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祖冲之父子与祖暅原理
祖冲之（公元429—500年）是我国南北朝时代的伟大 科学家，字文远，范
阳郡蓟县（今河北省涞源县）人，祖父曾任朝庭的大匠卿，主管工程建筑．幼年常随祖父到工地参观，亲眼看到祖父的精心设计和工人们的辛勤劳动，幼小的心
灵养成爱科学、爱技 术、爱机械、爱劳动的习惯，20岁左右，受皇命入当时的
最高学府—华林学省学习，结业后任南徐州从 事史，后回建康（今南京）任过公
府参军，以后做过晏县（今江苏昆山县东北）县令，后升为长水校尉． 他钻研《九
章算术》刘徽注之后，著有《缀述》附在刘徽注的后面，但遗憾的是这部著作已
失传 了．
祖冲之是天文学家，历学家，文学家、机械学家，数学家．说他是天文学家，
历学家 ，是因为他创《大明历》；说他是文学家，是因为他著有《述异记》十卷；
说他是机械学家，是因为他制 造水碓、水磨，1000多年的今天，山区人们还在
使用；说他是数学家，是因为他著《缀术》，虽书已 失传，但其中对圆周率 的
研究结果，以 为疏率、 为密率并求出
，早于欧洲1100多年 ．以至于日本三上义夫在他所
著的《中国数学发展史》中建议称圆周率为“祖率”．
祖暅 是祖冲之的儿子，生卒年代不详，是一位博学多才的数学家．唐代王孝
通称他为祖暅，阮元《畴人传》称 他为祖暅之，另字景铄．他继承家学，主要工
作是修补编辑他父亲的著述《缀述》，虽然他历官员外郎、 散骑常侍．祖暅在数
学上的主要成就，就是推算球的体积公式．在方法上根据他父亲提出的原理：“缘< br>幂势既同，则积不容异”．其中幂指截面积，势指高，这一原理也可叙述为“两
个等高的立体，若 平行于底的截面积相等，则体积相等”．但在推算过程中祖暅
却应用了“两个等高的主体，若平行于底的 截面积成比例，则体积也成比例”更
一般的结论，他的构思新颖．为了便于说明，先看下列三个图形：

图1是 球体，用 表示球体积．图2是 “牟合方盖”，用 表示
“牟合方盖”体积．“牟合方盖”是一个特殊立体，是以 为直径的两个圆柱
轴线垂直且相交而形成的．图3是以 为棱的正方体挖去一个倒立的阳马，用
表示其体积．

若用平行于底且相距为 的平面去截上述三个立体，所得截面面积分别为：
， ， ．
因为 ， ，
所以 ， ．
但从 可推得 ．
上述推算过程实际上图1起了桥梁作用，亦可从图3和图2直接推出：
因为 ，得 ．
所以由 就可推得 ．
祖暅在推算过程所应用的原理，西方叫卡瓦列利原理，因卡氏于公元163 5
年在《连续不可分量几何》里提出的，而这比祖冲之父子晚1100多年．因而我
们将此原理 称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当．下面给出祖暅定理的两
个推论，并利用原理及推论求椭圆的 面积、椭球体的体积和环体体积．
推论1 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个 平面的任意平
面所截，如果截得的两个截面的面积比总为 ，那么这两个几何体的体积之
比亦为 ，
推论2 夹在两条平行线间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意
直线所截 ，如果截得的两条线段之比总为 ，那么这两个平面图形的面积之
比亦为 ．
问题1 求椭圆
解 如图4，圆 方程为
的面积．
．作沿平
行于 轴方向均匀压缩变换 代入圆 方程就

得椭圆方程．由于椭圆与圆都夹在两条平行线 与 之间，且
推论2得
，由
，
所以 ．
为母 问题2 如图3，求以 轴为旋转，椭圆
线旋转生成的几何体体积．
解 以
推论2，得
为半径的圆面积为 ，以 为半径的圆面积为 ，则由
，由推论1得 ，
所以 ．
一个圆绕同一平面内与它不相交的一条直线旋转形成的旋转面叫做环面，环
面所围成的几何体叫做环体．
问题3 设圆 半径为 ，圆 绕它所在平面上与它不相交的直线 旋
，试求旋转所成的环体体积．
上，则
转，设点 到 的距离为
解 取一个底面半径为 高为 的圆柱和环体都平放在平面
环体和圆柱都夹在两个平行平面之间．
用平行平面
过圆 的圆心
的任意平面去截环体和圆柱，截面分别为圆环面和矩形面．设
及圆柱中心线且与 平面平行的平面 ，如果截平面与平面
，内径为
，长为

．
，
，
的距离为 ，则截环体的得圆环面的外径为
；截圆柱所得矩形的宽为
所以 圆环面积
矩形面积

所以 ．
依祖暅原理，即
．