2020年中考数学冲刺专题卷专题08 规律探索型问题(解析版)工字型钢

扫福-火车事件

2020年中考数学冲刺专题卷08 规律探索型问题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的）
012345
1
．（
2019·
湖南中考真题）观察下列等式：71,77,749,7343,72401,716807,L,

根据其中的规律可得
7
0
7
1
7
2
L7
2019
的结果的个位数字是（

）

A
．
0
【答案】
A
【解析】

∵
71,77,749,7343,72401,716807,L,

∴个位数
4
个数一循环，

∴

20191

4505
，

∴
179320
，

∴
7
0
7
1
7
2
L7
2019
的结果的个位数字是：
0
．

故选
A
．

2
．（
201 9·
河南中考模拟）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作
“
三角形数 ”
（如
1
，
3
，
6
，
10…
）和
“
正方形数
”
（如
1
，
4
，
9
，
16…
），在小于
200
的数中，设最大的
“
三角形数
”
为
m
，最大的
“
正方形
数
”
为
n
，则
m+n
的值为（）

012345
B
．
1 C
．
7 D
．
8

A
．
33
【答案】
C
【解析】

B
．
301 C
．
386 D
．
571

由图形知第
n
个三角形数为
1+2+3+…+n=
n

n1

，第
n
个正方形数为
n
2
， 
2
当
n=19
时，
n

n1

n

n1

=190
＜
200
，当n=20
时，
=210
＞
200
，

22
所以最大的三角形数
m=190
；

当
n=1 4
时，
n
2
=196
＜
200
，当
n=1 5
时，
n
2
=225
＞
200
，

所以最大的正方形数
n=196
，

则
m+n=386
，

故选
C
．

3
．（
2019·
山东中考真题）已知有理数
a1
，我们把1
1
=-1
，称为
a
的差倒数，如：
2
的差倒数是
12
1a
-1
的差倒数是
11
=
．如果 a
1
2
，
a
2
是
a
1
的差倒数，
a
3
是
a
2
的差倒数，
a
4 是
a
3
的差倒数
……
依此
1(1)2
类推，那么
a
1
a
2
La
100
的值是（）

A
．
-7.5
【答案】
A
【解析】

∵
a
1
2
，

B
．
7.5 C
．
5.5 D
．
-5.5
131
11
a
3
a
4
2

，
1
2
，
3
∴
a
2

，
… …
11
1(2)3
32
1
3
131
∴这个数列以
-2
，，依次循环，且
2
，

3
2
326
∵
100333L1
，

∴
a
1
a
2

L
a
100
 33


故选：
A
．

4
．（
2019·
山东中考真题）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空
白处的是（）

15

1

27.5
，


62


A
．
B
．
C
．
D
．

【答案】
C
【解析】

由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为
10
，

符合此要求的只有：

故选
C
．

5 ．（
2019·
河北中考模拟）将正整数
1
至
2018
按一定规律排列如下表：

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）

A
．
2019
【答案】
D
【解析】

设中间数为
x
，则另外两个数分别为
x
﹣
1
、
x+1
，

∴三个数之和为（
x
﹣
1
）
+x+
（
x+1
）
=3x
，

根据题意得：
3x=2019
或
3x=2018
或
3x=2 016
或
3x=2013
，

解得：
x=673
或
x=672
8+1
，

∵
673=84×
∴
2019
不合题意，舍去；

B
．
2018 C
．
2016 D
．
2013
2
（舍去）或
x=672
或
x=671
，

3

8
，

∵
672=84×
∴
2016
不合题意，舍去；

7+7
，

∵
671=83×
∴三个数之和为
2013
，

故选
D
．

6
．（
2019·
贵州中考真题）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转
90°
得到，第
2019
个图案中箭头的指向是
( )

