王成喜-中东铁路事件

北师大版数学五年级（上册）各单元知识点

第一单元 小数除法
1、除数是整数的小数除法计算法则：
①除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除；
②商的小数点要和被除数的小数点对齐；
③如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”再继续除。
2、除数是小数的小数除法计算法则：
①除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；
②除数的小数点向右移动几位， 被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被
除数末尾用0补足)；
③然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
3、在小数除法中的发现：
①当除数大于1时，商小于被除数。如：3.5÷5=0.7
②当除数小于1时，商大于被除数。如：3.5÷0.5=7
4、小数除法的验算方法：
①商×除数=被除数(通用)
②被除数÷商=除数
③被除数÷除数=商
5、商的近似数：
①计算时，比要求保留的小数位数多除一位 ，再根据“四舍五入”法保留小数位数，
求出商的近似数。例如：要求保留一位小数的，商要除到第二位 小数就可以停下来；要求
保留两位小数的，商除到第三位小数停下来……如此类推。
②在解决实际问题取商的近似数时，要结合实际情况用“去尾”法或者“进一”法。
6、循环小数问题：
①小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。如：0.37、1.4135等。
②小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如：5.3……、7.145145……等。
③一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的
小数叫做循环小数 。(如5.3……、3.12323……、5.7171……)

④一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的循环节。
(如 5.333……的循环节是3，4.6767…的循环节是67，6.9258258…的循环节是258)
7、用简写循环小数的方法：
①只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。
例如：只有一个数字循 环节的，就在这个数字上面记一个小圆点，5.333…写作
5.3
；
有两位小数循环节的，就在这两位数字上面记上小圆点，7.4343…写作
7.43

有三位或以上小数循环的，在首位和末位记上小数点，10.732732…写作
10.732




8、除法中的变化规律：

①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数( 0除外)，商不变。
②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。
③被除数不变，除数缩小，商扩大。
配套练习题：
1、6.4÷0.004的商的最高位是在（ ）位上。
2、在括号里填上适当的数
（ ）×0.8=3.32 0.175÷（ ）=0.25 2.024÷（ ）=20.24÷4
3、20÷3的商可以记作（ ），保留一位小数是（ ），7.59595……保留
三位小数是（ ）。
4、两个数相除的商是5.3，如果除数不变，要使他们的商是53，那么被除数必须
（ ）。
5、一个三位小数四舍五入后是4.38，这个三位小数最小是（ ），最大是
（ ）。
6、4.5时=（ ）分 1时15分=（ ）时
7、在3.14、
3.14
、
3.14
、3.144中，循环小数有（ ）个，最大的数是（ ）。
8、用竖式计算
15.6÷0.25 9.6÷0.75 1.26÷18 0.756÷0.18






9、妈妈带60 00元人民币到银行兑换泰铢，
大约能换多少泰铢？（100泰铢兑换人民币
19.67元）

10、循环小数0.425871425871……小数部分





第1000位上的数字是几，前1000位的和
是多少？
第二单元 轴对称和平移
轴对称：
1. 轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完 全重合，这个图形就是轴对称图形，
那么这条直线就叫做对称轴。两图形重合时互相重合的点叫做对应点 ，也叫对称点。
2.轴对称图形的性质：
对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4.轴对称图形的画法：
（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；
（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；
（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；
（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。
平移：
1. 平移的定义：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平
移。
2.平移的基本性质：
（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法：
（1）确定平移的方向与距离。
（2）将关键点按所需方向平移所需距离。
（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。
设计图案的基本方法：平移、对称、旋转

配套练习题：
1、下列日常生活现象中，不属于平移的是（ ）
A. 飞机在跑道上加速滑行 B.大楼电梯上上下下地迎送来客
C.时钟上的秒钟在不断的转动 D.滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑动
2、判断题：
①线段不是轴对称图形。（ ）
②对称轴是一条线段。（ ）
3、能通过左边的图形平移得到的是哪个？是的打“√”。

