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关于圆周率的计算

祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定 了相当精确的圆周
率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。这个数
值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏，用它计
算会造成很大的误差。 随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越 不能满足精确
计算的要求。因此，中外数学家都开始探索圆 周率的算法和推求比较精确的圆周
率值。在中国，据公元一世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王 莽铜斛，
是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是3.1547 。二世纪初，
东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝≈3.1466，又在球体积计算中取用
π≈3.1622。三 国时东吴天文学家王蕃在浑仪论说中取用π≈3.1556。以上这
些圆周率近似值，比起古率“周三径 一”，精确度有所提高，其中π＝ 10还是
世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果，并没有可靠的理论依据。
在这方面 最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽，他在《九章算术
注》中创立了“割圆术”，为计算圆周 率建立起相当严密的理论和完善的算法。
他所得到的圆周率值π＝3.14 与π＝＝3.1416，都 很精确，在当时世界上是很
先进的，至今仍在经常使用。继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确 的
程度。据《隋书·律历志》记 载，祖冲之确定了π的不足近似值 3.1415926 和
过剩近似值 3.1415927，π的真值在这两个近似值之间，即3.1415926＜π＜
3.1415927 精确到小数 7 位。这是当时世界上最先进的 数学成果，直到约一千
年后，才为 15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—? kash1）和16世纪法国数学
家韦达（èta，1540—1603）所超过。
关于他得 到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。通
过现代计算验证，如果按照割圆术计算 ，要得到小数 7 位准确的圆周率值，必 须
求出圆内接正12288 边形的边长和 24576边 形的面积，这样，就要对9位数进
行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的 误差范围。
对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯
熟的 理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出
成就。祖冲之的这项记录在中 国也保持了一千多年。
中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率π＝227≈3.14 ，密率π＝
355113 ≈3 .1415929。这两个数值都是π的渐近分数。刘宋天文学家何承天及
古希腊阿基米德等都已用到过 。密率355113 是π的分母小于10000的最佳近
似分数，则为祖冲之首创。关于密率3551 13是如何得到的，今人有“调日法”
术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚 无定论。在欧
洲，π＝ 355113 是16世纪由德国数学家奥托（，1550（？）—1605）
和荷兰工程师安托尼兹（isz，1527—1607）分别得到，后通称“安托
尼兹率”，但 这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文
化逐渐得到世界公认以来，一些学者就 建议把π＝ 355 称为“祖率”，以纪念
祖冲之的杰出贡献。
关于球的体积公式及其证明
：
祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何 体
的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地 解决了

棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等各种几何体的体积计算问题。但球体积
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的计算比 较复杂，《九章算术》中的球体积公式相当于V＝
D
3
（D 为球的直径），
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是一个误差很大的近似公式。东汉科学家张衡曾经研究了这个问题，他试图通过
先求出球与 外切正方体的体积之比然后再来计算球的体积，但没有得到正确的结
果。魏晋时的刘徽则将球体积问题的 研究推进了一大步。他指出，《九章算术》
少广章所说球与其外切圆柱的体积之比为π∶4，这一结论是 错误的，并且说明
球与外切于球的“牟合方盖”的体积之比才 是π∶4（两个底半径相同的圆柱
垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”， 好像两把扣在一起且上下对称的正
方形的伞）。因此，只要求出牟合方盖体 积，就可推算出球体积。然 而，刘徽始
终未能求出牟合方盖体积，所以也未能解决球体积问题。他在《九章算术》少广
章开 立圆术的注释中说，“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，
实事求是的提出问题，留待后 人去解决，表现了一位杰出科学家的虚心和慎重的
科学态度。以后又经过近200年，祖冲之及其子祖暅 才对于这一问题取得了突破。
祖冲之父子通过对牟合方盖水平截面面积的分析，判定它的体积等 于正方体
2
与两个正方锥的体积之差，从而推算出牟合方盖的体积等于
D
3
（D为球的直
3

