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北师大版五年级数学下册概念与公式整理版
一、分数乘法、分数除法
1. 分数乘法的意义：求几个相同分数的和的简便运算
2. 分数除法的意义：已知两个乘数的积和其中一个乘数，求另一个乘数的运算。
如：25÷5=? 已知两个乘数（因数）的积是25，其中的一个因数是5，求另一因数是多少？
3. 分数乘法的运算法则：
1）分数与整数相乘：分子和整数相乘，分母不变；
2）分数与分数相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的可以先约分。
4. 分数除法的运算法则：
1）一个数除以一个整数（0除外）等于这个数乘以这个整数的倒数；
2）一个数除以一个分数等于这个数乘以这个分数的倒数；
3）除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数；
4）当除数<1时，商大于被除数；（商就是得数）
5）当除数=1时，商等于被除数；
6）当除数>1时，商小于被除数。
5. 分数除法的意义：如果两个数的乘积是1，那么这 两个数叫做互为倒数，其中一个数叫做
另一个数的倒数。
6. 注意：1的倒数是1，而0没有倒数。
7. 分数乘整数的意义：与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
111
如：×5表示求5个的和是多少，或者表示的5倍是多少。
222
8. 一个数乘分数的意义：就是求这个数的几分之几是多少。
1111
如：4×表示求4的是多少。 3×表示3的是多少。
3333
9. 分数乘、除法的实际问题
1）求一个数的几分之几是多少，用乘法。
2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，也可以用解方程。
10. 原价×折扣=现价；现价÷原价=折扣；现价÷折扣=原价。
11. 找单位“1”的方法：
①总数量是单位“1”；
1
例如：小红看完整本书的，那么单位“1”是整本书的页码。
2
②原价就是单位“1”；
1
例如：笔记本电脑原价是3000元，现在降 价了，那么单位“1”是原价3000元。

2
③分数比率之前的“的”字前面的量是单位“1”；
1
例如：全校男生的人数是女生人数的，那么单位“1”是女生人数。
2
④一个东西比另一个东西多几分之几中“比”后面的东西是单位“1”。
1
例如：商店卖的苹果比橘子多，那么单位“1”是橘子数量。
2
总结：单位“1”在总数、原价、的前面、比后面。

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12. 分数应用题的解题方法：（分率就是几分之几）
 题型1：商店卖出的苹果6千克，卖出的苹果比橘子多
【解题思路】
第一步：找单位“1”
该题中：单位“1”是“比”字后面的东西——橘子数量。
第二步：判断单位“1”已知还是未知？已知用乘，未知用除。
如果单位“1”已知，就用乘法解，用单位“1”的量乘以谁的分率就算谁的具
体量。
如果单位“1”未知，说明题目是求单位“1”的量。要用除法或者列
X
方程计
算单 位“1”的量，用已知量除以它对应的分率。
该题中：单位“1”橘子数量未知，是题目要求出的数量，用除法，把已知量苹果
作为被除数。
第三步：某物比单位“1”多几分之几就写：（1＋分数），；
某物比单位“1”少几分之几就写：（1－分数），或说减少了几分之几。
11
该题 中：苹果比橘子多，也就是苹果是橘子的
(1)
，根据前一步所得的被除
22
1
数是苹果数量6千克，因此最后列式为：
6(1)4
。
2
1

苹果比橘子增加了
2


1

1

注意：
苹果比橘子多等同于

苹果是橘子的

1+


2

2




1


苹果增加到橘子的

1+


2


同学们可以用具体数字带进去理解，例如：苹果为3千克，橘子为2千 克。
 题型2：商店卖出苹果6千克，卖出橘子4千克，问卖出的苹果是橘子的几分之几？
【解题思路】
第一步：求分率的应用题，我们同样要找单位“1”。
该题问卖出的苹果是橘子的几分之几？单位“1”是橘子。
第二步：单位“1”的量做除数，求谁的分率就用谁的具体量除以单位“1”的量。
该题单位 “1”是橘子，因此橘子做除数，苹果做被除数来除以单位“1”，因此最终
3
。

