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祖冲之和π值的计算
祖冲之(429～500)，中国南北朝时期著名的数学家和天文学家．他在数学上
的主要贡献是：
1．推算出圆周率π在不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927之间，精确到小数点后7位．
2．和祖暅一起解决了球体积的计算问题，得到球体积公式，并提出了 “幂
势既同，则积不容异”的原理．
祖冲之，字文远，他是我国南北朝时期的一位杰出的 科学家．祖冲之的祖籍
在河北，但晋朝末年以来，北方连年混战，民不聊生，中原地区的大量人口移到< br>了南方，这就促进了长江流域的农业生产和社会经济各方面的迅速发展．祖冲之
的祖父就是这些移 民中的一员．祖冲之出生在南方，他的几代祖先都在南方做官，
他的家庭具有浓厚的研究科学的传统，祖 家历代对天文历法都很有研究．据说他
的祖父掌管土木建筑，也懂得一些科学知识．在家庭的影响下，祖 冲之从小就对
天文学和数学发生了浓厚的兴趣．
青年时祖冲之进入了政府的学术机构—— 华林学省，专门从事学术活动，后
来他又担任过大大小小的各种官职．但是做官并没有使他放弃对科学的 研究，他
一生中对科学的研究孜孜不倦，并取得了杰出的成就．他的主要成就在数学、天
文历法 和机械制造三个领域．
在数学上，祖冲之研究过《九章算术》和刘徽为之所做的注解，同时给《九
章算术》和刘徽的《重差》作过注解．他还写过一部著作《缀术》．这部书被收
入著名的《算经 十书》中，作为唐代国子监算学课本．令人遗憾的是这些重要的
文献都已失传，这是我国科学史上的一个 重大损失．所幸的是在《隋书·律历志》
中留下了一小段祖冲之的关于圆周率工作的记载，他算出π的值 在3.1415926
和3.1415927之间，准确到小数后7位，成为当时世界上最先进的成就． 唐代的
李淳风在《九章算术》的注文中记载了祖冲之和儿子祖暅求球体积的方法，才使
得这一成 果能够流传下来．
在天文历法方面，祖冲之创制了《大明历》，这是以制成的年代命名的．这部历法有许多革新突破点，例如最早将岁差引进历法；采用3391年加144个闰
月的新闰周；首 次精密测出交点月日数（27.21223）和回归年日数（365.2428）
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等数据，并且发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻 的
方法，可以说《大明历》开辟了历法史的新纪元．
然而这样一部优良的历法上书皇帝要 求颁布实行时，遭到宋孝武帝的宠臣戴
法兴的百般刁难，于是在朝廷上发生了激烈的争论．戴法兴认为祖 冲之引进岁差、
改革闰周等都违背了儒家经典．戴法兴指责祖冲之是“诬天背经”，大力宣扬日
月运行的规律“非凡夫所测”的不可知论观点．祖冲之针锋相对地写了一篇辩驳
的奏章．他表示“愿闻显 据，以核理实”“浮辞虚贬，窃非所惧”，并且引用历
史文献和天象观测的大量事实，逐条批驳了戴法兴 的论点，明确指出“天体运行
的规律，不是什么神圣的，不可捉摸的东西，是有形体可供观察考验，有数 据可
以推算的”，科学在不断进步，人们不能“信古而疑今”．这场辩论充分体现了
一位科学家 不畏强权，敢于坚持真理，勇于革旧创新的可贵品质．但是，在祖冲
之的有生之年，这部优秀的历法未能 颁布实行．
祖冲之在机械制造方面曾经设计制造过利用水力加工粮食的水碓磨，铜制机
件 传动的指南车，一天能走百里的“千里船”以及一些陆上运输工具．他还设计
制造过漏壶（古代的计时器 ）和巧妙的款器等．
此外，祖冲之还精通音律，是一位下棋能手，甚至写过小说，他的著述很多，
可惜大部分都已失传．他是我国历史上少有的一位博学多才的人物．
为了纪念和表彰祖冲 之在科学上的卓越贡献，莫斯科大学里排列着世界上最
著名的科学家的雕像，祖冲之是其中之一．196 1年，苏联发射宇宙火箭成功后，
决定用世界上最著名的科学家的名字来作为月球上山谷的名字，于是月 背面就有
了以祖冲之命名的环形山．我国紫金山天文台于1977年把该台在1964年11月