3、作图题：画下面图形的对称轴。


第三单元 倍数和因数
知识点：
像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。
像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。
（一）因数与倍数
我 们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数，倍数与因数是相互依存的关系，要说

清 谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
①概念：两个不为0的自然数相乘的积，是这两个自然数的倍数，这两 个自然数是积的因
数。如：4×9=36，那么36就是4或者9的倍数，4或者9就是36的因数。

②在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。
方法一：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。（可以一对一对找）
方法二：用除法
例如 8 ，8÷1=8
8÷2=4
那么8的因数有：1、8、2、4
由此可知：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；
③找一个数的倍数的方法——用乘法
例如 8 ， 8×1=8 8×5=40
8×2=16 8×6=48
8×3=24 8×7=56
8×4=32 ……
那么8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56、……
由此可知：一个数的因数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；

（一）2、5的倍数的特征
2的倍数的特征：个位上是 0 ，2 ，4 ，6 ，8 的数是2的倍数。
5的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数是5的倍数。
既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
（二）偶数和奇数的定义：
是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
（三）3的倍数的特征
3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

补充知识点：
6的倍数的特征：既是2的倍数又是3的倍数的数。
9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

< br>4（或25）的倍数的特征：如果一个整数的末两位数字组成的数是4（或25)的倍数，那么
这 个整数就能是4（或25）的倍数。
（四）理解质数与合数的意义：
①一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
②一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。
【1既不是质数也不是合数】
1、自然数中最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。
2、 1～100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、
59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（五）互质：
公因数只有1的两个非零自然数互质。
两个不同的质数一定互质，如2和3。
1和任意一个自然数（0除外）互质，如1和6。
相邻的两个自然数（0除外）一定互质，如1和2。
相邻的两个奇数一定互质，如1和3。
互质的两个数可以是一个质数、一个合数，如2和15。
互质的两个数，可以都是合数，如4和9。
（六）
数的奇偶性

通过规律发现奇数、偶数相加奇偶性变化：
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数
偶数-偶数=偶数 奇数-奇数=偶数 偶数-奇数=奇数 奇数-偶数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数
（记忆技巧：把偶数看做 0 ，把奇数看做 1 ）


配套练习题：
1、因为60÷（ ）=（ ），所以（ ）和（ )是（ ）的因数，（ ）是（ )
和（ )的倍数。
2、有一个三位数15口，如果它是5的倍数，口里可以填（ ）；如果它是3的倍数，口里
可以填（ ）；如果它同时是2，5的倍数，口里填（ ）。
3、18=（ )×（ )=( )×( )=( )×（ )，所以18的因数有（ ）个，

因数的个数是（ ）的，最大的是（ ），最小的是（ ）。
4、在括号里填入合适的质数：
22=（ ）+（ ）=（ ）-（ ）； 27=（ ）×（ ）×（ ）
5、有一堆棋子，2个2个数多1，3个3个数多1，5个5个数多1。这堆棋子最少有多少个?




6、小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的很数， 他们的年龄总和是48岁，他们中最
小的是多少岁？最大的是多少岁?




第四单元 多边形面积
（一）
比较图形的面积
知识点： < br>确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子的多少
来确定。
（二）底和高
：
1、认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。【高和底的关系是对应的】

①从平行 四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，对
应的这条对边是平行四边 形的底
。
【
平行四边形有无数条高
】
②三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是
三角形的底
。
【
三角形有三个顶点，所以三角形有3条高
】
③从梯形的两条平行线中的一 条上的某一点到对边画垂直线段，这条
垂直线段就是梯形的高，这条对边就是
梯形的底
。

【
梯形有无数条高
】
（三）用三角板画出平行四边形的高的方法
：
把三角板的一条直角边与平行四边形的 一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的
某一点。从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边 画垂线，这条垂线（从点到垂足）就
是平行四边形一条边上的高。
注意：
从一条边上 的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向
它的对边画高。
（四）用三角板画出图形的高的方法：
把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。
从这个 顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三
角形形一条边上的 高。