2
 题型3：求平均数的应用题，求谁的量就把谁做除数。
例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每天烧多少吨？
1
，求卖出橘子多少千克？
2
得出：
64
求每天，天就作为除数，把5天做除数，即10÷5=2（ 吨）；

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例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每吨烧多少天？
求每吨，吨就做除数，即5÷10=0.5（天）。
注意：得数的单位应该与被除数的单位一致。
13. 分数应用题如何列式：
用乘法的情况如下
知道单位“1”时
知道总数求部分的公式：
总数 × 对应的分数 = 部分
题目形式
用除法的情况如下
不知道单位“1”时
知道部分求总数的公式：
知道的部分 ÷ 对应的分数 = 总数
题目形式
已知一个数，求这个数的几分之几是多少。 已知一个数的几分之几数多少，求这个数
已知一个数，求这个数的百分之几数多少。 已知一个数的百分之几数多少，求这个数
注意：以上11、12、13项请结合题目理解！！！
二、分数的混合运算
1. 分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同，都是先算乘除法，再算加减法，有括号
的先算括号里面 的，再算括号外面的。【整数的运算律在分数运算中同样适用】
2. 运算定律：
1）乘法分配律：
a(bc)abac
←（请特别注意这个公式！）
2）乘法结合律：
abca(bc)

3）乘法交换律：
abba

运用运算定律可对分数的混合运算进行简便运算。
3. 分数与整数相乘，分母不变，分子和整数相乘的积作分子。
分数与分数相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的先约分。
4. 一个数乘一个真分数，所得的积一定小于原来的数；
一个数乘一个等于1的数，所得的积等于原来的数；
一个数乘一个大于1的假分数，所得积一定大于原来的数。
三、长方体的认识、表面积、体积和容积
1. 两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做 顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别
叫做长方体的长、宽、高
2. 长方体有6个面， 每个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的
面的面积相等。有12条棱，12 条棱可以分为三组：4条长，4条宽，4条高，长、宽、高分
别相等。有8个顶点，每个顶点处由3条棱 组成，长、宽、高各一条。
3. 正方体有6个面，每个面都相等，都是正方形。有12条棱，12条 棱长度相等，叫做正方
体的棱长。有8个顶点。正方体是特殊的长方体。
3. a
3
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a×a×a）
4. 长方体的棱长和 =（长+宽+高）×4；正方体的棱长和 ＝棱长×12
5. 长方体6个面的面积之和叫做长方体的表面积。

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长方体上表面或下表面的面积＝长×宽，用字母表示为：
底面积S = a×b
长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2 +宽×高×2，用字母表示为：
表面积S = a×b×2+ a×h×2 +b×h×2
5. 正方体的6个面的面积之和叫做正方体的表面积。
正方体每个面的面积＝棱长×棱长。表面积等于所有面的总和，有 6个相同的面，所以正
方体的表面积＝6×每个面的面积=6×棱长×棱长，用字母表示为：
S = 6×a
2
6. 正方体露在外面的面积＝一个面的面积×露在外面的面的个 数。把正方体放在桌面上，最
多可以看见三个面。
7. 物体所占空间的大小，称物体的体积。常用的体积单位有立方米，立方分米，立方厘米。
8. 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。常用的容积单位有升和毫升。
9. 计算物体的体积用体积单位，计算液体、气体的体积一般用容积单位。
10.单位换算：
1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1升
1立方米=1000000立方厘米 1升＝1000毫升
1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1毫升
11. 相邻的的体积单位之间的互化。进率表示单位之间差10的多少倍。