径长度），并进一步得到正确的球体积公式V＝
D
3
，完全解决了球体积的计算
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问题。由于当时用圆周率 227 ，所以他们的球体积公式为V＝
D
3
。祖氏父
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子在推导 球体积公式过程中，还明确地提出了一个重要原理：“幂势不同，则积
不容异”①，即二立体如果在等高 处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等。
这个原理现常被称为“祖氏公理”。 在西方，这个原理也是一千年后才由 17 世
纪意大利数学家卡瓦列里（eri，1598—1647 ）提出来的，并被称为
“卡瓦列里公理”。这个原理很重要，它是后来创立微积分学的不可缺少的一步。
《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率之后说他，“又设开差幂，开差立，
兼以正负参之， 指要精密，算氏之最者也”①。据考证，这可能是指开带从平方
和开带从立方法，即解一般形式的二次方 程和三次方程，其中各项系数可正可负，
在当时中国乃至世界上，要解决这类问题都是比较困难的。但因 祖冲之的解法早
已失传，现已无法了解其具体内容。祖冲之及其子祖暅的数学成就总结在《缀术》
一书中。唐显庆元年（656）国子监添设算学馆，规定《缀术》为必读的“十部
算经”之一，学习期 限为四年，是数学书中学习时间最长的一种。《缀术》还曾
传入朝鲜和日本，被选作数学教育的教材。可 惜的是祖冲之的这部数学专著早已
失传，其具体内容已无法详知了。
对天文历法的研究

祖冲之对天文历法的研究早在青少年时代就已经开始了。经过多年 的实际观
测和反复推算，他发现当时行用的何承天《元嘉历》已经与实际天象不合。例如
按《元 嘉历》算出的冬至时太阳所在位置与实测结果已差 3 度，冬至和夏至时
刻已差 1 天，五星出没时 间差40天，等等。这种情况显然是必须加以改变的。
因此，他着手编制了一部新的历法，即后世所称的 《大明历》。 祖冲之在天文历
法方面的成就，大都包含在《大明历》和为《大明历》所写 的“驳议”之中。
按祖冲之的自述，《大明历》“改易之意有二，设法之情 有三”。所谓“改易”是指在历法计算中引进岁差和对闰周的改革，这是中国历法史上的重大进步，对

后世 产生了深远的影响。所谓“设法”是指推算上元积年时增加了一些条件，如
甲子年，十一月初一为甲子日 ，日月合璧， 五星联珠等，这在数学上对于同余
式解法的研究有所推动，但对于历法的发展并没有太大的意义。
祖冲之《大明历》的重要贡献是在历法计算中首先考虑了岁差的影响。冬至
时刻太阳在黄道 上的位置叫做冬至点。中国古代的天文学家最初认为，太阳在黄
道上运行，从冬至点开始经过一个回归年 又回到原来的冬至点，也就是说，冬至
点是固定不变的。实际上，冬至点在恒星间的位置并不是固定不变 的，它在星空
中有极缓慢的移动，每年的移动值就叫做岁差。早在战国时期，中国天文学家把
冬 至点确定在牵牛初度，如当时行用的一种历法《颛 顼历》，其冬至点距牛宿距
星的赤道宿度不到 1 度。西汉末年刘歆发现当时的冬至点已经不在牵牛初度，
而是在牛宿以西靠近斗宿的建六星附近。东汉天 文学家贾逵、编、李梵、刘洪
等，通过实际观测和推算，进一步肯定了冬至点位置的变化，并指出当时的 冬至
点既不在牵牛初度，也不在建星附近，而是在斗21度。但他们并没有深究其中
的规律，也 没有认识到这一变化对于历法计算的影响。魏晋以后，天文观测日趋
精密，对岁差现象的探讨也有所前进 ，其中最突出的就是东晋天文学家虞喜。虞
喜认识到经过一个回归年之 后，太阳并未在天上走一周天而 回到原处，而是“每
岁渐差”，明确指出了岁差现象，并提出“天自为天，岁自为岁”的新观点。他还给出了50年差 1度的岁差值。其后何承天又给出了100年差 1度的岁差值。
但虞喜和何承 天还都没有在历法中考虑到岁差。祖冲之不仅肯定了岁差现象的存
在，指出“冬至所在，岁岁微差”，而 且最早把岁差作为一个重要因素应用到历
法计算中去，这对于提高所编制的历法的精度，是有重要作用的 ，并为后世历家
所遵循。据《隋书·律历志》记载，祖冲之经实测确定当时冬至点已移到斗 15 度，
经与后秦姜岌的观测值比较，发现不到百年冬至点已移动了 2 度，因而定岁差
为 45年11月差1度，并用于历法计算。根据现代观测，冬至点大约每年沿黄
道西移 50.2 秒，换算成赤经则为大约 78 年西移 1°，由此可知，虞喜、何承
天与祖冲之的岁差值与实际值相 比，还有较大的误差。尽管如此，岁差现象的发
现，将太阳在黄道上运行一周的恒星年与反映四季变化周 期的回归年这两个概念
区别开来，并将岁差应用到编制历法中去，仍是中国历法 史上具有划时代意义
的重大进步。
祖冲之《大明历》中另一项重要贡献是关于闰周的改革。中国古代天文学家
长期采用 19 年 7 闰的闰法，用以调整回归年与朔望月的关系。北凉天文 学家
赵■首先提出 600 年间置入 221 个闰月的新闰周。但直到南朝何承天编 制《元
嘉历》时，仍未能接受改革闺周的新思想。祖冲之认为 19 年 7 闰确实 不够精
密，因而在他所编制的《大明历》中大胆地采用了改革闰周的思想， 提出 391 年
置入 144 个闰月的新闺周，突破了已经沿袭千年的闰法。祖冲之的这一数据，< br>在相当长的时间内都是诸家历法中最好的结果。除引进岁差和 采用新闰周外，
祖冲之在《大明历 》中还提出了交点月的概念并给出了交点月的数值。交点月的
发现对于推算日食和月食发生的时间和位置 等都有很重要的作用。根据《大明历》
的数据推算，其交点月长度为 27.21223 日，与今测值 27.21222 日仅差十万分
之一日。祖冲之还改进了前代关于木星公转周期的数值，得出木星（当 时叫岁星）
每84年超辰一次的结论，这相当于求出木星公转周期为 11.858 年，与今测值
相同。他所采用的其他天文数据也都是相当精确的，如近点月为 27.554688 日，
与今测值相差不到十万分之十四日；回归年长度为365.2428 日，与今测值只差
万 分之六日；五大行星会合周期的数值也很精确，其中误差最大的火星也没有超