（五）探索活动
知识点：
两组对边平行且相等的四边形叫作平行四边形。
只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 平行四边形的面积——
【
S
平行四边形
=拼成的长方形的面积】

长方形的长就是平行四边形的底；长方形的宽就是平行四边形的高。
因此：平行四边形面积=底×高
如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边 形的底和高，那么，平行
四边形的面积公式可以写成：
S=ah
补充知识点：
当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的
。

三角形的面积——【 S
三角形
=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2
】

三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。
因此：三角形面积=平行四边形的面积÷2
=底×高÷2
如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形 的面积
公式可以写成：
S=ah÷2

补充知识点：
决定三角形面 积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和
高相同，不同形状的三角形的面 积也是相同的。

梯形的面积——【S
梯形
=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2
】
梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。
因此：梯形面积=平行四边形面积÷2
=底×高÷2
=（上底+下底）×高÷2
如果用S表示梯形的面积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，
那么，梯 形的面积公式可以写成：
S=(a+b)h÷2
补充知识点：
决定梯形面积的大小 的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，只
要上下底的和与高相同，不同形状的梯 形的面积也是相同的。


配套练习题：
1、一个等腰梯形的面积是20平方米，高是4米，下底是3米，上底是（ ）米。
2、一个平行四边形面积60平方厘米，底10厘米，高（ )厘米，与它等底等高的三角形
面积为（ ）平方厘米。
3、将一个长方形的铁丝圈，拉成一个平行四边形，它的面积（ )原来长方形面积。
A.大于 B.小于 C.等于
4、一个直角三角形的三条边分别为3分米、4分米和5分米，它们的面积是（ ）平方分
米。 A、3×4÷2 B、3×5÷2 C、4×5÷2 5、有一个平行四边形相邻的两条边分别为4厘米和6厘米，其中一条高是5厘米，这个平行四

边形的面积是（ ）平方厘米。
6、有一个面积为100平方厘米的正方形，每边都增加5厘米，这个正方形的面积增加了
（ ）平方厘米。
7、求阴影部分的面积



第五单元 分数的意义
（一）分数的再认识
分数对应的“整体”不同，分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样，也就是分数
具有相对性。
（二）分数的意义

把整体“1”平均分成若干份，其中的一份或几份， 可以用分数表示。分母是几，整体
就被分成了几份，分子是几，就表示其中的几份。
11
把整体“1”平均分成若干份，其中的一份，用分数表示，叫作分数单位， 例如：、、
23
11
、、……
45
（三）分饼（分数的分类）
1213
、、、，…这样的分数叫作真分数。特点：分子<分母；分数值<1。
46 34
3359
像、、、，…这样的分数叫作假分数。特点：分子≥分母；分数值≥1。
2344
11
像
2
，
5
这样的分数叫作带分数。特点：由 整数和真分数两部分组成的；分数值大于1。
45
1
带分数的读法：
2读作：二又四分之一。
4
像
★补充知识点：
分子是分母倍数的假分数可以化成整数。
分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。
（四）分数与除法
被除数
a
理解分数与除法的关系：被除数÷除数=（除数不为0），a÷b=（b≠0）
除数
b

分数的分母不能是0。因为在除法中，0不能做除数，因此根据分数与除法的关系，分 数
中的分母相当于除法中的除数，所以分母也不能是0。
运用分数与除法的关系解决实际问题，用分数来表示两数相除的商。
（五）假分数化成带分数——根据分数与除法的关系：
用分子除以分母，把所得的
商
写在带分数的
整数位置
上，
余数做
分数部分的
分子
上，
分母保持不变。
带分数化成假分数的方法：
将
整数×分母+分子
做
分子
，
分母不变
。
（六）分数基本性质
分数的基本性质：
分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律，来理解分数的基本性质。分子相当于被除数，分母相当于除数，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。因此分数的
分子和 分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小也是不变的。
运用分数的基本性质，把一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数。
（七）找最大公因数以及最小公倍数
公因数和最大公因数：几个数公有的因数是这几个数的公 因数，其中最大的一个是它们的
最大公因数。
公倍数和最小公倍数：两个数公有的倍数叫做这 两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做
最小公倍数。
最大公因数的表示方法：（ A，B ）
最小公倍数的表示方法：[ A，B ]

