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第一、三单元
1、小数的产生
公元3世纪，也就是1600多年前，我国伟大的数学家刘徽就提出了小数。
最初，人们表示 小数只是用文字，直到了13世纪，才有人用低一格，如8.23
记做，左边的表示整数部分，右下方表 示小数部分。
古代，还有人记小数是将小数部分的各个数字用圆圈圈起来，例如：1.5记< br>做1⑤，这么一圈，就把整数部分和小数部分分开来了。这种记法后来传到了中
亚和欧洲。
公元1427年，中亚数学家阿尔．卡西又创造了新的小数记法，他是用将整
数部分与 小数部分分开的方法记小数，如3.14记做3 14。
到了16世纪，欧洲人才注意小数 的作用。在欧洲，当时有人这样记小数，
如3.1415记做3⊙1①4④1①5⑤。⊙可以看作整数部 分的分界标志，圈里的数
字表示的是数位的顺序，这种记法很有趣，但是很麻烦。
直 到公元1592年，瑞士的数学家布尔基对小数的表示方法作了较大的改进，
他用一个小圆圈将整数部分 与小数部分分割开，例如：5。24……数中的小圆圈
实际起到了小数点的作用。
又 过了一段时间，德国的数学家克拉维斯又用小黑点代替了小圆圈。于是，
小数的写法就成了我们现在的表 示方法。
但是，用小数表示，在不同的国家也有不同的方法。现在，小数点的写法有
两种：一种是用“，”；一种是用小黑点“.”。
在德国、法国等国家常用“，”，写出的小数如3， 42、7，51……,而英国
和北欧的一些国家则和我国一样，用“.”表示小数点，如1.3、4.5 ……
2、小数点的由来
在很久以前，还没有出现小数点。人们写小数的时候，如果是 写小数部分，
就将小数部分降一格写，略小于整数部分。16世纪，德国数学家鲁道夫用一条
竖 线来隔开整数部分和小数部分。17世纪，英国数学家耐普尔采用一个逗号“，”
来作为整数部分和小数 部分的分界点。17世纪后期，印度数学家研究小数时，
首先使用小圆点“.”来隔开整数部分和小数部 分，直到这个时候，小数点才算

真正诞生了。
3、神奇的小数点
小数点看起来个头小，可它的作用却大的很。它若是不高兴随意乱跑，数的
大小可就发 生变化了。小数点向右（左）移动一位、二位、三位······原
来的数就扩大（缩小）10倍、10 0倍、1000倍······
4、小数点与悲剧
1970年6月30日，前苏 联著名宇航员费拉迪米尔·科马洛夫在空间站工作
了23天后，一个人驾驶着“联盟一号”宇宙飞船返航 。但是，当飞机返回大气
层后，无论怎么操作也打不开降落伞，结果在着陆基地附近坠毁，宇航英雄科马
洛夫遇难。“联盟一号”所发生的事件就是因为在地面检查时，忽略了一个小数
点。
5、祖冲之的小数计数单位
祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数 学家，科学家。南北朝
时期人，汉族人，字文远。生于未文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范< br>阳郡遒县（今河北涞水县）。先世迁入江南，祖父掌管土木建筑，父亲学识渊博。
祖冲之从小接受 家传的科学知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。一生先
后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府 参军、娄县（今昆山县东北）令、谒者
仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方 面。在数学方
面，他写了《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代国子监算学
课 本，可惜后来失传了。《隋书·律历志》留下一小段关于圆周率（π）的记载，
祖冲之算出π的真值在3 .1415926（朒数）和3.1415927（盈数）之间，相当于
精确到小数第7位，成为当时世 界上最先进的成就。这一纪录直到15世纪才由
阿拉伯数学家卡西打破。祖冲之还给出π的两个分数形式 ：227（约率）和
355113（密率），其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰 数
学家奥托重新发现。祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球
体积的计算问 题，得到正确的球体积公式。在天文历法方面，祖冲之创制了《大
明历》，最早将岁差引进历法；采用了 391年加144个闰月的新闰周；首次精密
测出交点月日数（27.21223），回归年日数（36 5.2428）等数据，还发明了用圭

