大.
再各取被除数、除数前三位，有：原式

123

31 3

0.3930，原式

124

312
0.3974，仍无法
确定 ；
又各取被除数、除数前四位，有：原式
1234

3122

0.3953，原式

1235

3121

0.3957.说明
原式的结果在0.39 53～0.3957之间，因此，小数点后前三位数分别是3，9，5.
【答案】3，9，5.

1
1
1
11
11
【例 8】 求

的整数部分是多少?
3
4
5
67
89
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
11112
【解析】 分段放缩.
43<
原式
34
，即1

原式


1
，所以原式整数部分为1．
69363
【答案】1

111
1
1
1
1
1
【巩固】
A
=1＋＋＋＋＋＋＋＋…＋的整数部分是多少?
2
3
4
5
67
8
16
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
11115
【解析】 把算式中的分数放大或缩小，如果全部放大为，则
A
＜8 ；全部缩小为，则
A
＞1 ，
221616
1
1
1
这样无法确定
A
的整数是多少，于是我们来用一种分段放大和缩小的办法．1＋＋＋＋…
2
3
4
111
11111
1111
＋ ＞１＋＋（＋）＋ （＋＋＋）＋（

），通过计算得1＋＋
161616
1624428888
8个
1111
1
1111
1
1
11
11
＋＋…＋＞3，1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋（＋＋+ ）+（＋＋
162< br>3
4162
3
4444
3
4
88
14343
111111
＋+ ＋＋＋）+，即
A
＜3，因为3＜
A
＜ 3，所以
A
的整数部分是3．
164848
888888
【答案】3

111

11111

【例 9】

1

10
的整数部分是 。
2468109698100

【考点】数的估算 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级

1111

11111

【解析】 原式必然小于
1

10
，大于

1

10
，容易计算出原式的值在

2468

2468 10

6.08至7.08之间，故其整数部分为7.
【答案】7

【例 10】 有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两 个数的平
均数，那么，第16个数的整数部分是_______．
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 由已知：
第三个数＝(133＋57)÷2＝95，
第四个数＝(57＋95)÷2＝75，
第五个数＝(76＋95)÷2＝85.5
第六个数＝(85.5＋76)÷2＝80.75，
文档

实用标准文案
第七个数＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125，
第八个数＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375，
第九个数＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125．
第十个数＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375，
从第十一个 数开始，以后任何一个数都82.53125与82.234375之间，所以，这些数的整数部分
都是 82，那么第16个数的整数部分也82．
【答案】82

1111
【例 11】 试求
2

2

2

误差小于
0 .006
的近似值．
1011121000
2
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
11111111
【解析】
2

2

2



2
1111112121310001001
11111111


10001001
1111


1
0.10.0010.099
，
1111111 1
又
2

2

2


 
1011121000
2
910101111129991000
11111111


911000
11
0 .1120.0010.111
，
91000
由于
(0.0990.111)20.105
，
1111
所以
2

2

2
0.105
(误差小于
(0.1110.099)20.006
)
1011121000
2
【答案】
0.105


10111819
【例 12】 在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立：
__________

11121920
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，一试
101191
【解析】 一共有10项，这个值大于×10=
9
，小于
109
，所以应该分别填入9和10.
1111202
【答案】
9
；
10


137151023
【例 13】 记
A
＝

，那么比
A
小的最大自然数是 。
248161024
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2008年，第十三届，华杯赛，决赛
【解析】 9
【答案】
9


【例 14】 六个分数
11
1111
，，，，，的和在哪两个连续自然数之间？
23571113
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2009年，第14届，华杯赛，决赛
【解析】 在1和2之间。
111111


23571113
文档

实用标准文案

11

11

11

< br>








< br>


213311

57



151412
。

263335
2
41
＜＜2，

< br>263335262626
26
151412
151412
＞＞1，


263335
353535
因为
又因为
1
1
1111
所以六个分数，，，，，的和在1和2之间。
2357
11
13
【答案】1和2

1979188011871088
【例 15】 已知：
A99
，那么

A



1981188211891090
【考点】数的估算 【难度】5星 【题型】填空
192182112102

【解析】
A

1

99

19811882 11891090

19198181981119810198

99

1981188211891 090
1919818198
19811882
191981 8198
19811882
11198101981916218 164

1189109019811882
111981 01981924318246

118910901981188 2
1117810180
2
11891090
11 26710270
3
11891090
所以
99
【 答案】
96


A3
，即
996A97
，

A

96

2582629
（四舍五入保留 至小数点后第三位，注：

9

10

；
392733
3
10
59049
）
【考点】数的估算 【难度】5星 【题型】填空
2582629A2582629
【解析】 设

9

10
A
，则

10

11

39273339278133
【例 16】 计算：

A
A233

33927
11

3
2
3
3

3329211
3
9
3
10
3
11
339
1
112797


3
8
3
9
3
11

1
1
171
3
6

7
1
1

1
1


7


7

11
1
2


333
1
1< br>3
11
6

3
6

3
11
3
311137
1.750

2443
6
23
11
【答案】
1.750



A
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