五年级语文上册期中试卷-欧美个性图片

数学学习效率低的三种情况及解决方法
很多 同学，上课一听就会，但做题确实一做就错；更有很多同学，会做的题总因为粗心
出错；还有些同学，学 习心态不端正。以上三种情况，就是导致学习效率低下的最主要原因。
现象一：一听就会，一做就错，总是在看到答案后恍然大悟
很多学生在看到题目时觉得面熟， 能肯定自己以前做过原题或类似的题目，但就是想
不起来该怎么做，越是回忆以前做过的类似题目越是没 有思路，等到答案时才大喊一声，哇，
原来是这样的啊。于是再做，发现还是不能独立的把题目完整的做 出来，于是再看答案，在
做。
原因：原来在做题目时没有真正理解题目的解法，只能是跟着老 师的思路吧题目抄下
来，没有自己动手整理，导致自己觉得会做了，其实只是在当时把题目背过了，一段 时间以
后就只记得题目不记得的解法了。所以，“背题”是万万要不得的，考试的题目千千万万，
背得过来吗？
解决方法：在做完一道题目后，让孩子讲解给家长听，也可让同学帮你检查你对这个< br>题目的理解还有什么欠缺，发现问题立即问老师，力争当堂把题目理解透彻。家长可以在一
两周之 后把这道题目的数据换一下，在让孩子做一遍，这样就能做到让孩子彻底的掌握这种
类型题目的解法，海 能达到举一反三的效果。
现象二：会做，但总是粗心，不是抄错题就是算错数
很多家长都反 映说自己的孩子很粗心，经常把会做的题目算错，甚至有家长说孩子期末
考试考了96分，丢掉的那4分 全是粗心算错的，并对这个成绩很满意，还有很多学生也说，
这些题目我会做就可以了，这次算错了没关 系，到考试时能算对就可以了。其实，作为多年
教学经验的老师，我们告诉各位家长，会做做不对才是最 可怕。

原因：粗心的原因有两个，一是心态问题，这个问题后面会详细的说。第二个原因就< br>是对知识掌握得不牢固，模棱两可，错误总是在你掌握不牢固的地方出现，那些看似是粗心
犯的错 ，其实都是因为在应用知识的时候不熟练，导致出错。
解决方法：有选择的多做题目，在数学学习中， 我们反对搞题海战术，但是要想学好
数学，不做题目不进行针对性训练是无法把学到的知识掌握牢固的。 但是也不能盲目的去做
题，有数量不等于有质量，会做的题目就是做上一千遍也没有进步。老师和家长要 引导孩子
挑战自己不会的题目，只有不断地去挑战就能不断地进步。
现象三：心态不端正，觉得做不做对无所谓，会做就行了

1

很多学生觉得只要会做就行了，平时算不对，到考试时 注意力会高度集中，就能算对
了。其实这种看法是不对的。
原因：学生学习的目的除了要掌握 知识，掌握解决问题的方法，还要在学习的过程中
养成良好的学习习惯，良好的学习习惯是成功的一大法 宝。而在学习中心态不端正，长此以
往，会形成浮躁的性格，这是学习的大忌。
解决方法：端 正态度，养成良好的学习习惯。准备一个错题本，把自己做错的题目记
下来，要将因为不会而做错和因为 粗心做错的题目分开记，每周都将错题本上地该周做错的
题目再做一遍，就会对自己犯过的错误印象深刻 ，就能避免再犯同样的错误。
总之，要想提高解题的正确率，就要本着端正的学习态度，去做一定量的 有针对性的
题目，在做题时认真思考，要全神贯注，心无旁骛。真正的去理解解题方法，做完一道题目< br>之后当堂回顾。把解题思路复述出来，并讲做错的题抄在错题本上，经过一段时间的努力，
一定能 将解题的错误率降低，并养成良好的学习习惯。所以，我们经常说，学数学很容易，
秘诀就是：会做的做 对，错过的不要再错。












2

目录
第1讲 初一入学测试
第2讲 数轴、相反数、倒数
第3讲 绝 对 值
第4讲 有理数的加法
第5讲 有理数的减法
第6讲 有理数的加减混合
第7讲 有理数的乘法
第8（1）讲 有理数的除法和乘方
第8（2）讲 科学记数法与近似数
第9讲 有理数的混合运算
第10讲 整式的概念
第11讲 整式的加减
第12讲 整式的加减复习与提高
第13讲 从算式到方程
第14讲 一元一次方程的解法
第15讲 一元一次方程的实际应用（一）
第16讲 一元一次方程的实际应用（二）
第17讲 一元一次方程全章复习与巩固
第18讲 多姿多彩的图形
第19讲 直线、射线、线段
第20讲 角





3

第1讲 初一入学测试
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．20050619读作（ ），省略万位后面的尾数约是（ ）．
2．
7
的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就得到最小的两位数．
3．2吨80千克=（ ）吨，
4
1
3
3
公顷=（ ）公顷（ ）平方米．
125
4．正三角形有（ ）条对称轴，平行四边形有（ ）条高．
5．浓度为20%的盐水，盐和水质量的最简整数比是（ ）:（ ）．
6．5只母鸡5天下蛋5个，照此速度计算，10只母鸡10天可下蛋（ ）个．
7．两个连续奇数的和乘它们的差，积是2008，这两个奇数分别是（ ）和（ ）．
8．规定

3
，
4
，则
 43
（ ）.
223477891023
9．如图，长方形与圆的面积相等，圆的周长是12.56㎝，
阴影部分的面积是（ ）
cm
2
.

10．儿童 乐园售票处规定，1人券2元，团体票15元（可供10人玩），小红花幼儿园现有38人去儿
童乐园， 买门票最少（ ）元．

二、选择题（选择正确答案的序号）．（10分）
1．五个连续奇数的和与中间数的关系是（ ）
A．等于中间数3倍 B．等于中间数4倍 C．等于中间数5倍
2．小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行a
米，回来时每分钟行
b
米，求小明来、回的平均速
度的正确算式是（ ）
A．
(ab)2
B.
2(ab)
C.
1


11





ab

D.
2


11





ab

3．一个棱长6厘米的立方体，它的表面积和体积（ ）
A．同样大 B．体积大于表面积 C．不能比较大小 D．表面积大于体积
4．路程一定，已行程与剩下路程（ ）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都有可能
5.四个同样大小的圆柱拼成一个高为40厘米的大圆柱时，表面积 减少了72平方厘米，原来小圆柱的体积
是（ ）立方厘米。
A、120

三、判断题．（对的打“√”，错的打“×”）（10分）
1．2.666666是循环小数． （ ）
2．因为2
x
=3y
，所以
x
和
y
成反比例．

B、360 C、480 D、720
（ ）
4

3．若b≥a，则
b
a
一定是假分数．（a≠0） （ ）
4．两个三角形的底不同，高不同，面积一定不同． （ ）
5.a、b是两个不为零的数，若a的
1
12
等于b的
112
13
，那么a是b的
13
。 （ ）

四、计算．（24分）
1．用适当的方法计算．（每题4分，共16分）
（1）
1
5.253.758
1
88
（ 2）
1
12

1
23

1
34


1
99100









（3）
44444
5
9
5
99
5
999
5
9999
5
（4）
(70.8213
5
16
)(10.826
11
16
)








2．列式计算（每题4分，共8分）
（1）一个数的3倍比2少
1
3
，这个数与
2
3
的和是多少？





（2）一个数的
3
8
与它的
1
4
的和是 20，这个数是多少？






5

五、图形题（共11分，第1题5分，第2题6分）
1．一个圆柱体长为10分米 ，截下3分米的一段后，表面积减少了18.84平方分米，则原来圆柱体的体积
是多少？








2．三角形ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米，π取3.14）









六、综合应用题（1-3题5分，4-5题6分共27分）
1．园岭小学六（1）班与六（2 ）班人数比为3:4，从六（2）班转出2名学生到六（1）班后，六（1）班
与六（2）班人数之比变 为4:5，问原来两班各有多少人？








2．甲、乙、丙三人合作完成一项工程，但甲因故中途离开，最后经过6天完成任 务，已知甲单独完成要
10天，乙单独完成要12天，丙单独完成要15天，问甲离开了几天？







A
D
B
6
C
6


6

2
3．两队合修一条路，第一队修了全和的4 0%，第二队修了420千米，这时两队修了总千米数比全长的少
3
380千米.这条路全长多 少千米？









4．一只老鼠沿着平行四边形的A B C的方向逃跑，同时一只猫也从A点出发沿着A D C的
方向追捕老鼠，结果在BC边上的E点捉住老鼠，已知老鼠的速度是猫的
边形的周长。










5．快慢两车从甲乙两地相对开出，快车先行了全程的
程的












D
·
E
C
A
B
11
，而且C E长6米，求平行四
14
1
又11千米后，慢车才开出，相遇时，慢车行了全
5
2
，已知快慢两车的速度比是5:4，甲乙两地相距多少千米？
7


7

第2讲 数轴、相反数与倒数类

【知识要点】
1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
利用数轴比较数的大小：数轴右边的数总比左边的数大。
2．相反数的定义：只有符号不同的两个数互 为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数．例如+3与-3
互为相反数，其中-3是+3的相反数． 零的相反数是0．
正数的相反数是负数,负数的相反数是正数.在一个数的前面添加“+”号,仍然与 原数相同；在一个数的
前面添上“-”号,就成为原数的相反数。
注意：写代数式的相反数时 要注意添括号，如
2a
的相反数应写成
(2a)
。
3．多重 符号的化简:一个正数的前面不管有多少个“+”号,都可以把它们全部去掉；一个正数的前面有偶
数个 “-”号,也可以把“-”号一起去掉；一个正数前面有奇数个“-”号,则化简符号后只剩下一个“-”
号.
4．相反数的几何意义：互为相反数的两个数在原点的两旁，且离原点的距离相等．零的相反数是原点．
5．相反数的性质：若
a
与b互为相反数，则
ab0
；反之，若
ab0
，则
a
与b互为相反数．互为
相反数的两数商为-1，（ 0除外），即若
a
与b互为相反数，则
b
1(b0)

a
23
与互为倒数，其
32
6.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数， 其中一个数叫做另一个数的倒数，例如
中
32
是的倒数．乘积是-1的两个数互为负倒 数。
23
1除以一个数（零除外）的商，叫做这个数的倒数，这是求一个求倒数的方法；如果 两个数互为倒数，
那么这两个数的积等于1．这是判定两个数是互为倒数的方法．
【典型例题】
例1 如下图所示，数轴中正确的是（ ）


－1
0
1

A B

－1
0
C
1
－1
0
D
1
例2、试比较-0. 3，

，0.03，0，3，
33%
的大小，并用“

” 连接起来。





例3、 (1) 2与 互为相反数,

1
3
2
的相反数是 ,
(1)
的相反数是 .
5
(2)
a
的相反数是 ,
a3
的相反数是 ,
n1
的相反数是 .
8

例4、如果
a,b
表示有理数,在什么条件下,
ab
与
ab
互为相反数.