9日发现的1888号小行星命名为祖冲之……从此，祖冲之这个名字将与日月并
存！
在 人类的生活中，最常见的图形之一是圆形的东西．例如：火红的太阳、皎
洁的月亮，清晨的露珠，旋转的 年轮等等．逐渐地，人类在对这一类物体的观察
与研究中抽象出了一个几何概念：圆．圆是人类最早认识 的几何图形之一，这个
被人们视为最简单而美丽的图形中包含着一个神秘的数：圆周率π，这是一个与< br>直径的大小无关的常数．
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在人类 的生产实践中常常遇到需要计算圆的面积和周长的问题，这就引发了
人们对于π值的探讨．在远古时代， 所取的π值是非常粗糙的．例如我国最早的
一部古书《周髀算经》中说：“周三径一”，即π＝3．这个 值在古巴比伦和埃
及人那里也曾被应用．计算π的第一次科学尝试归功于古希腊的大数学家阿基米
德．从他以后，对求得π的更精确的值成了古代数学的一个经久不衰的课题，许
多人为此付出了大量的 心血和汗水．现在，人们对π值的重视似乎已不在π值本
身，而把每一次更精确的π值的得出看作人类对 于自身毅力的检验，π值成了各
民族坚韧不拔的毅力的象征．总的来说，在漫长的π值计算史中，人们所 用的方
法有两种：古老的几何方法和17世纪以后风靡一时的分析方法．下面，我们就
沿着时间 的走廊来浏览一下π值简捷的年表．
公元前240年，阿基米德在他的论文《圆的量度》中记载 了这样一个方法：
从圆内接和外切正六边形开始，每次把边数加倍，用这样一系列的内接和外切正
多边形来穷竭圆周，从而求得圆的周长与其半径之比．阿基米德求得了圆内接与
220223
外切正九十六边形的周长，得到
70
＜π＜
71
．
公元263 年，我国三国时代的著名数学家刘徽首创了利用圆的内接正多边形
的面积接近于圆的面积的方法来计算圆 周率，即割圆术．他的方法是以1尺为半
径作圆，作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，计算出正十二 边形，正二十四
边形，正四十八边形和正九十六边形的面积，舍弃了分数部分后，得π＝3.14，后人把3.14称为“徽率”．
公元480年，祖冲之把圆周率的计算又向前推进了一大步． 他仍然采用刘徽
的割圆术，一直算到圆的内接正12288（6×2
11
）边形的边长 ，并算出了正12288
和24576边形的面积后推得π≈3.1415926．
在祖 冲之的时代，还没有纸和笔，只能用算筹在地上摆出数字和计算过程．从
圆内接正六边形起，每次倍增直 到内接正12288边形．每进一步，都要把许多算
筹按照加、减、乘、除、开方、平方等11个步骤的 同一运算程序反复摆弄12
次，而每次都是对9位数字进行的，要完成这样复杂的运算，需要多么顽强的 意
志和严谨细致的作风啊！
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223 55
祖冲之还找到了两个近似于π的分数值，一个是
7
，称为约率，另一个
1 13
，
称为密率，后者是祖冲之独创的，因此，后人称之为“祖率”，以纪念这位数学
家．
1429年，阿拉伯数学家第一次打破了由祖冲之保持了1000多年的π值“世
界纪录 ”．他在《关于弦和正弦》一文中分别计算了圆内接和圆外切805，306，
368边形（3×228
边形）的周长，计算出2π＝6.28365，使圆周率精
确到小数点后16位．
1579年，法国著名的数学家韦达由圆内接6×2
16
边形算出π的9位小数，
并且得到了π的第一个无穷乘积表达式
．
1610年，德国的鲁道夫用262
边形计算π到小数点后第35位．这一工作几
乎耗费了鲁道夫毕生的心血．他去世后， 人们为了纪念他，将这一值铭刻在他的
墓碑上，并称之为“鲁道夫数”．
1630年，数 学家格林贝尔格(Gtrienberger)把π计算到小数点后39位，这
是用古老的几何方法计算 π的最后的较为重要的尝试了．
17世纪，随着分析学的建立与扩展，人们相继发现了许多有关π 的表达式．例
如，1650年，英国数学家沃里斯把π表示成下面的形式