找两个数的公因数和最大公因数的方法：
1、列举法：

①运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数；
②再找出两个数的因数中相同的因数，这些数就是两个数的公因数；
③再看看公因数中最大的是几，这个数就是两个数的最大公因数；
例如
：
找15和50的公因数和最大公因数：
15的因数有：1、15、3、5

50的因数有：1、50、2、25、5、10
公因数：1、5
最大公因数：5
2、筛选法：
先找出两个数中较小的数的因数，再看看这些因数中 有哪些也是较大的数的因数，那么
这些数就是这两个数的公因数，其中最大的就是这两个数的最大公因数 。
例如
：
找15和50的公因数和最大公因数：
可以先找出15的因数： 1、3、5、15，再判断4个数中，哪几个也是50的因数，只有1
和5，那么1和5就是15和50 的公因数，5就是它们的最大公因数。
3、分解质因数法：
用分解质因数的方法，分解15和50的质因数：

15=3×5 50=2×5×5
最大公因数=公有质因数的乘积=5

4、短除法：



5、特殊数字的最大公因数：
①如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的公因数只有1；
②如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数；

③偶数与所有奇数的最大公因数是1；
④如果两个数互质，那么这两个数的最大公因数就是1；

找两个数的公倍数和最小公倍数的方法：（与找最大公因数的办法雷同）
两个数公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。
1、列举法：
①先找出两个数各自的倍数（限制一定的范围内），

②再找出公有的倍数，
③再看看这些公倍数中最小的是几，这个数就是两个数的最小公倍数。

例如
：
找6和9的公倍数和最小公倍数：
6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48……
9的倍数有：9、18、27、36、45……
公倍数：18、36、……
最小公倍数：18
2、筛选法：
先找出两个数中较大的数的倍数（限制一定的范围 内），再看看这些倍数中有哪些也是
较小的数的倍数，那么这些数就是这两个数的公倍数，其中最小的就 是这两个数的最小公倍数。
例如
：找6和9的公倍数和最小公倍数：
（50以内） 可以先找出9的倍数（50以内）有：9，18，27，36，45，再从这些数中找
出6的倍数18， 36，18和36就是6和9的公倍数，18是最小公倍数。
3、分解质因数法：
用分解质因数的方法，分解6和9的质因数：
6=2×3 9=3×3
最小公倍数 = 公有质因数的乘积×独有质因数的乘积
= 3×2×3=18
4、短除法：


5、特殊数字的最小公倍数：
①如果两个数是不同的质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

②如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
③如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
（八）约分

理解约分的含义：
把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过< br>程叫做约分。
1
3
理解最简分数的含义：
像这样分子、分母公因数只 有1了，不能再约分了，这样的
分数是最简分数。

约分的方法一般有两种：
①一种是用两个数的公因数一个一个去除；
②另一种是直接用两个数的最大公因数去除。
补充知识点：
比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分子分母都 不相同可以采
用约分后进行比较的方法。例如：
52
○
612
（九）分数比较大小
①数形结合：


