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北师大版小学数学五年级（下册）知识点
分数的加法和减法 知识要点
一、分数的意义
1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
二、分数与除法的关系，真分数和假分数
1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。 2、真分数和假分数：
① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。
② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 ③ 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。
2、假分数与带分数的互化：
① 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。
② 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。
三、分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 2、分数的大小比较：
③ 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； ② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。
③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。（依据分数的基本性质进行变化）
四、约分（最简分数）
1、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 （并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫
约分；但一般要约到最简分数为止）
注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。 五、分数和小数的互化： 1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„，能约分的必 须约成最简分数；
2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留三位小数。）
3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。
六、分数的加法和减法 1、真分数加减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减） （2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减） （3） 分数加减混
合运算：同整数。 （4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
3、（1）同分母分数加、减法
①同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。 ②计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（2）异分母分数加、减法
①分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。 ②异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。 （3）分数加减混合运算

①分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在 一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
②整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
《长方体（一）》
一、长方体的认识
知识点：1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。
(1)
(2)
(3)
表面平平的部分称为面；两面相交便形成了一条棱；而三条棱又交于一点，这个点叫作顶点。
左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底面），前面的面叫前面，后面的面 叫后面。
长方体有12条棱，这12条棱中有4条长、4条宽和4条高。正方体的12条棱的长度都相 等，叫棱长。
2、长方体、正方体各自的特点
长方体有6个面，每个面都 是长方形，相对的两个面完全相同；有8个顶点；有12条棱，12条棱分成3组，每组4条棱一样长。
同一个顶点的3条棱分别代表长方体的长、宽、高。当长方体有一组相对的面是正方形时，它的另外4个面是完全 相同的长方形，此时它
有8条棱一样长。
正方体是特殊的长方体。长、宽、高相等的长方体就是正方体。正方体有6面，
是完全一样的正方形；8个顶点；12条棱一样长。（面面相等、棱棱相等）
2、长方体、正方体各自的特点。
顶点
个数 个数
面
形 状 大小关系 条数
棱
长度关系


8


6
都是长方形，特殊
的有两个相对的面
是正方形，其余四
个面是完全一样的
长方形。
相对的面是完
全一样的长方
形。


12
可以分为三组，相
对的棱平行且相
等。

8

6
都是正方形。 每个面是正方
形。

12
长度都相等。
3、正方体是特殊的长方体，又叫立方体。
4、能计算长方体、正方体的棱长总和;知道棱长总和，会求长、宽、高。
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，或者：
长方体的棱长总和= 长×4+宽×4+高×4
L=(a+b+h) ×4 或者：L=a ×4+b×4+c×4.
长方体的长=棱长总和÷4－（宽+高）

a=L÷4－（b+h）
长方体的宽=棱长总和÷4－（长+高）
b=L÷4－（a+h）
长方体的高=棱长总和÷4－（长+宽）
h=L÷4－（a+b）
正方体的棱长总和=棱长×12
L=12a
正方体的棱长=棱长总和÷12
a=L÷12
二、展开与折叠
知识点：1、认识并了解长方体和正方体的平面展开图。
2、了解正方体平面展开图的几种形式，并以此来判断。
一、正方体表面展开图的三种情况
1、正方体展开后有四个面在同一层
正方体因为有两个面必须作为底面，所以平面展开图中， 最多有四个面展开后处在同一层，作为底的两个面只能处在四个面这一层的
两侧，利用排列组合知识可得 如下六种情况：

2、正方体展开后有三个面在同一层
有三个面在同一层，剩下的三个面分别在两侧，有如下三种情形：

3、二面三行，象楼梯；三面二行，两台阶


三、长方体的表面积
1、理解表面积的意义:长方体的表面积是指六个面的面积之和。
2、长方体和正方体表面积的计算方法。
上面=下面=长×宽
前面=后面=长×高
左面=右面=宽×高
长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2
S=(ab+ah+bh) ×2
3.正方体的表面积=棱长×棱长×6
S=6a²
4.把一个正方体截成两个长方体，两个长方体的表面积之和比原来的正方体的表面 积增大了，增大了原来正方体的两个面的面积。把两个
正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来两 个正方体的表面积之和减少了，减少了原来正方体的两个面的面积。
四、露在外面的面
1、在观察中，通过不同的观察策略进行观察。
如:一种是看每个纸箱露在 外面的面，再加到一起；另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度
都能看到多 少个面，再加到一起。

