屋里一座亭-熄灯日

内容分析
整数和整除


整数和整除是六年级数学上学期第一章第 一节内容，主要对整数的分类和整
除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总 结．通过
这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后
面学习 有理数奠定基础．

知识结构







模块一：整数的意义和分类


知识精讲
1、整数的意义和分类



（1）自然数：零和正整数统称为自然数；
（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．


正整数



自然数

整数

零



负整数

1 16

【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．
（1）最小的自然数是1 ；
（2）最小的整数是0；
（3）非负整数是自然数；
（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；
（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．
【难度】★
【解析】



【例2】把下列各数放入相应的圈内：
3
15，-1，-0.2，0，-63，0.7，13，-0.2323…，
．
5
例题解析










正整数

【难度】★
【答案】
【解析】




2 16
整数 自然数
负整数

【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；
（2）试比较正整数、负整数、零的大小；
（3）试比较负整数、自然数的大小．
【难度】★★
【答案】
【解析】



【例 4】五个连续的自然数，已知中间数是
a
，那么其余四个数分别是______、______ 、______、
______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．
【难度】★★
【答案】
【解析】



【例5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
 
1

5

2
，试求这三个自然数．
【难度】★★★
【答案】
【解析】




3 16

1、整除的意义
整数
a
除以整数
b
，如果除得 的商是整数而余数为零，我们就说
a
能被
b
整除；或者说
b
能整除
a
．



【例6】老师问：“当
a4 .5
时，
b0.9
时，
a
能被
b
整除吗？” < br>一个同学回答：“因为商是
5
，是整数，所以
a
能被
b
整除．”
你认为对吗？
【难度】★
【答案】
【解析】


【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，
不能整除的打“×”．
18和9（ ）
14和6（ ）
【难度】★
【答案】
【解析】









15和30（ ）
17和35（ ）


0.4和4（ ）
9和0.5（ ）
模块二：整除的意义
知识精讲
例题解析
师生总结
1、整除的条件是什么？
2、“a能整除b”与“a能被b整除”的区别是什么？

4 16

【例8】已知下列除法算式：






57÷7=8……1；
22÷5=4.4；





21÷7=3；
0÷3=0；






22÷0.2=110；
2÷4=0.5．
（1）表示能除尽的算式有哪几个？
（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？
【难度】★
【答案】
【解析】



【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内．
（1）30÷10；
（3）35÷0.1；
（5）0.4÷2；
（7）27÷9；




（2）7÷25；
（4）18÷3；
（6）3.9÷0.3；
（8）16÷4．
除数能整除被除数的：_______ _________________________________；
能够除尽的：____ ____________________________________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】






师生总结
1、整除与除尽有什么相同点？
2、整除与除尽有什么不同点？









5 16

【例
10
】若两个整数
a
、
b (
ab
)
都能被整数
c
整除，它们的和、差、积也能被
c
整除吗？
为什么？

【难度】★★
【答案】
【解析】

【例11】一个两位数，能 被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求
这个两位数．
【难度】★★
【答案】
【解析】

【例12】15支铅笔分给几个学生，每人发的一样 多且不止1支，并且正好分完，可以分给
几个人？每人几支？有几种分法？
【难度】★★
【答案】
【解析】

【例13】2015年的教师节是星期四，老师们可 以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明
年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星 期几呢？
【难度】★★★
【答案】
【解析】

【例14】学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：
组别
人数
1
3
2
11
3
6
4
8
5
10
6
12
7
4
8
7
9
13
10
8
一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已 知有9个小组去听讲座，
其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论 问题，
这一组是第几组？
【难度】★★★
【答案】
【解析】


6 16

1、因数和
倍数的意义


模块三：因数和倍数的意义
知识精讲
整数
a
能被整数
b
整除，
a
就叫做
b
的倍数，
b
就叫做
a< br>的因数（也称为约数）．



【例15】有一个算式
63 79
，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除
___ ___，还可以说______和______是______的因数，______是______和____ __的倍数．
【难度】★
【答案】
【解析】

【例16】分 别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依
次写3个）．
【难度】★
【答案】
【解析】

【例17】在圈内填写满足条件的数：






【难度】★
【答案】
【解析】

既是18的因数又是27的因数

18的因数

27的因数

例题解析

7 16

【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．
（1）6和9；
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例19】从小 到大依次写出10个2的倍数：____________________________________ _；
从小到大依次写出10个3的倍数：___________________________ __________；
其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例20】已知 ：
A235
，
B335
，则
A
和
B< br>相同的因数有哪些？
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例21】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？
【难度】★★
【答案】
【解析】



（2）27和51．

8 16

【例23】1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？
【难度】★★
【答案】
【解析】



【例24】李明去儿童乐园玩 ，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车
一次，13路车每6分钟发车一次。现在 这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟
又同时发车？
【难度】★★
【答案】
【解析】



【例25】用16块面积是1平方厘米的正方形， 可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长
和宽分别是多少厘米？
【难度】★★★
【答案】
【解析】













师生总结
1.求一个整数的因数的方法有哪些？
2.求一个整数的倍数的方法有哪些？
3.一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？
4.一个正整数最小的倍数是什么？