例5、化简下列符号:
(1)


4

(2)




1


(3)




1


(4)





5



1






1


2




1







2






【经典练习】
一、选择题
1．下列所画数轴中正确的是（ ）

1
2 3
4 5
0
-1 0
1
0
1 2
3

A B C D
2．下面说法中正确的是（ ）
①在―4与―3之间没有负数； ②在0与1之间有无数个数；
③在―4与―3之间没有其它整数； ④在0与1之间没有负数．
A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④
1
3．下面说法正确的是（ ）
A、任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来 B、数轴上右边的数表示正数，左边的数表示负数
C、数轴上离开原点距离越远的点所表示的数越大 D、0是最小的正整数
4．如果一个数的相反数是非负数，那么这个数一定是（ ）
A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数
5．下列说法正确的是（ ）
A、


2

是－2的相反数
C、－2的相反数是


2



二、填空题
6．+3的相反数是 ，－3的相反数是 ，


3

的相反数是 ，


3

的相反数是 ．
7．
a2
的相反数是 ，
2a
的相反数是 ．
8．用“

”或“

”填空．
（1）若
a
是正数，则
a
0 （2）若
a
是负数，则
a
0
（3）若
a
是正数，则
a
0 （4）若
a
是负数，则
a
0
9．在数轴上用点A表示－3，则点A到原点的距离是 ，到原点的距离距离等于3的点表示的数

9
B、


2

是－2的相反数
D、+3的相反数是


3


为 ．
10．比较下列各组数的大小：

55


；（4）－1.95 －1.59；
67
11
1
56
（5）

；（6）

0.3；（7）7.1
7
；（8）7.1
7
．
7
311
711
（1）3.5 0； （2）－2.8 0；（3）

三、解答题
11．在下图中，点A、B、C、D、E、F、O各表示什么数？

F D
A
E
B O
C

3
1 2
0
-1
-2



12．有理数
x,y
在数轴上的对应点如下图所示，图中0为原点，且A到原点的距离比B到原点的距离大．
（1）在数轴上表示出
x
和
y
；
（2）试把
x,y,0,x,y
这五个数从大到小用“

”连接起来．


B
O
A
y
x

13．画图表示一个点从数轴 上的原点开始，按下列条件移动两次后到达的终点，并说出它是表示什么数的
点．
（1）向右移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度；


（2）向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度；



（3）向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；



（4）向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度．



14．观察数轴，然后回答下列问题：
（1）有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？若有，请写下来。
（2）有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？若有，请写下来。
（3）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？若有，请写下来。



10

课后作业

11
1．若< br>a
是小于1的正数,用“<”号将
a,a,
a
,
a
,0,1,1
连接起来为 .
2．一个有理数的相反数与它自身的和为 ( )
A 可能是负数 B 一定为正数 C 必为非负数 D 一定为0
3．下列说法正确的是( )
A 有理数不是正数就是负数 B 0是最小的有理数
C 正数和负数统称为有理数 D
1
7
是分数也是有理数
4．关于0,下列说法正确的个数有( )个.
①0既不是正数,也不是负数; ②零既不是整数,也不是分数;
③0不是自然数,但它是整数.
A 0 B 1 C 2 D 3
5．下列说法正确的是( )
A 一个有理数不是正数,就是负数 B 整数一定是正数
C最小的整数是0 D自然数是整数
6．有理数的集合是( )
A 正数和负数的集合 B 正整数、负整数与分数的集合
C 整数与分数的集合 D整数与负数的集合
7．下面说法中正确的是( )
① 在
1与2
之间没有负数; ② 1与2之间有无数个数;
③在
1与2
之间没有其他整数; ④在0与1之间没有负数.
A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④














11

第3讲 绝 对 值
【知识要点】
一、绝对值的概念
1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示
a
的 点与原点的距离，数
a
的绝对值记作
a
，读作
a
的绝
对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反 数；0的绝对值还
是0。
3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的 点到原点的距离，离原点的距离越远，绝
对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
4绝对 值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数
a
，< br>总有
a

0。
5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。
二、绝对值的求法
绝对值是一种运算，这个运算符号是“
意有理数
a
，有
”，求一个数的绝对 值就是想办法去掉绝对值符号，对于任

a(a0)

a(a0)

a(a0)

（1）
a

0(a0)
（2）
a

（3）
a


a(a0)a(a0)


a(a0)

【典型例题】
例1 求下列各数的绝对值。
（1）
3111
= ； （2）

= ； （3）
4
= ； （4）
3
= ；
4342
例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。
（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。
（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。
思考：
a
与0的大小关系



例3 （1） 若
m2
，求
m
的值；（2）若
ab
，则
a与 b
的关系是什么？





例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。





例5 如果
a
的相反数是最大的负整数，
b
是绝对值最小的数，那 么
a
与
b
的和是多少?

12

例6 数
a,b
在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：
（1）比较
a
和
b
的大小；
（2）比较
a
和
b
的大小；
a

0
b

（3）判断
ab,ab,ba,ab
的符号；
（4）试化简
abba







经典练习
一、填空题
1．

11
3
的绝对值是 ，
3
的绝对值是 ， 的绝对值是
1
3
．
2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．
3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．
4.若
a0
，则
a
；若
a0
，则
a
；若
a0
，则
a
．
5.若
aa
，则
a
0，若
aa
，则
a
0．
6. 的绝对值比它的本身大．
7.一个数的绝对值不大于3，则满足条件的最大的负数是 ．
二、选择题
1．下列等式中，成立的是（ ）
A、
33
B、
3

3

C、
33
D、

1
3

1
3

2．下列计算中，错误的是（ ）
A、
7512
B、
0.340.30.04

C、
4
5

1
5

3
111
5
D、
3
2
2
3
1
3



13

3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）
A、相等 B、都是0 C、互为相反数 D、相等或互为相反数
4．下列各式中，不正确的是（ ）
A、
0.010.01
B、
0.010.001
C、

1
3
< br>



1

3


D、
3.23.2

5．下列判断正确的是（ ）
A、若
ab
，则
ab
B、若
ab
，则
ab

C、若
ab
，则
ab
D、若
ab
，则
ab

三、解答题
1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；
（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．
2．已知一组数；4，－3，

1
2
，+5.1，
 4
1
2
，0，－2.2．在这组数中：
（1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；
（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．
3．如图，直线上有三个不同的点A、B、C，且AB≠BC ，那么，到A、B、C三点距离的和最小的点（


A
B C
（A）是B点 （B）是AC的中点 （C）是AC外一点 （D）有无穷多个
4．对任意有理数
a
，式子
1a
，
a1
，
1 a
，
a1
中，取值不为0的是 。




5．绝对值小于2014的所有整数之和是 。
6．指出下列各式中
a
为什么数．
（1）
aa0
（2）
aa




7．若
a8,b7< br>，且
ab
，试求
a和b
的值．





）
14

课后作业
1．求出下列各数的绝对值．
（1）1 （2）－2 （3）

2．绝对值小于3.5的所有整数有 ．
3．绝对值大于1.2而小于3.7的负整数有 ．
4．（1）

3.14
；（2）若
a2
，则
a2
．
5．化简：
3
；
23
．
6．绝对值最小的数是 ；绝对值等于它本身的数是 ；绝对值是它的相反数的是 ．
7．一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A、

11
（4）
3
（5）0
23

1
1
与
2
2
B、

2
2
与


3
3
C、

3
2
与
2
3
D、
1
与


1


9．下列各式 ：①
33
②
1.51.5
③
a1a1
④
a1
，则
a1
⑤

正确的个数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
3

3

< br>


．其中
2

2

10．下列 说法正确的是（ ）
A、如果两个数的绝对值相等，则这两个数必相等
B、如果两个数不相等，那么它们的绝对值肯定不相等
C、在
2,
< br>2

,2,

2

中有两个负数
D、若
a

7

,b7
， 则
a,b
互为相反数














15

第4讲 有理数的加法
【要点提示】
1．有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
（3）任何数与0相加，仍得这个数。
2．加法交换律和结合律
（1）加法交换律：
abba
（2）加法结合律：
abca(bc)

3．有理数加法步骤：
（1）两数相加：
a:
确定和的符号
b:
求绝对值的和或差（差是绝对值大的数减去绝对值较小的数）
（2）多个有理数相加：
a:
先把符号相同的相加
b:
再用两数求和的步骤
4．巧算或简化运算的方法：（1）把符号相同的数结合在一起 （2）把同分母的结合在一起
（3）把凑整的结合一起，尤其把互为相反的数结合在一起！
5．有理数加法中“+”号“