A
．上方

【答案】
C
【解析】

4
＝
504…3
，

如图所示：每旋转
4
次一周，
2019÷
则第
2019
个图案中箭头的指向与第
3
个图案方向一致，箭头的指向是下方，

故选
C.
7
．（
2019·
湖北中考真题）观察等式：
22
2
2
3
 2
；
22
2
2
3
2
4
2
；
22
2
2
3
2
4
2
5
2
已
知按一定规律排列的一组数：
2
50
、
251
、
2
52
、

、
2
99、
2
100
．若
2
50
a
，用含
a
的式子表示这组数的
和是（

）

A
．
2a
2
2a

【答案】
C
【解析】

2
50
＋
2
51
＋
2
52
＋
…
＋
2
99
＋
2
100 
＝
a
＋
2a
＋
2
2
a
＋
…
＋
2
50
a
＝
a
＋
(2＋
2
2
＋
…
＋
2
50
)a
，

∵
22
2
2
3
2
，

B
．
2a
2
2a2
C
．
2a
2
a
D
．
2a
2
a

B
．右方
C
．下方
D
．左方

22
2
2
3
2
4
2
，

22
2
2
3
2
4
2
5
 2
，

…
，

∴
2
＋2
2
＋
…
＋
2
50
＝
2
51
－
2
，

∴
2
50
＋
2
51
＋
2
52
＋
…
＋
2
99
＋ 2
100

＝
a
＋
(2
＋
2
2
＋
…
＋
2
50
)a
＝
a
＋
(2
51
－
2)a
＝
a
＋
(2 a
－
2)a
＝
2a
2
－
a
，

故选
C.
二、填空题（本大题共
4
个小题，每小题
6分，共
24
分）

9
．（
2019·
甘肃中考真题）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第
2019
个图形中共有
_____
个〇．

【答案】
6058
【解析】

由图可得，

第
1
个图象中〇的个数为：
1314
，

第
2
个图象中〇的个数为：
1327
，

第
3
个图象中〇的个数为：
13310
，

第
4
个图象中〇的个数为：
13413
，

……
∴第
2019
个图形中共有：
1320191605 76058
个〇，

故答案为：
6058
．

1 0
．（
2019·
湖北中考真题）将被
3
整除余数为
1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵

1
47
101316

19222528
3 134374043
LLLL
则第
20
行第
19
个数是_____________________
【答案】
625
【解析】

由图可得，第一行
1
个数，第二行
2
个数，第三行
3
个数，
…
，则前
20
行的数字有：
1 +2+3+…+19+20=210
个数，

∴第
20
行第
20
个数是：
1+3
（
210-1
）
=628
， 
∴第
20
行第
19
个数是：
628-3=625 ，

故答案为：
625
．

11
．（
2019·
山东中考真题）数轴上
O,A
两点的距离为
4
，一动点
P
从点
A
出发，按以下规律跳动：第
1
次
跳动到 AO
的中点
A
1
处，第
2
次从
A
1
点跳动到
A
1
O
的中点
A
2
处，第
3
次从
A
2
点跳动到
A
2
O
的中点A
3
处．按
n
是整数）照这样的规律继续跳动到点
A
4
,A
5
,A
6
,L,A
n
（
n3
，处，那么线段
A
n
A
的长度为
_______
（
n3
，
n
是整数）．