过百分之一 日，误差最小的水星已经接近与今测值相合。此外，他还发明了用圭
表测量冬至前后若干天的 正午太阳影长以定冬至时刻的方法，这个方法也为后
世长期采用。
《大明历》中有很多创 造性的贡献，是当时最优秀的一部历法。祖冲之于宋
孝武帝大明六年（462）上书刘宋政府，请求对新 历进行讨论，予以颁行。但因
遭到皇帝宠臣戴法兴的反对，参与讨论的人又畏惧戴法兴的权势，多所附合 ，所
以尽管祖冲之写了一篇有理有据的辩驳文章，事情仍然拖了下来。等到大明八年，
孝武帝打 算于次年改元颁用新历时，却因孝武帝的去世而作罢。南齐武帝时，文
惠太子萧长懋见到祖冲之《大明历 》，曾建议齐武帝施行，后又因文惠太子的去
世而被搁置起来。直到祖冲之去世后，他的儿子祖暅又于天 监三年、天监八年和
九年三次上书，请求梁朝政府颁行。经过实际 观测检验，证实新历为密，这部当时最好的历法才在梁天监九年（510）正式颁用，实现了祖冲之的遗愿，但这
已是祖冲之死后1 0年，《上大明历表》以后半个世纪的事情了。
在祖冲之上书请求颁行《大明历》后，太子旅 贲中郎将戴法兴曾对祖冲之和
《大明历》进行了激烈的攻击。思想保守的戴法兴认为，历法中的传统方法 是“古
人制章”，“万世不易”①的，他责骂祖冲之引进岁差，改革闰周等都违背了儒
家经典， 是“削闰坏章”，“诬天背经”，宣扬天文历法“非凡夫所测”，“非
冲之浅虑，妄可穿凿”。祖冲之则 针锋相对地写出了一篇辩驳的奏章（现称“驳
议”，亦有些学者称之为“驳戴法兴奏章”）。在“驳议” 中，祖冲之用观测事
实证明，由于岁差，当时所见的天象确实已和儒家经典中所反映的春秋以前的情况不同，而回归年的长度也的确比《四分历》 要小。这类天文事实“非出神怪”，
都是“有形可验 、有数可推”的，只要进行精密的观测和研究，完全可以掌握日
月五星的运行规律。“艺之兴因代 而推 移”，前代天文学家能够有所发现，有
所前进，符合实际情况，得到人们的赞同。那么完全可以在前人的 基础上“累功
而求密”，因此，不应该“虚 推古人”，“信古而疑今”，假如“古法虽疏，
永 当循用”，那还成什么道理！他在“驳议”中还写下了两句名言：“愿闻显据，
以核理实”，“浮辞虚贬 ，窃非所惧”。为了明辨是非，他愿意彼此拿出明显的
证据来相互讨论， 至于那些捕风捉影毫无根据的 贬斥，他丝毫也不惧怕。“驳
议”是科学史上的名篇。这篇理直气壮，语句铿锵和才华横溢的论文，充分 显示
了祖冲之的实践精神，批判精神，创造精神以及实事求是和敢于坚持真理的可贵
品质，这也 是古往今来一切杰出科学家所共有的科学精神。当然，事物都是一分
为二的。戴法兴虽然是骄纵专断的权 臣，但他也是颇知古今的好学之士，因此 他
的看法也有一些可取之处。祖冲之是一位杰出的天文学家，但他也有缺点。（① 此
段引文均 见《宋书·律历志下》）。例如关于上元积年问题，杨伟《景初历》和何
承天《元嘉历》都有比较简单 的处理方法，可是祖冲之却把诸如近点月、交点
月以及五星运动周期等都列入了他的上元积年的考虑因素 之内，以至把过去已经
很复杂的上元积年计算搞得更复杂，所得数据也格外庞大。戴法兴的批评中就提< br>到了这一点，并且指出要“省功于实用，不虚推以为烦也”，这种看法无疑是很
正确的。
对多种机械的研究