”号的意义
（1）表示运算符号（加号或减号）
（2）表示性质符号，一般单独的一个数前面的“+”或 “

”号表示性质符号。如“

4”的“

”表示负
号。
【典型例题】
例1．计算（1）
(3)(7)
（2）
(10)(3)
（3）
(2.5)5





例2．计算（1）
23(17)6(22)
（2）
3




（3）（+6）+（－2）+（－3.5） （4）
(0.65)(1.9)(1.1)(




例3．下表为某公司股票在本周内的涨跌情况：
星期
每股涨跌
一
+4.5
二
－3.20
三
－0.35
四
－2.75
五
+1.15
……

1332
(2)5(8)

4545
13
)

20
计算一周内该公司股票是涨是跌，涨跌的值是多少？





16

例4．用简便算法计算：
（1）
871(87.21)53















例5．若
x5
，则
x4
。


思考题：
x,y
互为相反数，且
a3
，求下列各式的值。
（1）

1921510121
(12.79)43
（2）
(3)(9.5)(2)(2)(10)

2121373 7372
4377
(3.5)()()()0.75()
（3）
(25.6)

(48.7)25.6(75.3)

（4）
3423
xy
a
（2）
(a)x(11)y

a






课堂练习
一、判断题
1．两个有理数之和为零，则这两个有理数一定互为相反数．
2．两个有理数之和为正数，则这两个有理数一定都是正数．
3．两个有理数之和为负数，则这两个有理数中，至少有一个是负数
4．两个有理数之和为零，则这两个有理数的绝对值一定相等．
5．

 7



8



9


10

34
．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
17
1
 
3

7．

7.892


678.5



7.892

678.5< br>
3

1

1

1

8．













23510

9．
2.8



1.9

0.9
6．

6.55



2

4 .22

10.



1< br>
1






1


3

2

（ ）

二、计算题
（1）

1



3

； （2）

4



2

； （3）

2000







3

7

4

7

< br>
5

7

2

7



1


0
；
7


（4）

8



8

， （5）

32



28

； （6）





0.2

；


6

7

6

7
< br>
1


3






三、解答题
1．8筐水蜜桃，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足 的千克数记作负数，称重的记录如下：
+2，―1，―2，+3，―4，+1，―3，+2．总计超过（ 或不足）多少千克？8筐水蜜桃的总重量是多少？






2．飞机的飞行高度是2000米，先下降500米，又下降400米，这时飞机的飞行高度是多少？







强化训练
1、计算：
（1）








1

1






；
2

3

（2）（-2.2）+3.8； （3）
4
+（-5
1
3
1
）；
6

18

（4）（-6）+8+（-4）+12； （5）
1





4

1
31


2



7

3

73
课后作业
一、填空题
1．（1） +

16

16
； （2）－16+ =－16； （3） +（－16）=16
（4）－16+ =0； （5） +（－16）=6； （6）－16+ =－6
二、选择题
1．两个有理数的和的绝对值与它们的绝对值的和相等，则这两个有理数（ ）
A、都是正数 B、都是负数 C、同号 D、同号或至少有一个为零
2．若
a2000
，则以下式子中，一定成立的是（ ）
A、
aa0
B、
aa0
C、
a

a0.2

0
D、
a
1
0

a
3．使
2000

x

2000x
成立的
x
是（ ）
A、任意一个数
三、计算题
1．

7





3.


B、任意一个大于－2000的数 C、任意一个负数 D、任意一个非负数


2

1

1



3

8

3

3< br>
4
2．

15.467



4.427

19.467


2

1
3













5

6
5

2

1




 2


3

6







四、粮食仓库第一天运进大米504包，第二天运出375 包，第三天运进大米869包，第四天运出大米902
包，第五天运进大米350包，这五天共运进多少 包？（规定运进为正）







19

第5讲 有理数的减法
【要点提示】
1．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
在这个过程中有两个改变：一、运算符号改变；二、改变减数的性质符号。
2．有理数加减混合运算的步骤：
（1）根据有理数减法的法则把减法转化为加法，再写成省略加号的简化形式。
（2）利用加法 交换律、结合律进行简便运算，原则是：①正数和负数分别结合；②同分母分数比较易
通分的分数结合； ③小数与小数结合；④互为相反数的数结合；……等等。（在利用交换律交换加数位置
时，连同前面的符 号一起移动。）
3.根据有理数减法的法则，有理数的减法可以转化为加法，因此有理数的加减混合运 算都可以转化为加法
运算。
4．比较大小：判断
a
、求
ab：若
ab0
，则
ab
；若
ab0
，则
ab
；若
ab0
，
b
两数的大小，
则
a b
。
【典型例题】
例1．计算
（1）（―2.39）―（+1.57）； （2）（―
5




（3）
(2.1)(3.9)(3.9)(1.1)
（4）
325




(5)

(
15
）―（―
3
）；
76
1
3
1116
3512

4747
3

2
17729

)

5

323






例2．把下列各式转化为加法
（1）
(0.25)()(3)(5)
(2)
10(8)(6)(4)







例3．已知
a25,b2,a,b
异号,求
ab
的值

20
1
4
1
8
3
4

例4．比较下列各组数的大小.
（1）
1

9
3940

9

与
1

< br>
（2）-
2
与-
2

10
4041

10







经典练习
一、填空题
1．（1）（-168）－168= ；
（3）168―（-168）= ；
（5）0―（-168）= ；
（3） +（-0.8）=1.8；
（5）
351
二、计算题
（2）（-168）―（-168）= ；
（4）168－168= ；
（6）（-168）－0= ；
（4）（-1.8）― =0.8；
（6）21－ =
351
2．（1）0.8－ =0 （2） ―（-0.8）=0
7
－（ ）=21
45
7
．
45
9
）；
10
1．（1）（-33）―（-3）； （2）（+5）―（-
4
）； （3）（-10.1）―（-
2




（4）（-10.1）―（+
2
1
3
9
）； （5）
(+11)-(+13)+(-5)-(-6)-4

10





2．把下列各式改写成省略加号的代数和的形式，并计算它们的值．
（1）（+15）－（－21）+（－8）－（+17）； （2）（+4.6）－（－8.7）－（+6.5）+（－7）





21

（3）




1

4


1

3
1

1

2






2






4






8






8






3










3．用简便方法计算：
（1）

5
7

4< br>5

1
2

3
4

2
7< br>
1
5
（2）
2
7
12

8< br>15

1
12

11
15
1
3< br>20







（3）81.35-282.9+8.65-7.1 （4）（－4.3）－（+5.8）+（－3.2）－（－3.5）






(5)
1
111
2

6

12

11
20

99100









三、解答题
1．（1）一个加数是0.01，和是－26.3，另一个加数是多少？




（2）被减数是0.32，减数是－0.69，差是多少？




22

(3)从3中减去

5
7
和

的和,所得的差是多少?
8
12





2．比较下列各组数的大小：
（1）





3．已知
xyxy
，且
x2






4．已知x是有理数，求
x2x1.5
的最小值。






附加题
1111
355
与 （2）

与3.1416

0.10.010.0010.0001113
1
，
y1,y1
，
y
是整数，求
 xy
的值
3
11119191
1(1)(1)( 1)(1)
2233334244242010202020














23

课后作业
一、选择题
1．有四个数，
a1

11111111
,b1,c1,d1
，则
a,b,c,d< br>的大小关系为（ ）
235236237238
B、
dcba

D、
bcda

A、
abcd

C、
abdc

2．以下的运算结果中，最大的一个数是（ ）
A、（－13579）+0.2468 B、（－13579）－0.2468
11
D、（－13579）－
24682468
3．如果
a,b
为有理数，且
a,b
两数的和大于
a
与
b
的差，则（ ）
C、（－13579）+
A、
a,b
同号
二、计算题
1．（1）







（3）





2．计算，能简算就简算：
（1）
(5.4)(3.2)(2.5)(4.9)
（2）
()(5)(3)(4)(2)






（3）
(6.62)(3)(2.62)()
（4）









24
B、
a,b
异号 C、
a
为正数 D、
b
为正数
355

355

355


355

（2）









113113
113113


227

7

7722




（4）
()

722

22

222271
2
1
5
1
5
1
2
1
32
5
3
5
1434
()

5577

三、解答题
1．一水利勘察队，第一天沿江向上游走了
5

112
千米，第二天又向上游走了
5
千米，第三天向下游走了
423
千米，第四天向下游走了
4
1
2
千米，这时勘察队在出发地 的上游多少千米处？





2．已知
x12
，试求：
21x51x
的值。





























3
25

第6讲 有理数的加减混合
【知识要点】
1．有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
（3）任何数与0相加，仍得这个数。
2．加法交换律和结合律
（1）加法交换律：
abba

（2）加法结合律：
abca(bc)

3．有理数加法步骤：
（1）两数相加：
a:
确定和的符号

b:
求绝对值的和或差（差是绝对值大的数减去绝对值较小的数）
（2）多个有理数相加：
a:
先把符号相同的相加

b:
再用两数求和的步骤
4．巧算或简化运算的方法：（1）把符号相同的数结合在一起
（2）把同分母的结合在一起
（3）把凑整的结合一起，尤其把互为相反的数结合在一起！
5．有理数加法与算术加法的区别：
有理数加法不仅要进行绝对值的运算还要判断和的符号。其次，有理数的加法中，加数的符号可 正可
负，加法的结果也可正可负。因此，有理数加法中，和不小于每一个加数的结论不再成立。
6．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
在这个过程中有两个改变：一、运算符号改变，二、改变减数的性质符号。
7．有理数加减混合运算的步骤：
（1）根据有理数减法的法则把减法转化为加法，再写成省略加号的简化形式。
（2）利用加法 交换律、结合律进行简便运算，原则是：①正数和负数分别结合；②同分母分数比较易
通分的分数结合； ③小数与小数结合；④互为相反数的数结合；……等等。（在利用交换律交换加数位置
时，连同前面的符 号一起移动。）
8. 代数和：根据有理数减法的法则，有理数的减法可以转化为加法，因此有理数的加减混
合运算都可以转化为加法运算。几个正数或负数的和叫做代数和。
代数和的写法：在代数和里可以把加号及前面的括号省去不写，以简化书写形式。

【典型例题】
例1、计算
（1)-12+11-8+39； (2)+45-9-91+5；






(3)-5-5-3-3； (4)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28；

26

例2．计算：
(1)-4.2+5.7-8.4+10； (2)6.1-3.7-4.9+1.8；




(3)-216-157+348+512-678； (4)81.26-293.8+8.74+111；






例3、下列语句中,正确的是( )
A.两数相加结果为负数,这两个数中至少有一个为正数.
B.两数相减,被减数一定大于减数
C.两个有理数之和可能等于其中一个加数
D.两个有理数之和为正数时,则这两个数都是正数.