1671年，苏格兰数学家詹姆斯·格里高里得到无穷级数

当x＝1时，此级数变为

但是用这些式子去计算π有一些问题：要么计算过于复杂，要么级数收敛速
度太 慢．例如，若要用最后一个公式把π计算得准确到第6位数字，就必须计算
公式的前2，000，000 项．
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1706年，英国的一个不太出名的数学家约翰·梅软发现了另一个公式：

使得计算π值的速度大大加快．他用此公式算π达100位小数．
人们花费如此高昂的代价来求π 的数值，其中有一个目的是想找出π值有什
么规律．然而，由于林德曼在1882年证明了π是个超越数 ，也就是π的小数部
分一定是无限而又不循环的．这样，原来的目的再也没有什么意义了．不过，人们还是不肯罢休．后来，数学家们又相继找出了一系列公式，应用这些公式，π
的位数节节上升．
1873年，英国学者威廉·欣克用格里高里级数与梅软公式，经过30年坚持
不懈的努力 ，将π算到了707位小数．无论如何这是人工计算的极限了．在新的
计算手段出现以前，要想继续推进 这个结果使人望而却步．欣克死后，人们将这
一凝聚着欣克毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬 他的顽强意志．
1948年，英国的弗格森（D．F．Ferguson）用手工计算机对欣克的 结果进
行了核查，他足足算了1年，结果发现欣克的π值在第528位错把5写成了4，
结果他 后面的计算全都错了，10年的功夫全费了．弗格森于1947年算出了710
位的正确值．同时，美国 的小伦奇发表了808位的π值，但是不久弗格森发现了
723位上的一个错误．1948年1月，弗格 森和伦奇联合发表了准确到808位的π
值．
1946年，世界上第一台电子计算机问世 ，从此，π值的计算以人力不能比拟
的速度直线上升．1958年1月20 日，在法国IBM公司工作 的弗朗索瓦裘纽斯
利用一台IBM704型电子计算机把π值计算到了1万位，计算时间仅为1小时10
分．
1959年7月20日，法国另一位学者吉劳德在巴黎仍用IBN704计算π到了
16，167位．1973年9月3日，吉劳德又与她的合作者一起在CDC7600计算机上
将π的值计算到100万位．她们把结果印成了一本大书，这本书全是数码，因此
被人们称为有史以来世 界上最最沉闷乏味的一本读物，然而它却显示了计算机的
计算威力．
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1986年，日本东京大学的廉正蒲田在一台IVECSZ—2巨型计算机上计算π
值达134 217 700位．1989年，一对姓丘德诺维斯的兄弟在美国超级计算机上
把π值计算到了10亿位，打印纸 长度达37米．
曾有人计算过，若用小数点后18位的π值，就可算出以地球到月亮间的距
离为半径的圆周长，其误差小于10
－
4
毫米，这是一根头发的1％细．因此，在实
践中，祖冲之的结果π≈3.1415926就足够了，花费很大力气而过分追求π的位
数已没 有多大意义，顶多，π值只剩下检验计算机性能和训练工作人员操作技术
这一层意义了．

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