洛亚传说-郭兰英简历

怎样数复杂三角形个数
【问题】 由100个完全一样的小三角形组成一个大三角形，问这个
大三角形中一共有多少个三角形？
1层三角形的个数










1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
行数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
合计
正三角形 倒三角形
个数

个数
合计三角
形个数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
55
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
45
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
100
【分析1】 由完全一样的小三角形拼成一个大
三角形，其拼法如上
图所示，形成一个层又叠的大三角形， 每层小三角形的个数如上图右
表，对应的层数的三角形个数为层数的两倍-1，用n表示层数，第n层三角形的个数=2n-1，各层小三角形个数依次组成一个等差数列：
1，3，5，……，2n -1，所有小三角形个数和等于此数列各项的和，
利用数列求和公式
S
n
=( a
1
+a
n
)*n2=[1+(2n-1)]*n2=n*n
又：100=10*10，所以100个相同的小三角形能组成一个层数为10
的大三角形。
【分析2】100个相同的小三角形能组成一个层数为10的大三角形，

该三角 形图中所包含的三角形分为尖朝上的正三角形和尖朝下的倒
三角形两种情况，其中正三角形又分别为1层 的，2层的，3层的，……，
10层的。倒三角形又分别有倒1层的，倒2层的，倒3层的，倒4
层的，倒5层。
【定义】 尖朝上的正三角形和倒三角形如图：

1层

2层


3层




4层

……
【解法】 明确了100个小三角形能层叠成一个大三角形，也明确了
这个大三角形中包含的三角形分为正三角形和 倒三角形两大类形，也
明确了正三角形中有1层、2层、…、10层等10种，还明白了倒三
角 形有1层、2层、……、5层等5种，下面就分别数大三角形中各
种三角形的个数，列表如下：


16个小三
角形


1个小三
角形


4个小三
角形


9个小三
角形

正
倒
1层 2层 3层 4层 5层 6层 7层 8层 9层 10层
55
45
45
28
73
36
15
51
28
6
34
21
1
22
15
0
15
10
0
10
6
0
6
3
0
3
1
0
1
合计
220
95
315
合计
100

具体数法如下：
1、1层三角形的个数如上图一
2层三角形的个数

2、2层三角形的个数如下图二













1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
行数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
合计
正三角形 倒三角形
个数

个数
合计三角
形个数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
45
0
1
2
3
4
5
6
7


28
0
2
4
6
8
10
12
14
8
9
73

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3层三角形的个数

行数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
合计
正三角形 倒三角形
个数

个数
合计三角
形个数
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
36
0
0
1
2
3
4
5



15
0
0
2
4
6
8
10
6
7
8
51
4层三角形的个数

行数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
合计
正三角形 倒三角形
个数

个数
合计三角
形个数
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
28
0
0
0
0
0

2
4
6
4
5
6
7
34
1
2
3




6

【归纳】
1、数三角形为两种，正三个形和倒三角形。
2、正三角形的种类有10种（10为大三角形的层数），倒三角形有5
种（层数的一半）
3、每种三角形的个数规律：
（1）1层正三角形的个数S
1
正
=1+2+3+…+10
1层倒三角形的个数 S
1
倒
=1+2+3+…+9
（2）2层正三角形的个数S
2
正
=1+2+3+…+9
2层倒三角形的个数 S
2
倒
=1+2+3+…+7
（3）3层正三角形的个数S
2
正
=1+2+3+…+8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5层三角形的个数

行数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
合计
正三角形 倒三角形
个数

个数
合计三角
形个数




1
2
3
4
5
6
21








2
2
3
4
5
6
22
1





1

3层倒三角形的个数 S
2
倒
=1+2+3+4+5
（4）4层正三角形的个数S
4
正
=1+2+3+…+7
4层倒三角形的个数 S
4
倒
=1+2+3
……
【问题】
1、 各层正三角形的个数都是一个首项为1，公差为1的
等差数列的和， 关键是这个等差数列的项数如何确定？以上算法
中不难看出，项数=大三角形的层数减去小三角形的层数 +1
2、 各层倒三角形的个数也是一个首项为1，公差为1的
等差数列的和，而这个等差数 列的项数如何确定？以上计算中的
项数分别是9、7、5、3、1，其规律是项数=大三角形的层数-（ 小
三角形的层数*2-1）（为什么？）
【提高】
若干个三角形层叠组成的n（n 为正整数）层大三角形，包含
的三角形个数如何求呢？需要的小三角形个数为n
2
，数
1层三角形的个数：
S
1
正
=1+2+3+…+n=n×(n+1)2
S
1
倒
=1+2+3+…+（n-1）=（n-1）×(n-1+1)2
……
k层三角形的个数，（k为正整数）
S
k
正
=13+…+（n-k+1）=[1+(n-k+1)]* (n-k+1) 2 （n-k+1＞0）
S
k
倒
=1+2+3+…+（n-2k+1)= [1+(n-2k+1)]* (n-2k+1) 2 （n-2k+1＞0）

正三角形总数S
正
= S
1
正
+ S
2
正
S
3
正
+…+ S
k
正
（k≤n）
倒三角形总数S
倒
= S
1
倒
+ S
2
倒
+ S
3
倒
+…+ S
k
倒
（k≤（n+1）2）
三角形的总数S=S
正
+S
倒