例4、欲使两个有理数相加,它们的和小于其中一个加数而大于另一个加数必须满足( )
A.两个数都是正数. B.两个数都是负数
C.一个数是正数另一个数是负数. D.至少有一个数为零

例5．判断题：对的在括号里打“√”，错的在括号里打“×”，并举出反例．
(1)若a，b同号，则a+b=|a|+|b|． （ ）
(2)若a，b异号，则a+b=|a|-|b|． （ ）
(3)若a＜0、b＜0，则a+b=-(|a|+|b|)． （ ）
(4)若a，b异号，则|a-b|=|a|+|b|． （ ）
(5)若a+b=0，则|a|=|b|． （ ）

例6、计算
(1)
(28
1
)(17
1
42
)
(2)
0.125(3
1
)(3
1
)(11
2
483
)(0.25)






(3)
(0.5)(3
1
)2.75(7
1
42
)
(用多种方法去解)

27

【经典练习】
1．计算：
(1)12-(-18)+(-7)-15； (2)-40-28-(-19)+(-24)-(-32)；






(3)(+12)-(-18)+(-7)-(+15)； (4)(-40)-(+28)-(+19)+(-24)-(+32)；





(5)(+4.7)-(-8.9)-(+7.5)+(-6)；





2.．当a=13，b=-12.1，c=-10.6，d=25.1时，求下列代数式的值：
(1)a-(b+c)； (2)a-b-c；



(3)a-(b+c+d)； (4)a-b-c-d；



(5)a-(b-d)； (6)a-b+d；



(7)(a+b)-(c+d)； (8)a+b-c-d；




(9)(a-c)-(b-d)； (10)a-c-b+d．


28

3、某地,去年9月1日的平均气温是28℃, 第二天平均气温比第一天上升了2℃,第三天平均气温比第二天
上升了-5℃(下暴雨!),问第三天平 均气温是多少,请画出(温度计)示意图.





4 、有一批食品罐头,标准质量为每听454克.现抽取10听样品进行检测,结果如下表(单位:克):
听号
质量
1
444
2
459
3
454
4
459
5
454
6
454
7
449
8
454
9
459
10
464

若把超过标准质量的克数y用正数表示,不足的 用负数表示,依照上表的数据列出这10听罐头与标准质量
的差值表(单位:克):
听号
y
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

分别用上面两个表格的数据求出10听罐头的总质量,比较这两种方法.




5、小钱上周五以收盘价买进股票1000股,每股20元.下表为本周每日股票 的涨跌情况(按收盘价即交易结
束时的价格计算):
星期
每股涨价(元)
一
+0.6
二
-1.3
三
+1
四
+0.7
五
-2
(1)到本周三收盘时,小钱所持股票每股多少元?




(2)本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元?




(3)已知小钱买进股票时付了4‰的手续费,卖出时又付 成交额4‰的手续费和3‰的交易税,如果小钱
在本周末以收盘价卖出全部股票,他的收益如何?





课后作业

29

1．判断题：在下列各题中，正确的在括号中打“√”号，不正确的在括号中打“×”号：
(1)两个数相加，和一定大于任一个加数． （ ）
(2)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数． （ ）
(3)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号． （ ）
(4)当两个数的符号相反时，它们差的绝对值等于这两个数绝对值的和． （ ）
(5)两数差一定小于被减数． （ ）
(6)零减去一个数，仍得这个数． （ ）
(7)两个相反数相减得0． （ ）
(8)两个数和是正数，那么这两个数一定是正数． （ ）

2、小京同学在计算16+(-24)+22+(-17)+(-56)+56时, 利用加法交换律、 结合律先把正负数分别相加,
得16+22+56+[(-24)+(-17)+(-56)].你认为 这样算能使运算简便吗?你认为还有其它方法吗?





3、用简便方法计算:
(1)1033.78+(-26)+(-39)+(-38); (2)12.7+(-24.6)+(-29.1)+6.8;





(3)-12+11-8+39； (4)+45-9-91+5；





(5)-5-5-3-3； （6)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28；




(7)
32[5








30

1
3
116
(3)5.252]

477

第7讲 有理数乘法
【知识要点】
1．有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘都得0；
（3）多个有理数相乘：
a：只要有一个因数为0，则积为0。
b：几个不为零的数相乘，积的符号由负数的个数决定 ，当负数的个数为奇数，则积为负，当负数的
个数为偶数，则积为正。
2．乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘交换因数的位置，积不变，即
abba
；
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即
(ab)ca(bc)
；
期望数学岛
（3）乘法分配律：一个数同两个数 的和相乘，等于这个数分别同两个数相乘，再把积相加，即
a(bc)abac
。
3．（1）一个数同1相乘，等于它本身；（2）一个数同
1
相乘得它的相反数。
【典型例题】
例1 （1）
(5)(2)(3)7
（2）
15()1(1)





例2 （1）
(




（3）
(3)(8)(0.125)
(4)
2.5

1.25



40

0.8





例3 计算
(1)
(370)()0.2524.5(5)(25%)
（2）99






例4
a

5
6
4
5
1
4
1
3
1117
)(30)
（2）
19(36)

6518
3
4
1
4
1
2
89
×（-）
9
10
3b2a
1
的值
,b2
时，求
(3)ab
2
31

例5 若
x y1
与

xy2001

互为相反数，求

xy

xy

的值．
2








经典练习
一．填空题：
1.（1）（－1）×（－5）= （－2）×（－5）= （－3）×（－5）=
（2）（－5）×6= （－5）×7= （－5）×（+8）=
（3）< br>

1

1

3


8


2



6




3

8

3

2

4

（4）（－2.6）×（－3.2）= ，（－4.5）×（－2.5）= ，－7.6×0.5=
（5）（－1）×（－2）×（-3）= ，（－0.1）×（－0.01）×（－100）=
(6) －37×（－6.89）×0×（－13）= 。
2.（1）绝对值大于1且小于4的所有整数的积是 ．
（2）绝对值不大于5的所有负整数的积是 ．
（3）若
a 0,b0,c0
，则

a

b

c
0．
（4）若
mn0,mn0
，则
m
0，
n
0．
（5）如果2000个相同因数的积等于每一个因数，那么每一个因数是 ．
（6）如果2000个不同因数的积等于0，那么这2000个因数中，有且只有一个数为 ．
（7）如果2000个因数的积等于0，那么这2000个因数中至少有一个数为 ．
(8)如果10个有理数之积是负数，那么这10个有理数中有 个负数.
二、判断题
(1)如果ab>0,且a+b<0,则a<0,b<0. ( )
(2)如果ab<0, 则a>0 ,b<0. ( )
(3)如果ab=0,则a,b 至少一个为0. ( )
三、计算，能简算就简算：
期望数学岛

32

（1）






（3）
12

2
557

18

1
3



36
< br>； （2）
9

15

；
9612

19

2
111

2215< br>
1
111

（4）
130.34

13

0.34


42612

3737







（5）

357



3



357



5



357



2
< br>； (6)1987×19861986-1986×19871986






(7)

8



12



0.125





1


3




0.001







(8)


13
1



1



6
2




1



1

3

5

3

5

196
7



1
5




76
1

1
7



5









四、解答题

33

1．若
ab0
，求






2.已知四个各不相等的整数的乘积为25,求这四个数的和.






3. 根据气象统计资料，高度每增加1000米，气温就减低大约6 ℃。现在山脚下的气温是35 ℃，则5000
米 高的山顶上的气温大约是多少？







课后作业
一、选择题
1．如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧，那么这两个有理数的积（ ）
A、一定为正数 B、一定为负数 C、为零 D、可能为正数，也可能为负数
abab

的值．
abab
2．若干个不等于0的有理数相乘，积的符号（ ）
A、由因数的个数决定
C、由负因数的个数决定
B、由正因数个数决定
D、由负因数的大小决定
3．若1000个有理数相乘的积为0，那么（ ）
A、每个因数一定都为0
C、至多有一个因数不为0
B、每个因数都不为0
D、至少有一个因数为0
4．一个数和它的相反数的积是（ ）
A、正数 B、负数 C、一定不小于0 D、一定不大于0
5．下列说法正确的是（ ）
A、同号两数相乘，符号不变 B、异号两数相乘，取绝对值大的乘数的符号
C、两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号
D、两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数
6．下列条件，能使
abb
成立的是（ ）

34

A、
a0,b0
B、
a1,b0
C、
a0,b0
D、
a1,b0

7．若满足等式
abab
成立，则
a,b
应满足（ ）
A、
a0,b0
B、
a0,b0
C、
a,b
同号 D、
a,b
异号
8．若
abc0
，则一定有（ ）
A、
abc0
B、
a0
C、
b0
D、
a,b,c
中至少有一个是0
二、判断题
1．如果两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧，那么它们的积一定为负数．（ ）
2．两个有理数的和是正数，积是负数，则绝对值大的数是正数，另一个数是负数．（ ）
3．两个有理数的积是负数，则这两个数一定互为相反数． （ ）
4．两个有理数互为相反数，则这两个有理数的积一定为负数. （ ）
三、计算题
1.



5


6




2.4






3

5


2.< br>
32





8
2

3







3

5


0

813








3．


9
22

23




69

4．

999



98

5．




8

9




0.25




1


4




9







6.