表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时 刻的方法。在机械学方面，他
设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等等。此外， 他在
音律、文学、考据方面也有造诣，他精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》。
是历史 上少有的博学多才的人物。
为纪念这位伟大的古代科学家，人们将月球背面的一座环形山命名为 “祖冲
之环形山”，将小行星1888命名为“祖冲之小行星”。
祖冲之通过艰苦的努 力，他在世界数学史上第一次将圆周率（Л）值计算到
小数点后七位，即3.1415926到3.14 15927之间。他提出约率227和密率
355113，这一密率值是世界上最早提出的，比欧洲早一 千多年，所以有人主张
叫它“祖率”。他将自己的数学研究成果汇集成一部著作，名为《缀术》，唐朝< br>国学曾经将此书定为数学课本。他编制的《大明历》，第一次将“岁差”引进历
法。提出在391 年中设置144个闫月。推算出一回归年的长度为365.24281481
日，误差只有50秒左右。 他不仅是一位杰出的数学家和天文学家，而且还是一
位杰出的机械专家。重新造出早已失传的指南车、千 里船等巧妙机械多种。此外，
他对音乐也有研究。著作有《释论语》、《释孝经》、《易义》、《老子义 》、
《庄子义》及小说《述异记》等，均早已遗失。


第二单元
1、建筑物中的图形
：三角形和半球形是最坚固的图形。
2、勾股定理
勾 股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的
公式与证明，相传是在商代由商 高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋
铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又 给出了另外一个证明。
直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边< br>长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c
² 。勾 股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之
一。勾股数组成a²+b²= c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。

勾股定理说明，平面上 的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）
的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之， 若平面上三角形中两边长的平
方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边） 。
教参P80：数学家的眼光：三角形的内角和
3、奇妙的七巧板
七 巧板又称七巧图、智慧板，是汉族民间流传的智力玩具。它是由宋代的宴
几演变而来的，原为文人的一种 室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具。据清代
陆以湉《冷庐杂识》说：：宋黄伯思宴几图，以方几七， 长段相参，衍为二十五
体，变为六十八名。明严瀓蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，
如蝶翅。其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余。近又有七巧
图，其式五，其 数七，其变化之式多至千余。体物肖 形，随手变幻，盖游戏之
具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之。” 现七巧板系由一块正方形切割为五个小
勾股形，将其拼凑成各种事物图形，如人物、动植物、房亭楼阁、 车轿船桥等，
可一人玩，也可多人进行比赛。利用七巧板可以阐明若干重要几何关系，其原理
便 是古算术中的“出入相补原理”。
七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等。腰直 角三角
形(两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形)、一块正方形和一块平
行四边 形。十九世纪最流行的谜题之一就是七巧板。七巧板的流行大概是由于它
结构简单、操作简便、明白易懂 的缘故。你可以用七巧板随意地拼出你自己设计
的图样，但如果你想用七巧板拼出特定的图案，那就会遇 到真正的挑战。正是七
巧板的乐趣所在。
第四单元
1、达．芬奇画鸡蛋的故事
达．芬奇十四岁那年，到佛罗伦斯拜著名艺术家弗罗基俄为师。弗罗基俄是
位很严格的 老师，他给达．芬奇上的第一堂课就是画鸡蛋。开头，达．芬奇画得
很有兴致，可是以后第二课，第三课 ，......老师还是让他画鸡蛋，这使达．芬
奇想不通了，小小的鸡蛋，有甚么好画的?有一次，达 ．芬奇问老师：「为甚么
老是让我画鸡蛋?」老师告诉他：「鸡蛋，虽然普通，但天下没有绝对一样的，