【答案】
4
【解析】

1
2
n2

由于
OA=4
，

11
OA=×4=2
，

22
1
4
处，

同理第二次从
A
1
点跳动到
A
2
处，离原点的（）
2
×
2
114=
n-2
，

同理跳动
n
次后，离原点的长度为（）
n
×
22
1
故线段
A
n
A
的长度为
4-
n-2
（
n≥3
，
n
是整数）．

2
所有第一次跳动到
OA
的中点
A
1
处时，
OA
1
=

故答案为
4-
1
．
 n-2
2
12
．（
2019·
辽宁中考真题）如图，在
VA
1
C
1
O
中，
A
1
C
1 A
1
O2
，
AOC
过点
A
1
作
AC
11
30
，
12
OC
1
， 垂足为点
C
2
，过点
C
2
作
C
2 A
2
PC
1
A
1
交
OA
1
于点
A
2
，得到
VA
2
C
2
C
1
；过点
A
2
作
A
2
C
3
OC 1
，垂足为点
C
3
，
过点
C
3
作 C
3
A
3
PC
1
A
1
交
O A
1
于点
A
3
，得到
VA
3
C
3
C
2
；过点
A
3
作
A
3
C
4
OC
1
，垂足为点
C
4
，过点
C
4
作
C
4
A
4
PC
1
A
1
交
OA
1
于点
A
4
，得到
VA
4
C
4
C
3
；
……
按照上面的作法进行下去，则
V A
n1
C
n1
C
n
的面积为
_____
．（用含正整数
n
的代数式表示）

【答案】
【解析】

3
4
n

由等腰三角形的性质得出
OC
2
C
2
C
1
，由含
3 0°
角直角三角形的性质得出
AC
12

解：
QA
1
C
1
A
1
O2
，
AC
12
OC
1
，

1
OA
1
1
，

2
OC
2
C
2
C
1
，

QAOC
11
30
，

1
ACOA
1
1
，

12
2
22
C
1
C
2
AC2
2
1
23
，

11
AC
12

QC
2 A
2
PC
1
A
1
，

VOA
2
C
2
∽VOAC
11
，


A
2
C
2
OC
2

，

A
1
C
1
OC
1
A
2
C
2

1
AC
11
1
，

2

同理，
A
2
C
3

11
AC
，

12
22
1113
，

S
VA
2
C
2
C
1
C
1
C
2 A
2
C
3
3
2224
同理，
C 2
C
3
A
2
C
2
2
A
2
C
3
2
3

1

，

1
2



2

2

211
A
2
C
2

，

22
1 111
A
3
C
4
A
2
C
3
 
，

2224
A
3
C
3

11 313
S
V
A
3
C
3
C
2
C
2
C
3
A
3
C
4

2 ，

22244
同理，
C
3
C
4
 A
3
C
3
A
3
C
4
22
3
1

1

，






4

2

4

2211
A
3
C
3

，

24
1 1
A
4
C
5
A
3
C
4

，

28
A
4
C
4

11313
S
V
A
4
C
4
C
3
C
3 C
4
A
4
C
5

3
…，

22484
S
V
A
n1
C
n 1
C
n

3
4
n
3
4
n
，

故答案为：．

三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共3 6分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
13
．（
2019·
安徽中考真题）观察以下等式
:
211
=
，

111
211
第
2
个等式
:
=
，

326
211
第
3 个等式
:
=
，

5315
211
第
4
个等式
:
=
，

7428
第
1个等式
:

第
5
个等式
:
211
=
，

9545
……
按照以上规律，解决下列问题：

（
1
）写出第
6
个等式：

；

（
2
）写出你猜想的第
n
个等式：
(
用含
n
的等式表示
)
，并证明
.
【答案】（
1
）
【解析】

解：（
1
）第
6
个等式：
（
2
）
211
211
=
；（
2
），见解析
.
2n1nn(2n1)
11666
211

=
11666
211

=
2n-1nn（2n-1） 112n-1+12
===
左边
.
证明：∵右边
=
nn（2n-1）n（2n-1）2n-1
∴等式成立

14
．（
2019·
江苏中考真题）（阅读理解）

用10cm20cm
的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为
20cm
的图案．已知长度为
10cm
、
20cm
、
30cm
的所有图案如下：

