第5讲 同余的概念和性质
土豆粉的做法-结合雌激素
五年级下学期 第5讲
第5讲 同余的概念和性质
解题思路:理解并熟记同余的性质,运用同余性质把数化小、化易。
同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:
a≡b(modm).
性质1:若a≡b(mod
m),b≡c(mod m),那么a≡c(mod m),(传递性)。
★性质2:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡b±d(mod
m),(可加减性)。
★性质3:若a≡b(mod m),c≡d(mod
m),那么ac≡bd(mod m)(可乘性)。
性质4:若a≡b(mod
m),那么a≡b(mod m),(其中n为自然数)。
性质5:若ac≡bc(mod
m),(c,m)=1,那么a≡b(mod m),(记号(c,m)表示c与m的
最大公约数)。
nn
例1 判定288和214对于模37是否同余,74与20呢?
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
例3
求143
89
除以7的余数。
例4 四盏灯如图所示组成舞台
彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互
换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又
上下两灯互换颜色,„,这样一直进行下去.
请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?
1
五年级下学期 第5讲
十位,„上的数码,再设M=
a
0
+
a
0
+„+<
br>a
n
,求证:N≡M(mod 9)
例6 求自然数<
br>2
100
+
3
101
+
4
102
的
个位数字。
习题
1.验证对于任意整数a、b,式子a≡b(mod1)成立,并说出它的含义。
2.已知自然数a、b、c,其中c≥3,a除以c余1,b除以c余2,则ab除以c余多少?
3.1993年的六月一日是星期二,这一年的十月一日是星期几?
4.求3333
5555
+5555
3333
被7除的余数。
5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面?
6.
数
,被13除余多少?
7.求1993
100
的个位数字.
2
五年级下学期 第5讲
第五讲
同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗?
问题1:今天是星期日,再过15天就是“六·一”儿童节了,问“六·一”儿童节是
星期几?
这个问题并不难答.因为,一个星期有7天,而15÷7=2„1,即15=7×2+1,所以“六
·一”
儿童节是星期一。
问题2:1993年的元旦是星期五,1994年的元旦是星期几?
这个问题也难不倒我们.因为
,1993年有365天,而365=7×52+1,所以1994年的元
旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中,时常要注
意两个整数用某一
固定的自然数去除,所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如
问题1、2中的15与365除
以7后,余数都是1,那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,
用式子表示为:
a≡b(modm). (*)
上式可读作:
a同余于b,模m。
同余式(*)意味着(我们假设a≥b):
a-b=mk,k是整数,即m|(a-b).
例如:①15≡365(mod7),因为365-15=350=7×50。
②56≡20(mod9),因为56-20=36=9×4。
③90≡0(mod10),因为90-0=90=10×9。
由例③我们得到启发,a可被m整除,可用同余式表示为:a≡0(modm)。
例如,表示a是一个偶数,可以写
a≡0(mod 2)
表示b是一个奇数,可以写
3
五年级下学期 第5讲
b≡1(mod 2)
补充定义:若m(a-b),就说a、b对模m不同余,用式子表示是:
ab(modm)
我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,同余式与等式在其性质上相似.
同余
式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数,而m是自然数)。
性质1:a≡a(mod
m),(反身性)
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2:若a≡b(mod m),那么b≡a(mod m),(对称性)。
性质3:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),那么a≡c(mod m),(传递性)。
性质4:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡b±d(mod
m),(可加减
性)。
性质5:若a≡b(mod m),c≡d(mod
m),那么ac≡bd(mod m)(可乘性)。
性质6:若a≡b(mod
m),那么a
n
≡b
n
(mod m),(其中n为自然数)。
性质7:若ac≡bc(mod m),(c,m)=1,那么a≡b(mod
m),(记号(c,m)表
示c与m的最大公约数)。
注意同余式性质7的条件(c,m)=1,否则像普通等式一样,两边约去,就是错的。
例如6≡10(mod 4),而35(mod 4),因为(2,4)≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言。
例1 判定288和214对于模37是否同余,74与20呢?
解:∵288-214=74=37×2。
∴288≡214(mod37)。
∵74-20=54,而3754,
∴7420(mod37)。
例2
求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
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五年级下学期 第5讲
分析
若先求乘积,再求余数,计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”,减少计
算量。
解:∵418≡2(mod13),
814≡8(mod13),1616≡4(mod13),
∴ 根据同余的性质5可得:
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12(mod13)。
答:乘积418×814×1616除以13余数是12。
例3
求143
89
除以7的余数。
分析 同余的性质能使“大数化小”,凡求大数的余数
问题首先考虑用同余的性质化大为
小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方
,找找有什么规律。
解法1:∵143≡3(mod7)
∴143
89
≡3
89
(mod 7)
∵89=64+16+8+1
而3
2
≡2(mod 7),
3
4
≡4(mod7),
3
8
≡16≡2(mod 7),
3
16
≡4(mod 7),
3
32
≡16≡2(mod 7),
3
64
≡4(mod
7)。
∵3
89
≡3
64
·3
16
·38
·3≡4×4×2×3≡5(mod 7),
∴143
89
≡5(mod 7)。
答:143
89
除以7的余数是5。
解法2:证得143
89
≡3
89
(mod 7)后,
3
6
≡3
2
×3
4
≡2×4≡1(mod 7),
∴3
84
≡(3
6
)
14
≡1(mod
7)。
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五年级下学期 第5讲
∴3
89
≡3
84
·3
4
·3≡1×4×3≡5(mod
7)。
∴143
89
≡5(mod 7)。
例4 四盏灯如图所示组
成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互
换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第
三次又上下两灯互换颜色,„,这样一直进行下去.