÷进率
低级单位 高级单位
×进率

12. 测量不规则形 状的物体的体积时，可以将不规则物体放入盛有水的容器中，上升的水的
体积或者溢出的水的体积就是这 个物体的体积。
13. 一般来说，一个物体的体积比它的容积大（想想为什么？）。
四、百分数
22
写作22％，读作：百分之二十二。
100
2. 求一个数的几分之几（或百分之几）是多少，用乘法计算；
1. 百分数表示一个数是另一个数的百分之几。
已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。
3. 百分数也叫百分比、百分率。
4. 生活中的“率”：
及格率＝及格的人数÷总人数 出勤率＝出勤人数÷总人数
成活率＝成活的棵数÷种植的总棵数 命中率＝命中次数÷总次数
出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量 优秀率＝优秀人数÷总人数
合格率＝合格的产品数÷产品总数 发芽率＝发芽的种子数÷种子总数
5. 小数化成百分数：先把小数点向右(→)移动两位，再在后面添上％（0.20→20→20%）。
6. 分数化成百分数：先把分数化成小数（除不尽时保留三位小数），再把小数化成百分数。
7. 百分数化成小数：先去掉％，再把小数点向左(←)移动两位（20%→20→0.20→0.2）。
8. 百分数化成分数：先把百分数化成分母是100的分数，然后约分、化简；或者先把百分数
化成小数，再化成分数。

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五、统计
1. 条形统计图能清楚地看出每个项目的数量，并且方便进行比较。
2. 扇形统计图能清楚地看出各部分分别占总量的百分之几。
3. 折线统计图能清楚地看出数量的变化情况。
4. 一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数。
5. 把一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数叫这组数据的中位数。当一组数据的
个数是偶数时，中位数取中间两个数的平均数。
6. 平均数＝总数量÷总份数
长方体和正方体公式大总结
（1）长方体公式：
 长方体棱长之和 ＝（长＋宽＋高）×4
逆运用：长 = 长方体棱长之和÷4－宽－高
长方体的高 = 长方体棱长之和÷4－长－宽
 相交于一个顶点的三条棱的和 = 长＋宽＋高÷4 = 长方体棱长之和÷4
 底面积（占地面积、上面积）＝ 长×宽
 左（右）面积 ＝ 宽×高；前（后）面积 ＝ 长×高
 表面积 ＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
 没盖长方体的表面积 ＝ 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
或＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2－长×宽
 长方体或正方体侧面面积（就是周围四个面的面积）= 底面周长×高
或 =（长×高＋宽×高）×2
 求通气管、烟囱或粉刷柱子是计算四个面的面积
 体积（容积）＝长×宽×高，用公式表示是：V=a×b×h
逆运用：高＝长方体体积（容积）÷长÷宽 = 长方体体积（容积）÷（长×宽）
或高＝长方体体积（容积）÷底面积
 长方体的体积 = 一个侧面积×长 = 一个横截面面积×高（请画图理解！）
（2）正方体公式：正方体是特殊的长方体，其各个边长相等，统称棱长。
 正方体的棱长和 ＝ 棱长×12
逆运用：棱长 ＝ 棱长和÷12
 表面积＝棱长×棱长×6 = 任意一个面积×6，用公式表示S＝6a
2

逆运用：正方体一个面的面积＝棱长×棱长＝正方体表面积÷6
 无盖的正方体的表面积＝棱长×棱长×5
体积（容积）＝棱长×棱长×棱长，用公式表示：V= a ×a× a = a
3
 求小正方体的数量 = 每排的个数×排数×层数
 至少要8块棱长为1厘米的小长方体拼成一个大正方体。
 一个正方体棱长扩大ａ倍，棱长之和扩大ａ×ａ倍，表面积扩大ａ×ａ倍，体积扩大ａ
×ａ×ａ倍。
（3）长方体和正方体都可以用公式（底面积×高）来计算。用公式表示：V=S×h
（4）不规则物体的体积 = 容器底面长×容器底面宽×上升的水的高度

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= 容器底面积×上升的水的高度
逆运用：上升的水的高度 = 不规则物体的体积÷容器底面长÷容器底面宽
= 不规则物体的体积÷容器底面积
所有公式请各位同学务必要：画图理解→背诵→熟练运用！！！

以上内容请同学们务必多理解、多运用！！第6页