数的分类和概念
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数的分类和概念
我们把{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…}
等全体非负整数组成的数集合
称为“自然数”。
把{1，2，3，…，9，10}向
前扩充得到正整数{1，2，3，…，9，10，11，…}，
把它反向扩充得到负整数{…，-11，
-10，-9，…，-3，-2，-1
}，介于正整数和负
整数中间的“0”为中性数；把它们合在一起，得到
{…，-11，-10，-9，…，-3，
-2，-1， 0，1，2，3，…，9，10，11，…
}， 叫做整数。
对整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。整数，对加、减
、乘
运算组成了一个封闭的数集合，是数学古老分支“数论”研究的对象。着名的德国数
学家高
斯说：“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
德国数学家、数学王子高斯（Gauss，1777——1855）
除法运算，如711 = …、117 = …，不再是整数，也就是说整数对除法运算
是
不封闭的。为了使数集合对加、减、乘、除四则运算都是封闭的，就必须增加新的
数，如
711、117，为两个整数之比，称为可比数、分数，现在通称为有理数。
? ??把数的
性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验进行总结和整理，形成
最古老的一门数学——算术。
有理数集合，对加、减、乘、除四则运算组成了一个封闭的数集合，看起来似乎
已很
完备。2500多年前，不少人、甚至当时一些数学家也是这样看的。
公元前５世纪，当时的
毕达哥拉斯学派很重视整数，想用它说明一切，“数是万
物之本”成了他们的哲学观。毕达哥拉斯学派的
学生希帕索斯在研究1和2的比例中
项 x 时，由1x =
x2，得到代数方程
x
2
=
2???????????????????????????????? ?????????（1）
在（1）中引入的 x，代表我们暂时还不知道一个数，称为未知数。对（1）求解，得
到x
=
。显然，1< x <2，不是整数；经证
明，不能表成两个整数之比，也不是有
理数；这就是后来称为“无理数”的数。
无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次
致命的打击，数学史上把这
件事称为“第一次数学危机”。
在
之
后，又发现了很多无理数，圆周率
π就是其中最重要的一个。15世纪意大利着名画家达·芬奇把它称之
为“无理之数”。
现在，人们把有理数和无理数合并在一起，称为“实数”。
把方程（1）中2换成-2时，得到
x
2
=
-2?????????????????????????????????????????
（2）
由此得到两个解：x
1
=
和 x
2
= -
，它们还是（2）的解吗？如果认为不是，
（2）就没有解，解方程
如同走进了死胡同。为解决这一问题，数学家不得不再次扩
大数的范围，引入符号“方根”，即 i? =
”表示“－1的平
虚数；再把实数a、，称为
b和虚数结合起来，组成
z = 形式的数，
称为“复数”。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量
，
让人感到有点虚无缥缈。随着科学的发展，虚数在水力学、地图学和航空学上得到了
广泛的应
用。这样，数的家族就进一步扩大，包括实数和复数两大类，并把加、减、
乘、除的四则算术运算扩展到
包括乘方和开方的六种代数运算，形成了数学中一个新
的分支“代数”。
代数进一步
向两个方面发展，一是研究未知数更多的一次方程组，引进矩阵、向
量、空间等符号和概念，形成
“线性代数”；另一是研究未知数次数更高的高次方
程，形成“多项式代数”。
这样
，代数研究的对象，不仅是数，还包括矩阵、向量、向量空间及其变换等。
它们都可以进行“运算”，虽
然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有
时不再有效。因此，代数学的内容可以概括称为带
有运算的一些代数结构的集合，如
群、环、域等，又含抽象代数、布尔代数、关系代数、计算机代数等众
多分支。
由于科学技术发展的需要，数的范围不断扩大，从正整数、自然数、整数、实数到复数，再到向量、张量、矩阵、群、环、域等不断的扩充与发展。为区别起见，人
们把实数和复数
称为“狭义数”，把向量、张量、矩阵等称为“广义数”。尽管人们
对数如何分类还有一些不同的看法，
但都承认数的概念还会不断扩充和发展。到目前
为止，数的家族已发展得十分庞大，可表示为：