请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?
分析 与解答经观察试验我们可以发现,每经过4次互换,四盏灯的颜色排列重复一次,
而1小
时=60分钟=120×30秒,所以这道题实质是求120除以4的余数,因为120≡0(mod
4),所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
十位,„上的数码,再设M=a0+a1+„+an,求证:N≡M(mod 9)。
分析 首先把整数N改写成关于10的幂的形式,然后利用10≡1(mod 9)。
又∵ 1≡1(mod 9),
10≡1(mod 9),
10
2
≡1(mod 9),
„
10
n
≡1(mod 9),
上面这些同余式两边分别同乘以a0
、a
1
、a
2
、„、a
n
,再相加得:
a
0
+a
1
×10+a
2
×10
2<
br>+„+a
n
×10
n
≡a
0
+a
1
+a
2
+„+a
n
(mod
9),
即 N≡M(mod 9).
6
五年级下学期 第5讲
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质:
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这
个和被
9除的余数即可。
例如,求1827496被9除的余数,只要先求(1+8+2+7+4+9+
6),再求和被9除
的余数。
再观察一下上面求和式.我们可以发现,和不一定要求出.
因为和式中1+8,2+7,9
被9除都余0,求余数时可不予考虑.这样只需求4+6被9除的余数.
因此,1827496被9
除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相
加、相减、相乘的结果对不对,这种
检查方法叫:弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。
用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确?
因为
5483≡5+4+8+3≡11≡2(mod 9),
9117≡9+1+1+7≡0(mod
9),
所以 5483×9117≡2×0≡0(mod 9)。
但是
49888511≡4+9+8+8+8+5+1+1
≡8(mod9),
所以
5483×9117≠49888511,即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确,但不能保证一定正确。
例如,9875≡9+8+7+5≡2(mod 9),
4873≡4+8+7+3≡4(mod
9),
32475689≡3+2+4+7+5+6+8+9
≡8(mod
9),
这时,9875×4873≡2×4≡32475689(mod 9)。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因为末位数字5和3相乘不可
能
等于9。
7
五年级下学期 第5讲
弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
例6 用弃九法检验下面的计算是否正确:
23372458÷7312=3544。
解:把除式转化为:
3544×7312=23372458。
∵ 3544≡3+5+4+4≡7(mod 9),
7312≡7+3+1+2≡4(mod 9),
∴
3544×7312≡7×4≡1(mod 9),
但
23372458≡2+3+3+8≡7(mod 9)。
而 17(mod 9)
∴ 3544×7312≠23372458,
即 23372458÷7312≠3544。
例7 求自然数2100+3101+4102的个位数字。
分析
求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。
解:∵2
100
≡2
4×25
≡6
25
≡6(mod
10),
3
101
≡3
4×25
·3
1
≡1
25
·3
1
≡3(mod 10),
4
102
≡(2
2
)
100
·4
2
≡6·6≡6(mod
10),
∴
2
100
+3
101
+4
102
≡6+3+6≡5(mod
10),
即自然数2
100
+3
101
+4
102
的个位数字是5.
习题五
1.验证对于任意整数a、b,式子a≡b(mod1)成立,并说出它的含义。
2.已知自然数a、b、c,其中c≥3,a除以c余1,b除以c余2,则ab除以c余多少?
3.1993年的六月一日是星期二,这一年的十月一日是星期几?
4.求3333
5555
+5555
3333
被7除的余数。
8
五年级下学期 第5讲
5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面?
6.数,被13除余多少?(提示:先试除,可知13|111111,而1993≡1(mod 6))。
7.用弃九法检验下面运算是否正确:
①845×372=315340;
②12345×67891=838114385;
③1144192613÷28997=39459。
8.求1993
100
的个位数字.
习题五解答
1.例:∵1|a-b,2≡3(mod 1),7≡15(mod 1),式子a≡b(mod
1)的含
义是:任意整数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。
2.解:∵a≡1(mod c),b≡2(mod c),
∴ab=2(mod c)
即ab除以c余2。
3.1993年的十月一日是星期五。
4.解:∵ 3333≡1(mod 7),
∴
3333
5555
≡1(mod 7)。
又∵ 5555≡4(mod 7),
∴ 5555
3333
=4
3333
(mod 7)。
而 4
3
≡1(mod 7),
9
五年级下学期 第5讲
∵
4
3333
≡(4
3
)
1111
≡1(mod 7),
∴
3333
5555
+5555
3333
≡1+1≡2(mod 7),
即 3333
5555
+5555
3333
被7除余2。
5.解:∵ 300≡6(mod 7)。
∴ 300与6在同一列,在D下面。
6.答:余1。
7.①不正确;
②不正确;
③不正确。
8.1.
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