（尝试操作）

(1)
如图，将小方格的边长看作
10cm
，请在方格纸中画出长度为
40cm
的所有图案．

（归纳发现）

(2)
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．

图案的长度

所有不同图案的个数

10cm

1

20cm

30cm

3

40cm

50cm

60cm

2

【答案】
(1)
见解析；
(2)
4
，
5
，
6
.
【解析】

(1)
如图：

根据作图可知
40cm
时，所有图案个数
4
个；

(2)
50cm
时，如图所示，所有图案个数
5
个；

同理，
60cm
时，所有图案个数
6
个，

故答案为
4
，
5
，
6
.
15
．（
2019·
山东中考真题）问题提出：

b
的方格纸（
a× b
的方如图，图①是一张由三个边长为
1
的小正方形组成的
“L”
形纸片，图②是一张
a×
b
个边长为
1
的小正方形，其中
a≥2
，
b≥2
，且
a
，
b
为正格纸指边长分别为
a
，
b
的矩形，被分成
a×
整数）

．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的
结论．

探究一：

2
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

把图①放置在
2×
2
的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有
4
种不同的放置方法．

如图③，对于
2×

探究二：

2
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

把图①放置在
3×
2
的方格纸中，共可以找到
2
个位置不同的
2 ×2
方格，依据探究一的结论可知，把图①放如图④，在
3×
2
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有
2 ×4
＝
8
种

置在
3×
不同的放置方法．

探究三：

2
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

把图①放置在
a ×
2
的方格纸中，共可以找到
______
个位置不同的
2×2
方格，依据探究一的结论可知，把图如图⑤，

在
a ×
2
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有
______
种不同的放置方法．

①放置在
a×

探究四：

3
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

把图①放置在
a ×
3
的方格纸中，共可以找到
______
个位置不同的
2×2
方格，依据探究一的结论可知，把图如图⑥，在
a ×
3
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有
_____
种不同的放置方法．

①放置在
a ×
……
问题解决：

b
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照把图①放置在
a ×
前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：

b
，
c
（
a≥2
，

如图，图⑦是一个由
4
个棱长为
1
的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为
a
，
b≥2
，
c≥2
，且
a
，
b
，
c
是正整数）的长方体，被分成了
a×b×c
个棱长为
1
的小立方体．在图⑧的不同
位置共可以找到
______
个图⑦这样的几何体．

【答案】探究三：
a1
，

4a4
；探究四：
2(a-1)
，

8a8
；问题解决：共有
4(a1)(b1)
种不同
的放置方法；问题拓展：
8 (a-1)(b-1)(c-1).
【解析】

探究三：

2
的方格纸中，共可以找到（
a-1
）个位置不同的
2×2
方格，

根据探究二，
a×
2
方格中有
4 种放置方法，所以在
a×2
的方格纸中，共可以找到（
a-1
）
×4=
根据探究一结论可知，每个
2×
（
4a-4
）种不同的放置方法；

故答案为
a-1
，
4a-4
；

探究四：

与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a
，有（
a-1
）条边长为
2
的线段，

同理，边长为
3
，则有
3-1=2
条边长为
2
的线段，

3
的方格中，可以找到
2
（
a-1
）
=
（
2a-2
）个位置不同的
2×2
方格，

所以在
a ×
3
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（
2a-2
）×4=
（
8a-8
）种不同根据探究一，在在
a×
的放置方法．

故答案为
2a-2
，
8a-8
；

问题解决：

b
的方格纸中，共可以找到（
a-1
）
2
方格，

在
a×
（
b-1
）个位置不同的
2×
b
的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有
4
（
a-1
）依照探究一的结论可知，把图①放置在
a×
（
b-1
）种不同的放置方法；

问题拓展：

发现图⑦示是棱长为
2
的正方体中的一部分，利用前面的思路，

这个长方体的长宽高分别为
a
、
b
、
c
，则分别可以找到（ a-1
）、（
b-1
）、（
c-1
）条边长为
2的线段，

b×c
的长方体共可以找到（
a-1
）
2× 2
的正方体，

所以在
a×
（
b-1
）（
c-1
）位置不同的
2×
2×2
的正方体有
8
种放置方法，

再根据探究一类比发现，每个
2×
b×c
的长方体中共可以找到 8
（
a-1
）所以在
a×
（
b-1
）（c-1
）个图⑦这样的几何体；

故答案为
8
（
a-1
）（
b-1
）（
c-1
）．

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