整数的基本概念
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整数的基本概念
（一）整数
1 整数的意义
自然数和0都是整数。
2 自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，
3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
3计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……
都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数
法叫做十进制计数法。
4
数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置
叫做数位。
5数的整除
整数a除以整数b(b ≠
0），除得的商是整数而没有
余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b（b ≠
0）整除，a就叫做b的倍数，
b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相
互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的
约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，
最大的
约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、
10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 <
br>一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它
本身。3的倍数有：3、6、9、12……其
中最小的倍数
是3 ，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，
例如：
202、480、304，都能被2整除。。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、
405都能被5整除。。
一
个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被
3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整
除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除
的数一定能被3整除。
一个数的
末两位数能被4（或25）整除，这个数就能
被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能
被4
整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一
个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能
被8（或125）整除。例如：1168、460
0、5000、123
44都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整
除
。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇
数和偶数。
一个数，如果只有
1和它本身两个约数，这样的数叫
做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、
11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、
59、61、67、7
1、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的
数叫做合数，例如
4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数
就是合
数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，
可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成
几个质数相乘的形式。其中每个
质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，
例如15=
3×5，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解
质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最
大的
一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约
数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2
、3、6、
9、18。其中，1、2、3、6是12和1
8的公约数，6
是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的
两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合
数互质，如果
几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个
数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数
，其中最
小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数
有2、4、6
、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……
其中6、
12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个
数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的
最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数
的个数是无限的。