扶老携幼-上海公务车拍卖

补充题：
已知x*=36.43598，问x
1
=36.4 3666,x
2
=36.43647,x
3
=36.43628
各有 几位有效数字？
解：|x
1
x||36.4366636.43598| 0.000680.510
故该值有4位有效数字
同理可求
x
2
,x
3
各有5位有效数字。
1.5 古代数学家祖冲之曾以


2-4

355
113
作为圆周率的近似值，问其有多少位有效数字？
-7
解：|xx||3551133.1415936| 3.203510
0.510
1-7
0.510
-6

故该值有七位有效数字
2.1、试构造收敛的迭代公式求解下列方程
(1) x
cosxsinx
4
(2)x42
x

解：(1)记

(x)
cosxsinx
4
, 取x[0,1],有0

(x)1,
|1 x[0,1] ， |


(x)||
则迭代公式x
取x
0
0.5
k+1
cosxs inx
4


(x)对于任意的x[0,1]均收敛于方程的根
k 0

x0.3392,x0.3188,x0.3392,x0.31 57,x0.3151,x0.3151
123456
x

0.3151
(2)记

(x)log(4-x), 取x[1,2],有1

(x)2,
2
x[1,2] ， |


(x)||
则迭代公式x
取x
0
1.5
k+1
4x
ln2
|1


(x)对于任意的x[1,2]均收敛于方程的根
k0
x1.3219,x1.4 212,x1.3667,x1.3969,x1.3802,x1.3894,x1.38441234567
x

1.38

2.2 方程xx10,在x1.5附近有根，把方程写出三种
不同的形式：
（1） x1
3
32
1
x
2
,对应迭代公式x
k+1< br>1
2
1
x
k
2
；
1
（2 ）x1x,对应迭代公式x
k+1
(1x
k
)
3
；
（3）x
2
2

1
x1
,对应迭代公式x
k+1

1
x
k
1
；
判断以上三 种迭代公式在x
0
1.5的收敛性，选一种收敛公式求出x
0
1.5 附近的根到4位有效数字。
解：记f(x)xx1,f(1.4)f(1.5)0,判 定根在（1.4，1.5）之间
（1）记

（x）=1
1
x
2
32
,取x[1.4,1.55] 1.4<

（x）<1.55

x）|<1 显然|

（
则迭代公式x
k+1


(x)对于任意的x[1.4,1.55]均收敛于方程的根
k0
取x
0
1.45 ， x1.4756,x1.4592,x1.4696,x1 .4030,x1.4672,x1.4665
123456
则x
0
1.466
1
（2）记

（x）=( 1x
k
)
3
,取x[1.4,1.6] 1.4358

（x）1.5269

x）|<0.4575<1 显然|

（
则迭代公式x
（3）记

（x）=
k+1
1
x1


(x)对于任意的x[1. 4,1.6]均收敛于方程的根
k0

x）>1，可知迭代公式在x, 当x[1.4,1.6]，

（
0
1.5 处不会收敛。
2

2.5 用Newton法f(x)x2x4x70在[ 3,4]中的根的近视值（精确到小数点后两位）
解：x
k+1
x
k

f(x
k
)
f

(x
k
)

2x
k
2x
k
7
3x
k
4x
k
4
2
32
32
,
取x
0
3.5 ， x3.64,x3.6320,x3.6320

123
则x3.63


1
2.7 用Newt on迭代法于方程xa0，导出立方根a
3
的迭代公式，并讨论其收敛性。

3

解： x
k+1
x
k


x）=
< br>（
2
3
+
f(x
k
)
f

(x
k
)
2a
3x
1
3

3x
k
a
3x
k
2
3
,记

（x）=
2xa
3x
2
3

x）=,

（
2 a
x
4


a
3
）0,

（< br>
x）0,则迭代过程是平方收敛的； 当a0,

（
1

a
3
）则迭代过程是一阶收敛的。 当a0,

（