有关爱国的诗-常识题

面积的单位换算、公式及计算
计算
长方形：

{长方形面积=长×宽}
[1]


正方形：

{正方形面积=边长×边长}

平行四边形：

{平行四边形面积=底×高}

三角形：

{三角形面积=底×高÷2}

梯形：

{梯形面积=（上底+下底）×高÷2}

圆形（正圆）：

{圆形（正圆）面积=圆周率×半径×半径}

圆环：

{圆形（外环）面积={圆周率×（外环半径^2-内环半径^2）}

扇形：

{圆形（扇形）面积=圆周率×半径×半径×扇形角度360}

长方体表面积：

{长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2}

正方体表面积：

{正方体表面积=棱长×棱长×6}

球体（正球）表面积：

{球体（正球）表面积=圆周率×半径×半径×4}

椭圆

(其中π(圆周率，a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长).

半圆：

(半圆形的面积公式=圆周率×半径的平方÷2）




面积单位换算

常用的面积单位有公顷、亩、平方公里、 平方米、平方厘米等。这里所说的换算，常指面积之间单位
的互换计算。如：1亩=0.0666666 公顷=666.6666平方米等。

目录
1常用公式
2台湾公式
3国外公式
1常用公式
常用土地面积换算公式 1亩=60平方丈=6000平方尺，1亩=666．6平方米 其实在民间还有一个更
实用的口决来计算：

平方米换为亩，计算口诀为“加半左移三 ”。1平方米=0.0015亩，如128平方米等于多少亩？计算
方法是先用128加128的一半： 128+64=192，再把小数点左移3位，即得出亩数为0.192。

亩换平方米，计算 口诀为“除以三加倍右移三”。如要计算24.6亩等于多少平方米，24.6÷3=8.2，
8.2加 倍后为16.4，然后再将小数点右移3位，即得出平方米数为16400。

市亩和公亩以及公顷又有很大的差异，具体换算公式如下：

1公顷=15亩=100公亩=10000平方米 1(市)亩等于666.66平方米

1公顷等于10000平方米

1公亩等于100平方米

2台湾公式
1坪=3.30579平方米

3国外公式
1 英亩等于：

- 0.004 047 平方公里

- 0.404 686 公顷

- 40.468 648 公亩

- 1,224.176 601 坪

- 160 平方杆

- 4046.864 798 平方米

- 4,840 平方码

- 43,560 平方英尺

- 1 平方码 = 0.000 207 英亩- 1 平方公里 = 247.105 英亩

- 1 公顷 = 2.471 049 英亩

- 1 公亩 = 0.024 710 英亩

- 1 坪 = 0.000 817 英亩

- 1 平方杆 = 0.006 25 英亩

- 1 平方米 = 0.000 247 英亩

1亩=666.6666666.平方米

1 公顷 = 10 000 平方米(square meters)

1 公顷 = 100 公亩(ares)

1 公顷 = 15 亩

1 公顷 = 2.471 053 8 英亩(acres)

1 公顷 = 0.01 平方公里（平方千米）(square kilometers)

1平方公里=100公顷

1亩=0.0666666公顷=666.6666平方米

1公亩=100平方米




面积公式

面积公式包括 扇形面积公式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。

目录
1扇形公式
2扇环面积
3三角形公式
▪ 海伦公式
▪ 坐标公式
4圆公式
5弓形公式
6椭圆公式
7菱形公式
▪ 定理简述及证明
▪ 定理应用
▪ 常见的面积定理
1扇形公式
在半径为R的圆中，因为360° 的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°
的扇形面积：

比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：

C=2R+nπR÷180

=2×1+135×3.14×1÷180

=2+2.355

=4.355(cm)=43.55(mm)

扇形的面积：

S=nπR^2÷360

=135×3.14×1×1÷360

=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

扇形还有另一个面积公式


其中l为弧长，R为半径
[1]


2扇环面积
圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))


圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方- 圆周率X小半径的平方圆周率X(大半径的平
方-小半径的平方)

用字母表示：

S内+S外（πR方）

S外—S内=∏(R方- r方）

还有第二种方法：

S=π[(R-r)×(R+r)]

R=大圆半径

r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径

还有一种方法：

已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。

d=R-r，

D-d=2R-（R-r）=R+r，

可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，

圆环面积S=π(D-d)×d

这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出 面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算
实物，例如圆钢管。
[2]


3三角形公式
海伦公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）2, a.b.c为三角形三
边。

证明： 证一 勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC
为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴
ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数
的恒等式。 恒等式： 若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如
图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a+b－c = (x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两
边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变
形①，故得证。

证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r
= × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz
[3]


坐标公式
1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),

S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣2.
2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2 c3),面积为S，则

S^2=（a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b 1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+

(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.
[4]


4圆公式
设圆半径为 ：r, 面积为 ：S .

则 面积 S= π·r^2 π 表示圆周率

即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方

5弓形公式
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：

当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=12S圆=12×πr^2。

当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）

计算公式分别是：

S=nπR^2÷360－ah÷2

S=πR^22

S=nπR^2÷360+ah÷2

6椭圆公式

椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长 半轴长（a）与短
半轴长（b）的乘积。

椭圆面积公式应用实例
[5]


椭圆的长半轴为8cm，短半轴为6cm，假设π=3.14，求该椭圆的面积。
答：S=πab=3.14*8*6=150.72（cm²）

7菱形公式
定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

菱形的面积也可=底乘高

抛物线弓形面积公式

抛物线弦长公式及应用

本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的 弦长,还可以利用它来判断直线与抛物
线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参 考.

抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的 34，即：

抛物线弓形面积=S+14*S+116*S+164*S+„„=43*S

定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y^2=2Px截得的弦AB的长度为

∣AB∣= ①

证明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2－+=0

∴ y1+y2=,y1y2=.

∣y1－y2∣==2,

∴∣AB∣=∣y1－y2|=

当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2),

于是得出下面推论:

推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y^2=2Px截得的弦

AB的长度为

∣AB∣=P(1+k2) ②

在①中,由容易得出下面推论:

推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y^2=2Px

Ⅰ)当P>2bk时,l与C交于两点(相交);

Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);

Ⅲ)当P<2bk时,l与C无交点(相离).

定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:

例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?

分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.

解 曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,

即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.

例2 求直线2x+y+1=0到曲线y^2－2x－2y+3=0的最短距离.

分析:可求与已知直线平行并和曲

线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.

解 曲线可变形 为(y－1)^2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b =－.∴所
求直线方

程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.

故所求最短距离为.

例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.

解 曲线可变形为(y+1)^2=x+1

(x≥－1,y≥－1) ,则P=12.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P, 即
2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.

注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.

例4 抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.

解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y^2=x.

例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOP Q

解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2 =4ax(P=2a),设PQ
的斜率为k,由②|PQ|=,

已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.

常见的面积定理
1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；

2． 两个全等图形的面积相等；

3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；

4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；

5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；

6． 等角或补角的三角形面积的比 ，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比
等于夹等角的两边乘积的比；

7. 任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分