2、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。
分数乘法（一）
知识点：1、理解分数乘整数的意义：数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运 算。
2、分数乘整数的计算方法：分母不变，分子和整数相乘的积作分子。能约分的要约成最简分数。
3、计算时，应该先约分再计算。 分数乘法（二）
知识点 ：1、整数乘分数的意义：求一个数的几分之几是多少。 2、理解打折的含义。例如：九折，是指现价是原价的十分之
九。 补充知识点：打几几折就是指现价是原价的百分之几，例如八五折，是指现价是原价的百分之八十五。 分数乘法（三）
知识点：1、分数乘分数的计算方法：分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分的 可以先约分。（计算结果要求是最简分数。）
2、比较分数相乘的积与每一个乘数 的大小：真分数相乘积小于任何一个乘数；真分数与假分数相乘积大于真分数小于
假分数。
《分数除法》
一、倒数
1、发现倒数的特征并理解倒数的意义。
乘积是1的两个数，叫互为倒数。那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。倒数是对两个数来说的，并不是孤立 存在的。
2、求倒数的方法。
（1） 真分数和假分数的倒数：把这个数的分子和分母调换位置。
（2） 大于1的整数的倒数：就是这个整数分之一。
（3）1的倒数仍是1；
（4）0没有倒数。 是因为0乘以任何数都不等于1。在分数中，0不能做分母。
（5）找 小数的倒数要把小数化成分数，在找它的倒数。也可以用1除以这个小数，得出这个小数的倒数。
（6）找带分数的倒数，先把带分数化成假分数，在找它的倒数。
二、分数除法（一）
1、分数除以整数的意义
分数除以整数，就是把这个分数平均分成几份，求每一份是多少。
2计算方法。
分数除以整数（0除外）等于乘这个整数的倒数。
bb1b
÷m = × =
aamam
分数除法（二）
1、一个数除以分数的意义和基本算理。
一个数除以分数的意义：
bb
一个数m包含几个 ,用除法：m÷
aa
2、掌握一个数除以分数的计算方法:
除以一个分数，等于乘以这个分数的倒数。
总结：除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数。
3、比较商与被除数的大小。
除数小于1，商大于被除数；
除数等于1。商等于被除数；
除数大于1，商小于被除数。
分数除法（三）

1、已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。
b
一个数的 是m,求这个数。
a
b
（1）列算式：m÷
a
（2）利用方程解决：
b
先找等量关系式：一个数× =m
a
解：设这个数为x
b
×x= m
a
b
x = m÷
a
知识点：1、列方程“求一个数的几分之几是多少”的方法：
（1）、解方程法：设未知数，这里的 单位“1”未知，所以设单位“1”为x，再根据分数乘法的意义列出等量关系式解这个方程。
（2）、算术方法：用部分量除以它所占整体的几分之几（对应量÷对应分率=标准量）
判断单位“1”
①一般来说，某个数的几分之几，“某个数”就是单位“1”
②数比谁多几分之几或少几分之几，“比”字后面的数量就是单位“1” ③谁是谁的几分之几，“是”字后面的数量就是单位“1”
3、理解打折的含义：“打折”指的是现价是原价的十分之几或百分之几十，把原价看成单位“1” 如：打8折就是指现价是原价
的十分之八 打八五折就是指现价是原价的百分之八十五程知识点归纳总结
1、 小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如1：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如2：
1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。
2、 在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质）
3、 在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质）
4. 乘法分配律： a×(b ± c) = a×b ± a×c
5、在含有字 母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘 号不
能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。）
6、a×a可以写作a·a或a² ，a²读作a的平方或a的二次方。 2a表示a+a 7、方程：含有未知数的等式称为方程。（所有
的方程都是等式，但等式不一定都是等式。）
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
（方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、解方程原理：天平平衡。
等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 9、加、减、乘、除运算数量关系式：
加法：和=加数+加数 一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数 被减数=差+减数 减数=被减数
乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数
除法：商=被除数÷除数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商
解方程的方法：
方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。
常用数量关系式：
路程＝(速度)×(时间) 速度＝(路程)÷(时间) 时间＝(路程)÷(速度)
总价＝(单价)×(数量) 单价＝(总价)÷(数量) 数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量) 单产量＝
(总产量)÷(数量) 数量＝(总产量)÷(单价 )
大数－小数=相差数 大数－相差数=小数 小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量 几倍量÷倍数
＝一倍量 几倍量÷一倍量＝倍数