1
1


2






11

1

1

1

1

1

3





1< br>4





1
5





1
6





1
7





1
8











35

第8（1）讲有理数的除法及乘方
【要点提示】
一、有理数除法
1．倒数的定义
（1）乘积为1的两 个数互为倒数，即如果
ab1
，则
a,b
互为倒数。反之，两数互为倒数， 则两数的
乘积为1，即若
a
、
b
互为倒数，则
ab1，
a
（2）数
a(a0)
的倒数就是
（3）0没有倒数
（4）负倒数的定义：乘积为－1的两个数互为负倒数，数
a
的负倒数为

1

b
1

a
1
(a0)

a
2．有理数除法法则
（1）法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数
（2）符号确定：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个非零数，等于0；0不能作除数！
二、有理数乘方
1．
n< br>个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂；用字母表示
a

a a


a
记作
a
n
，其中
a
n个a
叫做底数，
n
叫做指数，
a
n
的 结果叫做幂；读法：
a
n
读作
a
的
n
次方。
2．正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

【典型例题】
例1．求下列各数的倒数和负倒数。
（1）2 （2）
1





例2．计算：
（1）
(256)(16)
（2）
(0.009)0.03
（3）
(3.3)(3)










3
（3）
0.04
（4）20%
4
1
3

36

例3．计算：（1）
2.51
1
(4)
（2）
(2
1
)(
5
414
)(
578
)






（3）
(1
3
4

7
8

7
12
)(
7
8
)
（4）
65
1 512312
17
(
13
)(17
17
)(< br>13
)







2 2
（5）
6

0.25


11

1

2

1

14
（6）



4




4< br>




8








23
（7）
3
6




1
1

2







2

3




4

2


1

23







例4．计算：
( -
2
2
2
2
2
2
3
)=
；
(
3
)=
；
-
3
=
；
-(
2
3
)
2
=
；
(-2)
2
3
=







例5．若
n
为自然数，求
1
n;(1)
2n
;(1)
2n1
;(1)
2n1
;0
n
(n0)








37

经典练习
一、填空题：
1.－7的倒数是 ,

11
4
的倒数是 ,
1
3
的倒数是

2．化简下列分数：
（1）

28
7

（2）
3
24

（3）
7
5

1

（4）
0.2


2
3．

3

10
读作 ，其中底数是 ，指数是 ．
4.（1）（－21）× =－7 （2） ×（－8）=
1
6
（3）
0

8



（4）< br>



1

4
2

< br>
, （5）
2
4

,（6）

0.1

3



二、选择题
1．下列式子的值为正的是（ ）．
A、
3
10
B、

3

9
C、
3
9
D、

3

10

2.如果
ab0
，则
a,b
（ ）
A、都为0 B、不都为0 C、至少有一个为0 D、都不为0
3.下列说法正确的是（ ）
A、任何正数大于它的倒数 B、任何小于1的数，它的倒数一定大于1
C、任何数都有倒数 D、两数互为倒数，它们的相同次幂仍互为倒数
4．一个有理数和它的相反数之积（ ）
A、符号必为正 B、符号必为负 C、一定不小于零 D、一定不大于零

三、计算
（1）
6

0.25


11
14
（2）

1




2
1





4
2



7

3
< br>





(3)



1

2001
2002
2

2




2

（4）
1.25

3.2





0.5

2
3


2
3









38

有理数的除法及乘方作业
一、填空题
1．
2

1

415

25
；
0.375

5


；
71

8



3

1516

111
25.6

0.064


；
3
;
10

0.25



712
2．倒数是它本身的数为 ，相反数是它本身的数为 ；平方为它本身的数为 ，绝对
值为它本身的数为 ；立方为它本身的数为 ．
5

1

3.在



中， 指数为 ，底数为 ．

2

二、解答题
（1）
999






(3)









(5)
1

3()1


< br>()(2)


233















39
63
(1)

77
（2）
(0.125)(1)(8)(1)

2
3
2
3
113

1

1223


(4)
0.250.751()(140%)()

4267314
455

1


2
2< br>

1
3


3
(6)

4

0.1740.17

4

5 0.17

2

第8（2）讲科学记数法与近似数

知识要点梳理：
科学记数法定义：一个大于10的数可以表示成
a10
n
的形式，其中1≤
a
＜10，n是正整数，这种记数
方法叫科学记数法．
有 效数字的定义：从近似数的左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的
有 效数字。
在使用和确定近似数时要特别注意：
（1）一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零。
（2） 用科学记数 法表示的数，其有效数字只是其数字a的部分，不包括后面的10的n次方，但精确
到哪一位时，要把原 数恢复，才能找到精确到哪一位。
后面带“万”或“亿”的数也是如此。
【经典例题分析】
例1.用科学记数法表示下列各数
1000000 320000000 －45000000


737000 3000000000 12




例2． 下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？
（1） 132.4 （2） 0.0572

（3）2.40万 （4）
2.310
4



例3．用四舍五入，按括号中的要求对下列各数取近似数。
（1） 0.34082（精确到千分位） （2） 64.8（精确到个位）
（3） 1.5046（精确到0.01） （4） 0.0692（保留2个有效数字）
（5） 30542（保留3个有效数字）


40

实际问题

例1：要把一根100cm长的圆钢截成6cm的一段做零件。最多可以截得几段（不计损耗）？



例2：上例中，若要截出85段6cm长的圆钢来做零件，需要用100cm长的圆钢多少根？







【课堂演练】
1、下列各数是不是科学记数法？
①1.5×10
④2.58×100

2.用科学记数法表示下列各数：
①4002000 ② 0.89×10

④249

4
3
③0.32×10
3
3
⑤1.5×2
5
⑥1.00×10
③－10600

⑤－123×10
4


3.请用科学记数法表示下列各个数据（至少用两种方法）．
如：天安门广场的面积约是44万平方米： ①
4.410
万平方米； ②
4.410
5
平方米.
光的速度约是300 000 000米秒：
全世界人口数大约是6 100 000 000人：
第五次人口普查时，中国人口约为1 300 000 000人：
中国的国土面积约为9 600 000平方千米：
我国信息工业总产值将达到383 000 000 000元：
4. 实施西部大开发战略 是党中央面向21世纪的重大决策，西部地区占我国领土的
960万平方千米，用科学记数法表示我国西 部地区的领土面积为（ ）平方千米
A.64 ×10


41
5
2
，我国领土面积约为
3
B.640×10
4
C.6.4×10 D.6.40×10
7 6

5.（1）一天24小时有多少秒？你能用科学记数法表示吗？


（2）一年中有多少秒？用科学计数法表示。



6.用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似数。
⑴2.5123（精确到0.01）
⑵0.05023（保留一个有效数字）
⑶20.995（保留四个有效数字）
⑷5678000（精确到万位）
⑸234567（精确到百位）
⑹503078（保留2个有效数字）

【巩固练习】
基础训练题
1、（2009，宁波）据《宁波市休闲基地和商务会议 基地建设五年行动计划》，预计到2012年，宁波市接
待游客容量将达到4640万人，4640万用 科学计数法表示（ ）
A.0.46×10 B.4.64×10 C.4.64×10 D.46.4×10
2、（2009，成都）改革开放30年来以来 ，成都的城市化推进一直保持着快速稳定的发展状态，据统计到
2009年底，成都中市中心五城区（不 含高新区）常住人口已达到4410000人，对这个常住人口有以下表示
方法：①4.41×10人； ②4.41×10人；③44.1×10人。其中是科学记数法表示的序号为________
3、写出下列用科学记数法表示的数的原数;
①3.456×10 ②4.040×10

4
565
9 8 7 7
③-2.58×10

3
④1.00×10
7
4、1240.5的整数位数为4，1.24×10的整数位数为 ，
5.8×10的整数位数为
5、比较下列数的大小：① 1.5×10 1.2×10

4 5
7
3
② －1.49×10 -2.58×10
42
43

6.3是
3
11
的近似值， 其中的
3
叫做真值。由四舍五入法得到的近似数是27，下列各数哪些可能是真值？
3 3
|

⑴26.48 ⑵26.54 ⑶27.59 ⑷26.96 ⑸27.04


7、用四舍五入法，分别按要求取0.05126的近似值，下列四个结果中，错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到0.01）
C．0.051（精确到0.001） D．0.0513（精确到0.00001）
8、3.60万精确到（ ）
A．千位 B．百分位 C．万位 D．百位
9、用四舍五入法把23400保留两个有效数字的近似值是（ ）
A．23 B．
2310
3
C．
2.310
4
D．2.34
10、205001精确到万位的近似数是（ ）
A．
2.010
5
B．
2.110
5
C．
2110
4
D．2.05万
11、
3.01010
5
的有效数字是（ ）
A．3，1 B．3，0，1 C．3，0，1，0 D．3，0，1，0，0，0
12、近似数3.70所表示的准确数a的范围是（ ）
A．
3.695a3.705
B．
3.60a3.80

C．
3.695a3.705
D．
3.700a3.705

能力题
1.120万用科学记数法应写成（ ）；
2.近似数3.5万精确到（ ） 位，有（ ）个有效数字.
3.5.47×
10
5
精确到（ ）位，有（ ）个有效数字；
4.某数有四舍五入得到3.240，那么原来的数一定介于（







43

第9讲 有理数的混合运算

1．有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2．运算律的应用：正确合理地进行有理数的混合运算，要注意灵活运用运算律的简化 运算，培养解题能
力，提高运算速度。
【典型例题】
例1．（1）
0.2 5