祖冲之是一位博学多才的科学家，对于各种机械也有研究。他曾经 设计制造
过水碓磨（利用水力加工粮食的工具），铜制机件传动的指南车，一天能走百里
的“千 里船”以及类似于木牛流马的陆上运输工具。他还设计制造过漏壶（计时
器）和巧妙的欹器。此外，祖冲 之也精通音律，还写过小说《述异记》10 卷。

祖冲之著述很多，《隋书·经籍志》记载有《长水校尉祖冲之集》51 卷，散见于
各种史籍记载的有：《缀术》，《九章算术注》，《大明 历》，《驳议》，《安边论》，
《述异记》，《易老庄义》，《论语孝经释》 等。但其中绝大部分著作都已失传，
现在仅能见到《上大明历表》、《大明 历》、《驳议》、《开立圆术》等有限的几篇，
《太平御览》中还收有《述 异记》的片断。为了纪念和表彰祖冲之在科学上的
卓越贡献，人们建议把密率 355113 称为“祖率”，紫金山天文台已把该台发
现的一颗小行星命名为 “祖冲之星”，莫斯科大学里刻有世界 著名科学家的雕
像，其中就有祖冲之的雕像，中国历史博物馆等许多博物馆都有祖冲之的雕像或
画像，在月球背面也已有了以祖冲之名字命名的环形山。
祖冲之之子祖暅，字景烁，也是南北 朝时期的著名数学家和天文学家，曾任
梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等官职 。在战乱频繁
的年代里，祖暅的生活很不安定也不顺利，甚至坐过监狱，当过俘 虏，但他始
终没有放弃数学和天文学的研究工作。祖暅是祖冲之科学事业的 继承者。在数
学方 面，他与父亲共同解决了球体积的计算问题，并提出了“幂势既同，则积不
容异”的原理，现在称为“祖 氏公理”或“祖暅公理”。数学名著《缀术》很可
能是这父子两人共同劳动的成果。在天文历法方面，他 三次上书梁朝政府建议改
用《大明历》，终于被采纳颁行。他还曾亲自监造八尺铜表，测量日影长度，并
发现北极星与北天极不动处相差 1 度有余，纠正了北极星就是北天极的错误观
点。出于研究天文和准确计时的需要，他还 研究与改进过当时通用的计时器漏
壶，并撰有《漏刻经》1 卷，现已失传。 晚年曾参加阮孝绪编著《七录》的工
作，负责天文、星占、图纬等方面的古 籍。他还著有《天文录》30 卷，也已失
传，仅存若干片断，散见于唐瞿昙悉 达修撰的《开元占经》等书中。祖暅之子
祖皓，少传家业，也精通数学和天 文学。梁朝时曾任江都令， 广陵太守，深受
百姓爱戴。侯景之乱时被俘，惨遭杀害。这个世代相传成绩卓著的科技世家至此
也就无以为继了。