分数应用题的解题方法：（分率就是几分之几）
题型1：商店卖出的苹果6千克，卖出的苹果比橘子多二分之一
，求卖出橘子多少千克？ 【解题思路】
第一步：找单位“1”
该题中：单位“1”是“比”字后面的东西——橘子数量。
第二步：判断单位“1”已知还是未知？已知用乘，未知用除。
如果单位“1”已知，就用乘法解，用单位“1”的量乘以谁的分率就算谁的具体量。
如果 单位“1”未知，说明题目是求单位“1”的量。要用除法或者列X方程计算单位“1”的量，用已知量除以它对 应的分率。
该题中：单位“1”橘子数量未知，是题目要求出的数量，用除法，把已知量苹果作为被除数。
第三步：某物比单位“1”多几分之几就写：（1＋分数），；
某物比单位“1”少几分之几就写：（1－分数），或说减少了几分之几。
该题中：苹果比橘子多12，也就是苹果是橘子的1
(1)2
，根据前一步所得的被除数是苹果数量6千克
苹果比橘子增加了
苹果比橘子多等同于苹果是橘子的1苹果增加到橘子的1
同学们可以用具体数字带进去理解，例如：苹果为3千克，橘子为2千克。
题型2：商店卖出苹果6千克，卖出橘子4千克，问卖出的苹果是橘子的几分之几？
【解题思路】
第一步：求分率的应用题，我们同样要找单位“1”。
该题问卖出的苹果是橘子的几分之几？单位“1”是橘子。
第二步：单位“1”的量做除数，求谁的分率就用谁的具体量除以单位“1”的量。
该题单位“1”是橘子，因此橘子做除数，苹果做被除数来除以单位“1”，因此
最终得出：3
642
。
题型3：求平均数的应用题，求谁的量就把谁做除数。
例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每天烧多少吨？
求每天，天就作为除数，把5天做除数，即10÷5=2（吨）； 例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每吨烧多少天？
求每吨，吨就做除数，即5÷10=0.5（天）。 注意：得数的单位应该与被除数的单位一致。
工作总量＝(工作效率)×(工作时间) 工作效率＝(工作总量)÷(工作时间) 工作时间＝(工作总量)÷(工作效率)
12、列方程解应用题的一般步骤：
1、弄清题意，找出未知数，并用x表示。（解 设） 2、找出应用题中数量之间的相等关系，列方程。（找关系） 3、解方程。
（列） 4、检验，写出答案。（验
数学与生活
粉刷墙壁
1、 明确我们在粉刷教室墙壁时必须知道的条件。
（1）有哪些面需要粉刷；
（2）每一个面的面积如何计算；

（3）还要去掉门、窗、黑板的面积是多少；
（4）总共需要粉刷的面积是多少；
（5）第一遍粉刷，每平方米需要多少涂料，一共需要多少涂料；
（6）第二遍一共又需要多少涂料；
（7）每千克涂料多少钱，一共需要多少钱。
2、根据实际情况进行计算相应的面积。
折叠：
1、体会立体图形与展开图形之间的关系，发展空间观念。
2、能正确判断平面展开图所对应的简单立体图形。

《长方体（二）》
一、体积与容积
1、体积与容积的概念。
体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。
容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。
注意：①同一个容器，体积大于容积；当容器壁很薄 时，容积近等于体积。如果容器壁忽略不计时，容积等于体积。
②几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变（它们占空间的大小没有发生变化）
2、体积单位。
常用的体积单位：立方米（
米
）、立方分米（
分米
）、立方厘米（
厘米
）
常用的容积单位：升、毫升、1升=1
分米
、1毫升=1
厘米

棱长为1cm的正方体它的体积是1cm³；棱长为1dm的正方体它的体积是1dm³；棱长 为1m的正方体它的体积是1m³.
3、液体的体积单位和容纳液体容器的容积单位：升（L）、毫升（mL）.
1升=1分米³ 1毫升=1厘米³
常用的体积单位：立方米（
米
）、立方 分米（
分米
）、立方厘米（
厘米
）
常用的容积单位：升、毫升、1升=1
分米
、1毫升=1
厘米