②分母相同，分子大的就大；
③分子相同，分母小的就大；
④
通分
比较大小

理解通分的含义：
把分母不相同的分数化 成和原来分数相等、并且分母相同的分数，
这个过程叫作通分。

★通分的两个要点：
①分数值与原来分数相等；
②分母相同；

通分的方法：
①先求出原分数分母的最小公倍数
②然后根据分数的基本性质

③把分数化成分母是最小公倍数的分数
（通分一般以最小公倍数作分母）

⑤比补数：（与1或者的差值进行比较大小，间接判断数的大小）
81081
例如：和 1-=
91199
101
1-=
1111
1110

﹥（更接近于1）
91111
810
所以：<
911
1
2

配套练习：
5
1、米表示把（ ）平均分成（ ）份，表示有这样（ ）份；也可以表示把（ ）
9
平均分成（ ）份，有这样的（ ）份。
2、把7kg糖平均分给8个小朋友，每个小朋友分到这些糖的（ ），每个小朋友分到（ ）
kg。（用分数表示）
3、（ ）÷（ ）=
2
=
7

14
=
10

=（ ）÷12.6
4、分母是5的最简真分数有（ ）个，它们的和是（ ）。
5、在O里填上“>”“<”或“=”。
91015372831
O O
2
O O
1093593686
7
6、一个分数的分子比分母小8，约分后是，这个分数是（ ）。
9
12426119
7、在、、、、中，是最简分数有（ ）个。
249344428
15
8、判断：大于而小于的分数只有3个。 （ ）
66
9、先通分，在按照从小到大的顺序排列。
453
（1）、和
9114
10、同学们分组参加植树节活动，每8人一组或每14人一组，都没有 剩余，已知该班的人数在
30人至60人之间，该班有学生多少人？





11、
A=2×2×3×5×7 B= 2×2×2×5×11
（A，B）= [A，B]=

第六单元 可能性、鸡兔同笼
1、图形中的规律
在摆n边形的活动中，摆第一个需要n个小木棒，其余的只需n－1个小木棒，找点阵中
的规律 ，要找到点数与点阵序号的关系
2、鸡兔同笼
①运用“假设举例与列表”的方法解题时，其中列举法就是各取总数的一半，或近似一半；
②用假设法解鸡兔同笼问题时，假设算出的腿数与实际腿数的差值除以2就是兔子的个数
3、等可能性和游戏公平性
可能性相同，游戏规则才公平
4、数量和可能性大小的关系
事件发生可能性的大小能反映出物体数量的多少，可能性越大， 对应的物体数量越多；可
能性越小，对应的物体数量越少




数学公式及运算律
一、运算定律：
1、加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。
加法结合律： 三个数相加， 先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数
相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a +b)+c=a+(b+c) 。
乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
乘法结合律： 三个数相乘，先把 前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数
相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a× b)×c=a×(b×c) 。
乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这 个数相乘再把两个
积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
2、减法的性质： < br>从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去所有减数的和，差不变，即
a-b-c=a-( b+c) ；
一个数减去一个数再加上一个数，等于减去这两个数的差a-b+c=a-(b-c) 。
3、除法的运算性质：

a÷(b×c) = a÷b÷c； a÷(b÷c）=a÷b×c ；
（a+b)÷c= a÷c+b÷c； （a-b)÷c= a÷c-b÷c
二、分数四则运算法

1、分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减 ，分母不变；异分母
的分数相加减，先通分，然后再加减；带分数加减，把整数部分和分数部分分别相加 减，再把
所得的数合并起来。

三、平面几何图形的周长和面积

名称
正方形
字母意义
a—边长
特征
四条边都相等，
四个角都是直角
周长C、面积S公式
正方形的周长=边长×4 公式：C=4a
正方形的面积=边长×边长 公式：S=a
长方形的周长=（长+宽）×2
两对边相等，
四个角都是直角
公式：C=（a+b）×2
长方形的面积=长×宽
公式：S=a×b
两组对边分别平
行且相等
有三条边和三个角
平行四边形的面积=底×高
公式：S= a×h
三角形的面积=底×高÷2。
公式：S= a×h÷2
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
公式：S=（a+b）h÷2
2

长方形
a—长
b—宽

a—底
h—高
a—底
h—高
a—上底
b—下底
h—高
平行四边形
三角形


梯形

只有一组对边平行