土豆粉的做法-结合雌激素

五年级下学期 第5讲
第5讲 同余的概念和性质
解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（modm）.
性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质4：若a≡b（mod m），那么a≡b（mod m），（其中n为自然数）。
性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的
最大公约数）。
nn
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？


例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。


例3 求143
89
除以7的余数。


例4 四盏灯如图所示组成舞台 彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互
换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又 上下两灯互换颜色，„，这样一直进行下去.
请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？




1

五年级下学期 第5讲

十位，„上的数码，再设M=
a
0
＋
a
0
＋„＋< br>a
n
，求证：N≡M（mod 9）


例6 求自然数< br>2
100
＋
3
101
＋
4
102
的 个位数字。

习题
1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。

2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？

3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？

4.求3333
5555
＋5555
3333
被7除的余数。

5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？

6. 数

，被13除余多少？
7.求1993
100
的个位数字.

2

五年级下学期 第5讲

第五讲 同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？
问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是
星期几？
这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2„1，即15＝7×2+1，所以“六 ·一”
儿童节是星期一。
问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们.因为 ，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元
旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注
意两个整数用某一 固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如
问题1、2中的15与365除 以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，
用式子表示为：
a≡b（modm）. （*）
上式可读作：
a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：
a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.
例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。
③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。
例如，表示a是一个偶数，可以写
a≡0（mod 2）
表示b是一个奇数，可以写

3

五年级下学期 第5讲
b≡1（mod 2）
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：
ab（modm）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.
同余 式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：a≡a（mod m），（反身性）
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减
性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质6：若a≡b（mod m），那么a
n
≡b
n
（mod m），（其中n为自然数）。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表
示c与m的最大公约数）。
注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
解：∵288-214=74=37×2。
∴288≡214（mod37）。
∵74-20=54，而3754，
∴7420（mod37）。
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

4

五年级下学期 第5讲
分析 若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计
算量。
解：∵418≡2（mod13），
814≡8（mod13），1616≡4（mod13），
∴ 根据同余的性质5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。
答：乘积418×814×1616除以13余数是12。
例3 求143
89
除以7的余数。
分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数 问题首先考虑用同余的性质化大为
小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方 ，找找有什么规律。
解法1：∵143≡3（mod7）
∴143
89
≡3
89
（mod 7）
∵89＝64+16+8+1
而3
2
≡2（mod 7），
3
4
≡4（mod7），
3
8
≡16≡2（mod 7），
3
16
≡4（mod 7），
3
32
≡16≡2（mod 7），
3
64
≡4（mod 7）。
∵3
89
≡3
64
·3
16
·38
·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），
∴143
89
≡5（mod 7）。
答：143
89
除以7的余数是5。
解法2：证得143
89
≡3
89
（mod 7）后，
3
6
≡3
2
×3
4
≡2×4≡1（mod 7），
∴3
84
≡（3
6
）
14
≡1（mod 7）。

5

五年级下学期 第5讲
∴3
89
≡3
84
·3
4
·3≡1×4×3≡5（mod 7）。
∴143
89
≡5（mod 7）。
例4 四盏灯如图所示组 成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互
换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第 三次又上下两灯互换颜色，„，这样一直进行下去.
请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

分析 与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，
而1小 时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod
4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

十位，„上的数码，再设M=a0＋a1＋„＋an，求证：N≡M（mod 9）。

分析 首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。

又∵ 1≡1（mod 9），
10≡1（mod 9），
10
2
≡1（mod 9），
„
10
n
≡1（mod 9），

上面这些同余式两边分别同乘以a0
、a
1
、a
2
、„、a
n
，再相加得：
a
0
＋a
1
×10+a
2
×10
2< br>+„+a
n
×10
n

≡a
0
＋a
1
＋a
2
＋„＋a
n
（mod 9），
即 N≡M（mod 9）.

6

五年级下学期 第5讲
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这
个和被 9除的余数即可。
例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋ 6），再求和被9除
的余数。
再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出. 因为和式中1＋8，2+7，9
被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数. 因此，1827496被9
除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相 加、相减、相乘的结果对不对，这种
检查方法叫：弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。
用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确？
因为 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），
9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），
所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。
但是 49888511≡4+9＋8+8+8＋5+1+1
≡8（mod9），
所以 5483×9117≠49888511，即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），
4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），
32475689≡3+2+4+7＋5+6+8+9
≡8（mod 9），
这时，9875×4873≡2×4≡32475689（mod 9）。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因为末位数字5和3相乘不可
能 等于9。

7

五年级下学期 第5讲
弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
例6 用弃九法检验下面的计算是否正确：
23372458÷7312＝3544。
解：把除式转化为：
3544×7312＝23372458。
∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），
7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），
∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9），
但 23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。
而 17（mod 9）
∴ 3544×7312≠23372458，
即 23372458÷7312≠3544。
例7 求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。
分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。
解：∵2
100
≡2
4×25
≡6
25
≡6（mod 10），
3
101
≡3
4×25
·3
1
≡1
25
·3
1
≡3（mod 10），
4
102
≡（2
2
）
100
·4
2
≡6·6≡6（mod 10），
∴ 2
100
＋3
101
＋4
102
≡6＋3＋6≡5（mod 10），
即自然数2
100
＋3
101
＋4
102
的个位数字是5.

习题五
1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。
2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？
3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？
4.求3333
5555
＋5555
3333
被7除的余数。

8

五年级下学期 第5讲
5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？

6.数，被13除余多少？（提示：先试除，可知13|111111，而1993≡1（mod 6））。
7.用弃九法检验下面运算是否正确：
①845×372=315340；
②12345×67891=838114385；
③1144192613÷28997＝39459。
8.求1993
100
的个位数字.


习题五解答
1.例：∵1|a-b，2≡3（mod 1），7≡15（mod 1），式子a≡b（mod 1）的含
义是：任意整数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。
2.解：∵a≡1（mod c），b≡2（mod c），
∴ab＝2（mod c）
即ab除以c余2。
3.1993年的十月一日是星期五。
4.解：∵ 3333≡1（mod 7），
∴ 3333
5555
≡1（mod 7）。
又∵ 5555≡4（mod 7），
∴ 5555
3333
＝4
3333
（mod 7）。
而 4
3
≡1（mod 7），

9

五年级下学期 第5讲
∵ 4
3333
≡（4
3
)
1111
≡1（mod 7），
∴ 3333
5555
+5555
3333
≡1+1≡2（mod 7），
即 3333
5555
＋5555
3333
被7除余2。
5.解：∵ 300≡6（mod 7）。
∴ 300与6在同一列，在D下面。
6.答：余1。
7.①不正确；
②不正确；
③不正确。
8.1.
10