4、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义：
①手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用
厘米
作单位
②西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用
分米
作单位
③矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位
④热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可用生升作单位
⑤我们饮用的自来水用“立方米”作单位。
二、长方体的体积
1、 长方体的体积=长×宽×高
V=abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a³
长方体（正方体）的体积=底面积×高
V=Sh
长方体的体积=横截面面积×长
3
3
333
333
33< br>33

2、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。如：
长方体的长=体积÷(宽×高)
长方体的宽=体积÷(长×高)
长方体的高=体积÷(长×宽)
注意：计算体积时，单位一定要统一；表面积与体积表示的意义不一样，单位不同，无法比较大小
三、体积单位的换算
1.体积、容积单位之间的进率。
相邻两个体积单位、容积单位之间的进率是1000。
1m³=1000 dm³ 1 dm³=1000 cm³ 1L=1000 mL
2、单位换算：.高级单位化成低级单位，要乘以进率，低级单位化成高级单位要除以进率。
四、有趣的测量
（1）测量不规则石块的体积
方案一：找一个长方体形状的容器，里面放一定的水，量出长方形容器的底面长、
宽和水面的高度，再把石头沉入水中（水面要完全浸没石块），再一次量出水面的高
度。这时计算一下水面升高了几厘米，用“长×宽×水面上升的高”计算出升高的
体积就是石块的体积。也可以分别计算放入石头前的体积与放入石头之后的总体积
之差。
1、 不规则物体体积的测量方法：一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计算的水的体积
（注意液面是“升高了”还是“升高到”）
方案二：将石头放入盛满水的容器中，并将溢出的 水倒入有刻度的量杯中，然后直接读出的水的体积，就是石头的体积。
（2）测量一粒黄豆的体积
可以用测量石块体积的方法测量出100粒黄豆的体积，再除以100，计算出一粒黄豆的体积。
5、补充知识：
（1）表面积相等的长方体，体积不一定相等；体积相等的长方体，表面积不一定相等。
（2）表面积相等的正方体，体积一定相等；体积相等的正方体，表面积一定相等。
（3）正方体的棱长扩大n倍，棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍。
（4）底面积和高相等的长方体体积一定相等。
（5）将一个长方体截成两个长方体，这两个 长方体与原来一个长方体相比，表面积增大了，而体积不变。

五单元：《分数混合运算》
一、分数混合运算（一）
1、 分数混合运算的运算顺序和整数是一样的，先算乘除，再算加 减，有括号的要先算括号里的。同一级运算要从左到右依次计算。
2、分数乘除法混合运算，可以先把除 法改成乘法，能约分的要先约分，然后再计算。
二、分数混合运算（二）
1、整数的运算律在分数运算中同样适用。
2、我们学过的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
三、分数混合运算（三）
1、利用方程解决与分数运算有关的实际问题。
2、分数中的估算

3、利用线段图来分析题中的数量关系。（单线图、双线图、三线图）
4、对最后结果的检验。
5、在分数应用题中一般有以下一些等量关系式：
nn
（1）甲数是乙数的 ，等量关系式：甲数=乙数×
mm
nn
（2）甲数比乙数多 ，等量关系式：甲数=乙数×（1＋ ）
mm
nn
（3）甲数比乙数少 ，等量关系式：甲数=乙数×（1－ ）
mm
说明：在上面的三个关系式中，乙数是单位“ 1”的量，如果知道乙数，求甲数，就直接用乘法；如果知道甲数，求乙数，就用除法，
或者用方程。
《统计》
扇形统计图：1、认识扇形统计图，了解扇形统计图的特点与作用。
2、能读懂扇形统计图，并能从中获得相应的数学信息。
统计图的选择：1、了解条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点。
条 形统计图便于看出数据的多少；扇形统计图能清楚地看出整体与部分之间的关系；折线统计图能看出数据的变化趋 势。
2、能够根据需要选择最为直观、有效地统计图表示数据。
中位数和众数：1、中位数和众数的意义。
中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数称为这组数据的中位数。
众数： 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。
2、中位数和众数的求法。
将一组数据按大小的顺序排列，如果是奇数个数据，中间的 数就为这组数据的中位数，如果是偶数个数据，中间两个数的
平均数为这组数据的中位数。
众数，就是一组数据中出现次数最多的，有可能是多个众数。
3、能根据具体的问题，选择合适的统计两表示数据的不同特征。
综合运用所学的统计知识，发展学生的统计观念。