2

3



4
< br>

2

2

1






3










1

3
（2）
0.2 5
2



11

10

2





8

2



1









2
（3）


1


4






2
1
113

1
2





11
4
2
3
13
4


 24

0.2

3









（4）


1-

1-0.5×
1




×
2


3



2-

-3










例2．已知
a,b
互为相反数，
c,d
互为倒数，试求< br>(ab
ab
)x(ab)
2003
(cd)
2 003
cd
的值。

44

3．当
(x2)
2
y30
，求
x
y
及
xy
2
例
2x3y
的值。






例4．如果
(a1)
2(2b3)
2
c10
，求
3abca
3
 c
3
的值









经典练习
一、选择题
1．若
ab0,ab0
，那么下面正确的是（ ）
A、
a0,b0
B、
a0,b0
C、
a0,b0
D、
a0,b0

2．若
aba
，则
b
是（ ）
A、正数 B、负数 C、整数 D、任意有理数
3．如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）
A、－1 B、0 C、1 D、－1，0，1
4．下面四个命题中，正确的是（ ）
A、若
ab
，则
a
2
b
2
B、若
ab
，则
ab

C、若
ab
，则
a
2
b
2
D、若
ab
，则
ab

5．下列运算中，正确的是（ ）
A、―15―5=－10 B、


3
3



4



3.75

0

C、
9

3

2
1
D 、
3
4


3.14

6
3
77
3.1431.4
二、填空
1．直接定出下列各式的结果：

45

（1）

1

4


1

3

（2）
32
2
4
（3）
(23)
2


1

10


2
2
（4）
2
2
2
1
2

（5）< br>

2

5


1

2< br>


5



2

（6）











3



2．已知
a2,b1, c3
，则：
（1）

ab3c

2

（2）
a
2
bc
（3）
b
a
c
b

a
c


3．计算：
2
（1）

3


1
3





1

3


3
（2）

0.1

3

1

3

4




5








（3）
990.5
2
（4）



5
2




3




5

15


871







三、解答题
1．已知x
1
2
,y0.2
，求
3x2y2x3y
的值．






2.


1
1



1
1

2

1

2
3


1

4





1
2


16






5
3


．


3








课后作业
一、填空题

46

1．若
5.3
2
28.09
，则
(

)
2
2809
，
(

)
2
0.2809

2．绝对值大于2而小于5的所有整数的和为 ，积为 ．
3．当
a
时，代数式
8

a1

2
取得最大值 ，此时代数式
a
2
2a1
的值为 ．
4．当
a
时，
a
2
a
；当
a
时，
a
3
a
．
5．当

x3
2
y10
，则
xy
，
xy
2
3xy

．
6．若a
2
b
2
，且
ab
，那么
ab
．
二、计算题
1．
3
1
2
5
3
5


2


5
14
2．
1
4


10.5


1< br>3


2

3

2









3．
1
1


2

2



1

3


157

2
2

3



1




3








3




2




4．


2
3
6

12




6










5．
1
37


2< br>
4




3

2


2

1

1


22


2





< br>
2
2

















47

第10讲 整式的概念
【要点提示】
1. 单项式：由数或字母的乘积构成的代数式，叫做单项式。单独一个数与一个字母也是单项
式。
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
3. 单项式和多项式统称整式。
4. 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这
个单项式的次数。
5. 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。 一个多项式
含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
6. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。

【典型例题】
13y
2
2x
2
3
0
，， ，，
2xy
，

中，是单项式的有（ ）个 例1 在下列各式：
0.1a
，
xy
，
2x1

x4
2 A．4 B．5 C．6 D．7
例2 单项式
1
2

x
的系数是 ，次数是 ；单项式
2x
m1
y
n
是 次单项式。
2
2
ab
例3 若
a1(b3)0
，求单项式
5x




例4 若多项式
2xnx




2m1
y
2a
的系数和次数。
yy
是一个三次三项式，且最高次项的系数是1，求
mn
的值。
例5 关于
x
的多项式
(m4)xxxn

（1）当
m,n
为何值时，它是二次三项式？（2）若
x2
时， 求此二次三项式的值。




48
3n

例6.已知2a
x
b
n-1
与-3a
2
b
2m
是同类项,那么
(2mn)
=________



x




例7.已知x=2,y=
4
时,代数式ax
3
+
11
b y+5=1997,求当x=
4
,y=

时,代数式3ax-24by3
+5000的值.
2
2








经典练习：
1.在整式(1) x + 1 ，(2)

r
2
，(3)

3
2
x1
2
ab
，(4)
2
，(5)－2 ，(6) m，(7) x
2
–2x + 3中，
是单项式， 是多项式（填编号）。
2．(1) 单项式
3ab
3
c
2
的系数是 ，次数是 。
(2)单项式
5
4
x
2
y< br>3
z
的系数是 ，次数是 。
单项式

2

x
3
(3)
y
3
的系数是 ，次数是 。
3．(1) 多项式：x
3
－2x
2
y
2
＋3y
3
是一个 次 项式，
它的项分别是_______________________________。
(2) 多项式：
2x
2
y
3
3xy2y1
是一个 次 项式，其中一次项的系数是________。
4． (1)写出
5x
3
y
2
的一个同类项 ；
(2)若 18 x
8
y
n
与 – 2 x
m
y
2
是同类项，则 m = ， n =
(3) 若 7 x
5
y
n – 1
与 – x
m + 2
y
3
是同类项，则 m = ， n =
(4)若
2x
2
y
a
3x
b
y
3
x
2
y
3
，则a=____,b=_____.

49

5.已知ABCD是长方形，以DC为直径的圆弧与AB只有一个交点，且AD=a。
（1）用含a的代数式表示阴影部分面积；
（2）当a＝10cm时，求阴影部分面积 （

取3.14，保留两个有效数字）










6. 如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个正方形组成．
n=1
n=2
n=3
n=4

（1）第2个图形中，火柴棒 的根数是________；（2）第3个图形中，火柴棒的根数是________；
（3）第4个图 形中，火柴棒的根数是________；（4）第n个图形中，火柴棒的根数是_________．






随堂检测：
1．在下列代数式：1
2
ab，
ab
2
，ab
2
+b+1，3
x
+
2
y
，x
3
+ x
2
－3中，多项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D5个
2．多项式－2
3
m
2
－n
2
是（ ）
A．二次二项式 B．三次二项式 C．四次二项式 D五次二项式
3．下列说法正确的是（ ）
A．3 x
2
―2x+5的项是3x
2
，2x，5
B．
x
3
－
y
3
与2 x
2
―2xy－5都是多项式
C．多项式－2x
2
+4xy的次数是３
D．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6
4．下列说法正确的是（ ）
A．整式abc没有系数 B．
x
2
+
y
3
+
z
4
不是整式
C．－2不是整式 D．整式2x+1是一次二项式

50

5．下列代数式中，不是整式的是（ ）
A、
3x
2
B、

5a4b

7
C、
3a2

5x
D、－2005
6．下列多项式中，是二次多项式的是（ ）
A、
3
2
x1
B、
3x
2
C、3xy－1 D、
3x5
2

7．x减去y的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）
A、
(xy)
B、
xy

8．下列单项式次数为3的是( )
A.3abc B.2×3×4 C.
222
C、
xy

2
D、
xy

2
1
3
xy
4
D.5
2
x

9．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。 已知该楼梯长S米，同学上楼速度是a米分,下楼
速度是b米分,则他的平均速度是（ ）米分。
A、
ab

2
B、
s

ab
C、
ss


ab
D、
2s
ss

ab

10．下列代数式中整式有( )
11xy5y
， 2x+y， a
2
b， ， ， 0.5 ， a
x3

4x
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
11．下列说法正确的是( )
A．x(x＋a)是单项式 B．
x
2
1

不是整式 C．0是单项式 D．单项式－
1
2
1
xy的系数是
33
12．在多项式x
3
－xy
2
＋2
5
中，最高次项是( )

A．x
3
B．x
3
，xy
2
C．x
3
，－xy
2
D．2
5

3xy
2
13．单项式－的系数与次数分别是( )
2
13
A．－3，3 B．－，3 C．－，2
22
14．下列说法正确的是( )
D．－
3
，3
2
A．x的指数是0 B．x的系数是0 C．－10是一次单项式 D．－10是单项式
15．已知：
2xy
与
5xy
是同类项，则 代数式
m2n
的值是( )
A、
6
B、
5
C、
2
D、
5

16．系数为－
A．1个
m3
n
1
且只含有x、y的二次单项式，可以写出( )
2
B．2个 C．3个 D．4个
17．某三位数的个位数字为
a
，十位数字为
b
，百位数字为
c
，则此三位数可表示为 .


51

18．多项式x
3
y－2xy－
22

4xy
－9是___次___项式，其中最高次项的系数是 ，二次项是 ，
3
常数项是 ．
19. 如果整式(m－2n)x
2
y
m+n-5
是关于x和y的五次单项式，则m+n
20．若


11
|2x－1|＋|y－4|＝0，试求多项式1－xy－x
2
y的值．
23



课后作业：
5x
2
y
1．单项式－的系数是 ，次数是 ．
6
2. 代数式
4x
2
y5x
3
y
2< br>7xy
3

6
是_____次_____项式，最高次项是____ __，常数项是_______，
7
3．下列各组式子中，是同类项的是（ ）
A、
3xy
与
3xy
B、
3xy
与
2yx
C、
2x
与
2x
2
D、
5xy
与
5yz

4. “a、b两数的平方和”用代数式表示为
5.超市进了一批商品，每件进价为a元，要获利25%，则每件商品的零售价应定为_____.
6. 某班a名同学参加植树活动，其中男生b名(
b
＜a)．若只由男生完成，每人 需植树15棵；若只由女生
完成，则每人需植树 棵。
7.右图，阴影部分的面积是_____________。
8.设n表示任意一个整数，利用n的式子表示：
(1)任意一个偶数:_________; (2)任意一个奇数:_________.
9.实验中学初三年级12个班中共有团员a人，则

2y
3x
0. 5
x
22
y
a
表示的实际意义是___ __ .
12
10给多项式2x＋3y赋予一个实际的意义： ______________________________________.
11．我们知 道：
12
2

21

3

3 1

4

41

3
，
123 6
，
123410
，由
222
此可以得到，从1到n这 n个正整数的和1 + 2 + 3 + …… + n = .
12. 据规律回答：
135
9；
1357
16；
13579
25 … …你能很快算出
1357999
等于多少吗？



52

13. 已知关于x的二次多项式a(x
3
-x
2
+3x )+b(2x
2
+x)+x
3
-5,当x=2时的值为-17,•求当x=- 2时,该多项式的
值.