即使是同一个鸡蛋，角度不同，投来的光线不同，画出来也不一样，因此，画鸡
蛋是基本功。基本功要练到画笔能圆熟地听从大脑的指挥，得心应手，才算功夫
到家。」
达．芬奇听了老师的话，很受启发。他每天拿着鸡蛋，一丝不苟地照着画。
一年，二年，三年..... .达．芬奇画鸡蛋用的草纸，已经堆得很高了。他的艺术
水平很快超过了老师，终于成为伟大的艺术家。
2、盲人摸象
从前，有四个盲人很想知道大象是什么样子，可他们看不见，只好用手摸。胖盲人先摸到了大象的牙齿。他就说：“我知道了，大象就像一个又大、又粗、
又光滑的大萝卜。” 高个子盲人摸到的是大象的耳朵。“不对，不对，大象明明
是一把大蒲扇嘛！”他大叫起来。“你们净瞎 说，大象只是根大柱子。”原来矮
个子盲人摸到了大象的腿。而那位年老的盲人呢，却嘟嚷：“唉，大象 哪有那么
大，它只不过是一根草绳。”原来他摸到的是大象的尾巴。四个盲人争吵不休，
都说自 己摸到的才是大象真正的样子。而实际上呢？他们一个也没说对。后以“盲
人摸象”比喻看问题以偏概全 。
“盲人摸象”的寓意是不能只看到事物的一部分，而应看全局，那样才能全
面和真实的了解 事物的情况
3、莫比乌斯带
公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，17 90～1868）和约翰·李斯
丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具 有魔术般
的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可
以涂成 不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬
遍整个曲面而不必跨过它的边缘 。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。（也就是说，
它的曲面只有一个）

第五单元
1、用字母表示数的来历
由古希腊的字母代表是从古代开始的 那时候古希腊的人研究科学的很多 所以
有了很多代表数的字母 而且古希腊的字母很少和其他英语字母重复 所以现在
常用古希腊字母代表数字。用英文字母代表数字也很常见 ，如用N代表自然数 N
是英文“自然”的第一个字母
，类似的还有用R代表实数 Q代表有理数 Z代表整数。还有一种字母代表数是
未知数。如x y z，他是由爱因斯坦创造来解决数学问题的现在 在我们学习的数
学中是一种解决问题的好方法。还有一些数是固定的 如圆周率 这些是由国际规
定的。他们已经在我们的生活中根深蒂固。

2、方程的由来
方程这个名词,最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我
国东汉初年 编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了
246个应用问题和其他问题的解法, 分为九章,“方程”是其中的一章．在这一章
里的所谓“方程”,是指一次方程组．例如其中的第一个问 题实际上就是求解三
元一次方程组
古代是将它用算筹布置起来解的,如图所示,图 中各行由上而下列出的算筹
表示x,y,z的系数与常数项．我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说, “程,
课程也．二物者二程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之方程．”这里
所谓 “如物数程之”,是指有几个未知数就必须列出几个等式．一次方程组各未
知数的系数用算筹表示时好比 方阵,所以叫做方程．
上述方程的概念,在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出 现．其
中解方程组的方法,不但是我国古代数学中的伟大成就,而且是世界数学史上一
份非常宝 贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟
大民族。
教参P119：有理数运算理解的维度
教参P181：什么是代数

数学好玩

1、中国古代的算筹和筹算
何谓算筹？
所谓算筹，其实就是一把刻得很整齐的竹棍，直径约两三个毫米，长度十来
个厘米。除 竹制的以外，还有木、铁、玉石、骨、象牙制的算筹。把算筹装在袋
子里或笔筒中随身携带，这就是古人 说的“算袋”或“算子筒”。唐代曾经规定，
文武官员都必须备有算袋，以提高决策的科学性。


图1 算筹

图2 筹算

算筹如何计数
用算筹表示数，有纵式和横式两种方式。在纵式中，纵摆的每根算筹都 代表
1，表示6~9时，则上面摆一根横的代表5。横式中则是横摆的每一根都代表1，
其上面 纵摆的一根代表5。而且规定，个位和百位必须用纵式，十位和千位必须
用横式，纵横相间，使各位界限 分明，以免发生混乱。算盘中上面的一个子代表
5，下面的一个子代表1，是从算筹延续下来的。计数的 十进位制是我国古代文
明最重要发明之一。我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵、横两种方式：