14 .王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示根据图2-3中的数据（ 单位：
m），解答下列问题：
(1)用含x、y的代数式表示地面总面积；
(2)如果x=4米，y=1.5米．若铺1m
2
地砖的平均费用为80元，
那么铺地砖的总费用为多少元？



















客厅

3
卧室
y
卫
生
间
2
2
x
6
图2-3

厨房





53

第11讲 整式的加减
【知识要点梳理】
1.合并同类项：系数相加，字母及字母的指数不变
2．去括号法则：括号前面是“+”号， 把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。括号
前面是“－”号，把括号和它前面的“ －”去掉，括号里各项都改变符号。
3．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的 各项都不变符号，添括号后，括号前面是
“－”号，括到括号里的各项都要改变符号。
4.整式加减的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项.

【经典例题】
例1.合并下列多项式中的同类项：
① 2
a
2
b－3
a
2
b＋0.5
a
2
b； ②
a
3
－
a
2
b＋
a
b
2
＋
a
2
b－
a
b
2
＋b
3
；< br>



③5(x＋y)
3
－2(x－y)
4
－2(x＋y)
3
＋(y－x)
4
。






例2.求多项式3x
2
＋4x－2x2
－x＋x
2
－3x－1的值，其中x=－3。






例3．化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a－b）； （2）（5a－3b）－3（a
2
－2b）．




54

(3) a―(2a+b)+2(a―2b)； (4) 3(5x+4)―(3x―5)；





(5) (8x―3y)―(4x+3y―z)+2z； (6) ―5x< br>2
+(5x―8x
2
)―(―12x
2
+4x)+
1
5
；





(7) 2－(1+x)+(1+x+x
2
－x
2
)； (8) 3 a
2
+ a
2
－(2a
2
－2a)+(3a－a
2
)；





(9) 2a－3b+［4a－(3a－b)］； (10) 3b－2c－［－4a+(c+3b)］+c。






例4.先化简，再求值：
x

y2x


3x2

y2x

5y


,其中x
1
2
,y1






例5：在括号内填入适当的项：
(1)x
2
－x+1= x
2
－(__________)； (2) 2x
2
－3x－1= 2x
2
+(__________)；
(3)(a－b)－(c－d)=a－(______________)。
(4)(a+b－c)(a－b+c)= [a+( ) ][a－( )]

55

例6．按要求将2x
2
+3x―6：（每种情况至少写两个结果）
(1)写成一个单项式与一个二项式的和； (2)写成一个单项式与一个二项式的差。






22
例7.一个整式减去< br>xy
的2倍，得
3x8y
，求当
x2y3
时这个整 式的值.
2222









【经典练习】
1. 下列各式中，去括号正确的是（ ）
A.3-（a-b）=3-a-b B.3+2（a-b）=3+2a-b
C.2+（a-b）=2+a+b D.2-（a-b）=2-a+b
2．已知
Aa
3
2ab
2< br>1
，
Ba
3
ab
2
3a
2
b
，则
AB
( )
A．
2a
3
3ab
2
3a
2
b1
B．
2a
3
ab
2
3a
2
b1
< br>C．
2a
3
ab
2
3a
2
b1
D．
2a
3
ab
2
3a
2
b1

3．从
2a5b
减去
4a4b
的一半，应当得到（ ）．
A.
4ab
B.
ba
C.
a9b
D.
7b

4．减去-3m等于5m
2
-3m-5的式子是（ ）
A．5（m
2
-1） B．5m
2
-6m-5 C．5（m
2
+1） D．-（5m
2
+6m-5）
5．今 天数学课上，老师讲了多项式的加减，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师讲的内
容，他 突然发现一道题
(x
2
3xy
1
2
131
y )(x
2
4xyy
2
)x
2
+______ _______＋
y
2
空格的
2222
地方被钢笔水弄污了，那么空 格中的一项是（ ）
A．
7xy
B．
7xy
C．
xy
D．
xy


56

6．小明在求一个多项式减去x
2
—3x+5时，误认为加上x
2
—3x+5，结果得到的答案是5x
2
—2x+4，则正确

的答案是_______________．
7. 若整式2x
2
+5x+3的值为8，那么整式6x
2
+15x-10的值是

8.化简：
（1）
2a3b[4a3(3ab)]
（2）
2(xy)3(xz)4(z3x)






（3）
2x
2
2[x2(x
2
2x1)4]
（4）
3
[
2
(x1)4] (
1
232
x1)






（5）已知A=2x
3
－xyz，B=y
3
－z
2
＋xyz，C=－x
2
＋2y
2
－xyz，且(x＋1)
2
＋
y1
＋
z
=0。
求：A－(2B－3C)的值。






(6)、已知x+4y=－1，xy =5，求(6xy＋7y)＋[8x－(5xy－y＋6x)]的值。









57

9.先化简，再求值

ab2bab) 3a(2ba3ab3a)
，其中
4b
a3
，
b2< br>
2(
2323223








10.（6分）小明在实践课中做了一个长方形模型，模型一边长为< br>3a2b
，另一边比它小
ab
，则长方形
模型周长为多少？








11. （8 分）云南省出租车收费标准因地而异，昆明市为：起步价8元，3千米后每千米价为1.8元；曲
靖市为 ：起步价5元，2.5千米后每千米1.2元。
（1）请你列出代数式表示昆明、曲靖两市乘坐出租车x（x>3）千米的收费；
（2）试问在昆明、曲靖两市乘坐出租车x（x>3）千米的花费相差多少元（用代数式表示）？







12.某市一中七年级（ 8）班的同学乘火车去省外参加夏令营，已知在他们乘坐的卧铺车厢中，出发时有（6x+y）
人，中途 站下车一半人，又上车若干人，到站时车上共有乘客(9x+4y)人。请问中途站上车的乘客是多少人？
当x=4,y=2时，请计算中途站下车与上车的具体人数。









58

课后练习：
1.化简
（1）
1
2
st-3st+6 （2）5a+3b-6a+7b



（3）7xy+xy
3
+4+6x-
2
3
5
xy-5xy-3 （4）2(2a-3b)+3(2b-3a)



（5）2(x
2
-xy)-3(2x
2
-3x y)-2[x
2
-(2x
2
-xy+y
2
)] （6）
(5a
2
b
1
2
ab
2
)( 4ba
2
2ab
2
)




（7）
(6m
2
4m3)(2m
2
4m1)





（8）3(3a-2b)-2（a-3b） （9）(4a
2
-3b
2
)-「2（a
2
-1）+2b2
-3」




2.若
a2

b3

2
0
，求3a
2
b－[2ab
2
－2（ab－1.5a
2
b）+ab]+3ab
2
的值；






59

第
12
讲

整式的加减复习与巩固（提高篇）
【学习目标】
1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项 ，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、
求值；
3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
【知识网络】


【要点梳理】
要点一、整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这 个多项式按这个字母降幂排
列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做 把这个多项式按这个字母升
幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
要点二、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则： 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括
号前面是“-” ，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括 号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，

60

括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用 括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后
去括号，合并同类项．
【典型例题】
类型一、整式的相关概念


1．指出下列各式 中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是
几次几项式．
(1)
a3
(2)5 (3)
xmn1
2x
(8)1+a% (9)
(ab)h

b
(4)
y
(5)3xy (6) (7)
a
2

52







举一反三：
【变式1】若单项式
2x
a
y
b2
与单项式
3y
2b
x
5
的和是单项式，那 么
3ab

【变式2】若多项式
(m4)x
3x
n1
5x(nm2)
是关于
x
的二次三项式，则
m________
n________
，这个二次三项式为 。

类型二、同类项及合并同类项

2．若
2m
3m1
n
3
xy与
1
52n1
5
xy
是同 类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加.






举一反三：

【变式】合并同类项．
(1)
3x2
4xy4y
2
5x
2
2xy2y
2






61
，

(2)
5xy









9
32
911 1
xyxyx
3
y
2
xyx
3
y5．
2424
类型三、去（添）括号
3．化简
x









举一反三：
【变式1】下列去括号正确的是( )．
A．
a(2abb)a2abb

B．
(2xy)(xy)2xyxy

C．
2x3(x5)2x3x5

D．
a[4a(13a)]a4a3a1

3232
2 2
2222
2222
2
1

1
2

x(xx)
．

2

2

【变式2】先化简代数式
代入求值．








211

a

a
2


(3a
2
5a1)a5


，然后选取一个使原式有意义的a的值
33


3
62

【变式3】(1) (x＋y)
2
－10x－10 y＋25＝(x＋y)
2
－10(______)＋25;
(2) (a －b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]．

类型四、整式的加减
4. 从一个多项式中减去
2ab3bc4
，由于误认为加上这个式子，得到
2bc2ab1
，试求正 确
答案。








举一反三：
【变式】已知A＝x
2
＋2y
2
－z
2
，B＝－4x
2
＋3y
2
＋2z
2
，且A＋B＋ C＝0，则多项式C为(
A．5x
2
－y
2
－z
2
B．3x
2
－5y
2
－z
2

C．3x
2
－y
2
－3z
2
D．3x
2
－5y
2
＋z
2

类型五、化简求值
5. （1）直接化简代入
当
a1
1
2
时，求代数式 15a
2
－{－4a
2
＋[5a－8a
2
－(2a
2
－a)＋9a
2
]－3a｝的值．








（
2
）条件求值

已知
(2a
＋
b
＋
3)
2
＋｜
b
－
1
｜＝
0
，求
3a
－
3[2b
－
8
＋
(3a
－
2b
－
1)
－
a]
＋
1
的值．












)．
63

（
3
）整体代入

(
2010
·鄂州)已知< br>m
2
m10
，求
m
3
2m
2
2009
的值．








举一反三：
【变式】已知
2ab
ab
6
，求代数式
2(2ab)3(ab)
ab

2ab
的值．







类型六、综合应用
6. 对于任意有理数x，比较多项式
4x
2
5x2
与
3x
2
5x2
的值的大小．









举一反三：
【变式】设
A 2x
2
3xyy
2
x2y
,
B4x
2
6xy2y
2
3xy
.
若
x2a(y3)
2
0
且
B2Aa
，求
a
.





64

巩固练习

一、选择题
1．A、B、C、D均为单项式，则A+B+C+D为( )．
A．单项式 B．多项式
C．单项式或多项式 D．以上都不对
2．下列计算正确的个数 （ ）
①
3a2b5ab
；②
5y
2
2y
2
3
； ③
4x
2
y5y
2
xx
2
y
；
④
3x
2
2x
3
5x
5
； ⑤
3xy3xyxy

A．2 B．1 C．4 D．0
3．现规定一种运算：a * b ＝ ab + a - b，其中a，b为有理数，则3 * 5的值为( )．
A．11 B．12 C．13 D．14 < br>4．化简
(1)
n
a(1)
n1
a
(n为正 整数)的结果为( )．
A．0 B．-2a C．2a D．2a或-2a
5．已知a-b＝-3，c+d＝2，则(b+c)-(a-d)为( )．
A．-1 B．-5 C．5 D．1
6. 有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则
accbba
（ ）
A．－2b B．0
C．2c D．2c－2b
7．当x＝-3时，多项式
ax
5
bx
3
cx5
的值是7，那么当x＝3时，它的值是( )．
A．-3 B．-7 C．7 D．-17
8．如果
2(m1)aa
n3
是关于
a
的二次三项式，那么m，n应满足的条件是( )．
A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3
C．m≠-1，n为大于3的整数 D．m≠-1，n＝5

二、填空题
9．
mx
n
y
是关于x，y的一个单项式，且系数是3，次数是4 ，则m＝________，n＝________．
10． （1）
x
2
 xyy
2
x
2

（___________）；
（2）2a－3（b－c）＝___________．
（3）
5x
2
6x1
(________)＝7x+8．
11．当b＝________时，式子2a+ab-5的值与a无关．

65

12．若
abc
4
， 则
30(bac)
________．
5
13．某一铁路桥长100 米，现有一列长度为l米的火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用
1分钟时间，则火车的 速度为________．
14．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个 图案需要19枚棋子，摆第3个
图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚
棋子．




…

三、解答题
15.先化简，再求值：

4x
3
- [-x
2
-2( x
3
-
1
2
x
2
+1

)]，其中x= -
1
3
．





16．已知：
a
为有理数，
a
3
a
2
a10
，求
1aa
2
a
3
a
4
...a
2012
的值．










17. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形
A
ED
和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,
其中，GH=2cm, GK=2cm, 设BF=x cm,
（1）用含x的代数式表示CM= cm,
DM= cm.
（2）若x=2cm，求长方形ABCD的面积.

GK
M

F
H

B
C


66

第13讲 从算式到一元一次方程
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念

1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) .
（3）一元一次方程的最简形式是： ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）.
要点三、等式的性质

1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果，那么 (c为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果

【典型例题】
，那么；如果，那么.
类型一、方程的概念

例1．下列各式，哪些是等式？哪些是方程？
① 3a+4；②x+2y＝8；③5-3＝2；④
x
＜-2a．







2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )．
A．2x-1＝3 (2，-1) B．

18
2
；⑤y＝10；⑥
 3
；⑦3y
2
+y＝0；⑧2a
2
-3a
2
；⑨ 3a
xx
5x1
x1
(3，-3)
8
67
C. (x-1)(x-2)＝0 (1,2) D．2(y-2)-1＝5 (5，4)

举一反三：

【变式】（
201 1
广东湛江）若是关于的方程的解，则的值为
__________.


类型二、一元一次方程的相关概念

3．已知下列方程：①
x2
10
；②x＝0；③
1x
x3
；④x+y＝0；⑤< br>6x2
；⑥0.2x＝4；⑦2x+1-3
x3
＝2(x-1)．其中一元 一次方程的个数是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5

【总结升华】判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知 数；②经过
整理未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）．
举一反三：

【变式】(1)已知关于x的一元一次方程
1
3m2
x0
，求得m＝________．
5
(2)已知方程(m-4)x+2＝2009是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是________．
(3)若
(m2)x
|m|1
5
是关于x的一元一次 方程，则m的值为( )
A．±2 B．-2 C．2 D．4
类型三、等式的性质

4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根 据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的．
(1)若4a＝8a-5，则4a+________＝8a．
1
，则x＝________．
3
11
(3)
x3y13y
，则
x1
＝________．
22
(2)若
6x
(4)ax+by＝-c，则ax＝-c________．

举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
（1）由2+x=-4, 得x=-4+2.
（2）由9x=-4, 得
x
9
.
4
（3）由5=x-3, 得x=-3-5.
（4）由
3x24x1
，得3x-2=5-4x+1.
1
55
(5)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.

(6)由
37x2x1
2x
，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x.
23


68

类型四、等式或方程的应用

5.观 察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上
分别写出相对应的等式．
……
(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．

举一反三：
【变式】（20 11山东滨州）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百
分率 为x,则下面所列方程中正确的是( )
A.
289

1x

256
B.
256

1x

289

C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289

22
【巩固练习】

一、选择题
1．下列各式是方程的是( )
A．
5x3y7
B．2m-3＞1 C．25+7＝18+14 D．
3t8t5

32
2. 若x＝1是方程2x-a＝0的解，则a为( )．
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．若关于x的方程(k-1)x
2
+(4k+3)x+3 k-5＝0是一元一次方程，则k的值为( )．
A．0 B．

35
C．1 D．
43
4．根据图所示，对a、b、c三种物体的重量判断正确的是( )．

A．a＜c B．a＜b C．a＞c D．b＜c

5．有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，而鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为x，则列出的方程应是( )．
A．2x+(70-x)＝196

69

B．2x+4(70-x)＝196
C．4x+2(70-x)＝196
D．2x+4(70-x)＝

196

2
6.已知关于
y
的方程
y3m24
与
y41
的解相同，则
m
的值是 （ ）
A．9 B．-9 C．7 D．-8
7. 一件商品按成本价提高40% 后标价，再打8折（标价的
8
）销售，售价为240元，设这件商品的成本
10
价为
x
元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
88
=240 B．x（1+40%）×=240
1010
88
C．240×40%×=x D．x·40%=240×
1010
A．x·40%×
8. 将
x0.50.01x
1
的分母化为整数，得( )．
0.20.03
x0.50.01x
1

23
x0.50.01x
100

203
A．
C．
50x
100

3
50x
D．
5x1

3
B．
5x

二、填空题
9. 已知
m3

x
m2
m30
是关于
x
的一 元一次方程，则m的值为 .
10．已知x=3是方程
2x
2
 (m1)x6
的解，则
m
________.
11.若
34x(2y)0
，则
xy
.
12.将方程
2
x22x3
的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x－3)这种变形的根据是_____ _.
< br>46
13.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个 三位数去掉尾数
4，剩下的两位数是
x
，求原数，则可列方程为__________ ________________.
14. 观察等式：9-1＝8， 16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……
这些等式反映自然数间的某种规律，设n (n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为________．
三、解答题
1 5.（1）若关于
x
的方程
(
a2
)x
(a2)x 10
是一元一次方程，求
a
的值.
2






70

（2）若关于
x
的方程





1
5n4
3
x5
是一元一次方程，求
n
的值.
24
16.若
(a3)
2
与
b1
互为相反数，且关于
x
的方程
ax1
 3yxb
的解是
x1
，求
2y
2
3
的值 .

42




17.
某市为鼓励节约 用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元吨
收费，超过10 吨而不超过20吨部分按0.80元吨收费，超过20吨部分按1.5元吨收费，现已知老李家
六月份缴 水费14元，问老李家六月份用水多少吨？
请你为解决此题建立方程模型．












18.
观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探 究其中的规律：

(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示；

(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式．

71

第14讲 一元一次方程的解法
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤

变形名称
去分母
去括号
移项
具体做法
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他
项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程
系数化成1
要点诠释：
（1 ）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合
并简 化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意
去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为
axbc
的形式，分类讨论：
( 1)当
c0
时，无解；（2）当
c0
时，原方程化为：
axb 0
；（3）当
c0
时，原方程可化为：
axbc
或
axbc
.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，
x
【典型例题】
的解
x
注意事项
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
(1)移项要变号
(2)不要丢项
字母及其指数不变
不要把分子、分母写颠倒
合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
b
．
a
b
；（2）当a＝ 0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
a
类型一、解较简单的一元一次方程

1．解方程：
(1)








2x
x53
； (2)
15.4x320.6x
．
32
72

举一反三：
【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?
3x+2＝7x+5
解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7，
系数化为1得
x
7
10
．





类型二、去括号解一元一次方程

2. 解方程：
1< br>[x
1
22
(x1)]
2
3
(x1)









3．解方 程：
1

2

11

1
2
< br>
2


2
x1





1


1

10
．










举一反三：

【变式】解方程
1

2

1

1

4

1

5
x1



6




4

1
．

3








73

类型三、解含分母的一元一次方程
4．解方程：
4x1.55x0.81.2x
0.5

0.2

0.1







< br>举一反三：【变式】解方程
0.4y0.90.30.2
0.5

y
0.3
1
．







类型四、解含绝对值的方程

5．解方程：3|2x|-2＝0






举一反三：【变式】解方程|x-2|-1＝0．





类型五、解含字母系数的方程

6. 解关于
x
的方程：
mx1nx





74