图3 算筹计数

如要表示一 个多位数字，即把各位的数字从左到右横列，各位数的筹式需要
纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用 横式表示，百位、万位用纵式，千位、
十万位用横式．例如：614用算筹表示出来是； 。 数字有空位时，如86021
用算筹表示出来是， 。百位是空位就不放算筹．那么，“ ”表示的最小的数
是10340。
算筹运算
用算筹运算，有一套规则和口 诀。中国古人不但可以用它做加减乘除四则运
算，还可以乘方开方，连多元高次方程这样高深的数学难题 都可以解出来，不可
不谓之奇迹。

图4 算筹加法运算

图5 算筹减法运算(自上而下减，答数在左方)

古人乘法除法皆为从 左至右算，乘数在上，被乘数在下，积放在中间。古
人计算用筹不用笔，筹算可以任意改变形态，所以左 至右算根本不麻烦。如算
49乘36的步骤，结果是1764。

图6 算筹乘法
算筹还可以解联立方程组。“九章算术”是东汉编订的数学经典著 作。方程
中一次方程组可由算筹布置。如下图1，图2中各行从左到右列出算筹数分别表
示未知 数X,Y的系数与对应的常数项。算筹图可表达为：

图7 算筹解代数联立方程

算筹考古
中国的算筹和筹算制度，在春秋战国时期 已经比较成熟。《老子》一书中讲
到：“善计者不用筹策”，表明那时算筹已经很普遍了。《易经》中八 卦的图标
为横竖长短不同的横线组成，可能与当时算筹使用有关。

图8 周易八卦图

现在考古发掘出的算筹实物，最早是汉代的。
1954年考古学家在湖南长沙左家公山出土战国时代古墓，内藏竹算筹40根，
每根长12厘米。
1975年在湖北江陵凤凰山汉墓中发现竹制算筹。
1971年考古学家从 陕西千阳县一座出土的西汉古墓中发现一束在一个丝袋
内（算筹袋）保存完好的兽骨算筹，长短不一，最 长的13.8厘米，最短的12.6
厘米，截面呈圆形，直径在2-4毫米间。
19 80年从河北石家庄出土30根东汉骨算筹，长7.8-8.9厘米，截面方形，
边长约0.4厘米。此 外在陕西旬阳汉墓中出土象牙筹27根。
1983-1984，湖北江陵张家山西汉古墓中出土竹算筹。
1973年9月，湖北省江陵 县凤凰山出土的十号汉代古木木牍，其中有一片
记有“当利二月定算”，这是文献中最早出现以筹码代替 文字记数例子之一。
运筹学名称来源
出谋划策时，对有关问题必须经过数学计算， 计算就要用算筹，所以，“运
筹”成为“出谋划策”的代名词。汉高祖刘邦在总结打败项羽原因时说张良 是“运
筹帷幄之中，决胜千里之外”，后来，“运筹帷幄”成为一个成语。现代数学中，
有一个 分科叫“运筹学”，其名称也来源于古代筹算。
算筹发展为算盘
筹算在我国从周代 到元代应用了约二千年，对中国古代数学的发展功不可
没，南北朝数学家祖冲之计算圆周率应该就是用算 筹完成的。但算筹也有严重缺

点：运算时需要较大的地方摆算筹，位数越多，问题越难， 需要摆的面积越大，
用起来不大方便。另一个重要问题是运算过程不保留。它的运算过程实际上就是挪动算筹，运算了下一步，上一步就看不到了。虽然这有节约纸的好处，但有了
错误不好检查，学习 者学习起来也很困难。元朝数学家朱世杰，能用筹算解四元
高次方程，其数学水平居世界领先地位，但是 他的方法太难懂了，因而后继无人。
中国古代数学不能发展为现代数学，筹算方法的限制是一个重要原因 。元末明初
之后，珠算逐渐代替了筹算。筹算的重要缺点是运算过程不保留，出了错误不便
检查 ，只好重算一遍。这个缺点，珠算仍然有。

第六单元

1、教参P229：统计学的历史回顾