9 16

【例26】一筐苹果，2个一拿或3个一 拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这
筐苹果最少有多少个？
【难度】★★★
【答案】
【解析】



【例27】小明有一本共12 6张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1
页一直编到252页．如果从这本记事本 中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否
可能等于2010？
【难度】★★★
【答案】
【解析】



【例28】我们知道，每个正 整数都有因数，对于一个正整数
a
，我们把小于
a
的正的因数叫
做< br>a
的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．
把一个正整数
a
的所有真因数的和除以
a
，所得的商叫做
a
的“完美指标”．
4
如10的“完美指标”是
(125)10
．
5
一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”7474
是
(124)8
，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所 以我们说8比
8585
10完美．
根据上述材料，回答下面问题：
（1）5的“完美指标”是____________；
（2）6的“完美指标”是____________；
（3）9的“完美指标”是____________．
（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．
【难度】★★★
【答案】
【解析】

10 16

1、能被2整除的数

模块四：能被2、5整除的数
知识精讲
能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．
2、能被5整除的数
能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．
3、能同时被2、5整除的数
能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．



【例 29】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？
【难度】★
【答案】
【解析】

【例30】已知：17，25 ，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．
【难度】★
【答案】
【解析】

【例31】在圈内写出满足条 件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．


能被2整除的数




【难度】★
【答案】
【解析】
能同时被2和5整除的数

能被5整除的数

例题解析

11 16

【例32】三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是______．
【难度】★★
【答案】
【解析】

【例33】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．
86
（ ）
96
（ ）
157
（ ）
【难度】★★
【答案】
【解析】











86
（ ）
96
（ ）
157
（ ）






86
（ ）
96
（ ）
157
（ ）
师生总结
1、奇数偶数的运算性质有哪些？
【例34】
12399910001001
的和是奇数还是偶数？ 请说明理由．
【难度】★★★
【答案】
【解析】

【例35 】用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数2，有几种不同的
排法？要使这个数 能被5整除，有几种不同的排法？
【难度】★★★
【答案】
【解析】

【例36】下面的乘式的积中，末尾有多少个0？
1232930
．
【难度】★★★
【答案】
【解析】




12 16

随堂检测
【习题1】 先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列 ，并说
明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？
-1，2，-0.3 ……，15，-0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，-8，10．




整数




正整数
【难度】★
【答案】
【解析】

【习题2】 一个三位数
46
最小填______．
【难度】★
【答案】
【解析】

【习题3】 判断题：
(1) 若
mn2
，则
n
一定能整除
m
．( ）
）
，能被2整除时，中最大填______；能被5整除时，中
负整数
自然数
(2) 整数
a
的最大因数正好等于整数
b
的最小倍数，则
a
一定大于
b
． (
(3) 因为
6.370.9
，所以
6.3
是
7
的倍数．( ）
） (4) 因为整数7421中包含了数字2，所以7421一定能被2整除．(
【难度】★★
【答案】
【解析】


13 16

【习题4】 已知
A2357
，那么
A
的全部因数的个数是(
A．10个
【难度】★★
【答案】
【解析】

【习题5】 一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？
【难度】★★
【答案】
【解析】


【习题6】 如果
(n)
表示
n
的全部因数的和，如
(4)1247
，则
(18) (21)
_________．
【难度】★★★
【答案】
【解析】


【习题7】 用0、2、5、8这四个数字组成的四位数中，能被2整除的数有多少个？
【难度】★★★
【答案】
【解析】


【习题8】 先把一个数的末位有效数字 割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和
数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样 继续下去，直到能够很容易看出
和数是不是13的倍数为止.若是13的倍数，则这个数就是13的倍数 ．试判断下列各数，
哪些是13的倍数？（写出具体过程）
（1）9062；
【难度】★★★
【答案】
【解析】


（2）12805； （3）158506．
B．12个 C．14个
）
D．16个

14 16

课后作业
【作业1】 是否存在最小的的正整数，负整数，自然数； 是否存在最大的正整数，负整数，
自然数？如果有，请写出是哪个数．
【难度】★
【答案】
【解析】


【作业2】 78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．




奇数
【难度】★★
【答案】
【解析】


【作业3】 求26以内能被5整除的所有数的和．
【难度】★★
【答案】
【解析】


【作业4】 在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，然后 任意擦去其中的一个，换成所剩
两个数的和．照这样进行100次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数 ？它们的乘积是
奇数还是偶数？
【难度】★★
【答案】
【解析】

偶数

15 16

【作业5】 求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和．
【难度】★★★
【答案】
【解析】



【作业6】 一个大于1的自然数
a
，只有两个因数，那么
3a
有几个因数？
【难度】★★★
【答案】
【解析】



【作业7】 张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她
习惯 把钱都放在车厢售票员位置的小桌上，这样就可以随时算出有没有差错．有一次她
数了数桌上的硬币，是 36枚1角．她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道
为什么吗？
【难度】★★★
【答案】
【解析】



【作业8】 凡一个数的奇数 位数字的和同它的偶数位数字的和相减（大的和减去小的和），
所得的差是0或是11的倍数时，这个数 就是11的倍数．下列各数，哪些是11的倍数？
（1）20416；
【难度】★★★
【答案】
【解析】




（2）9283746； （3）387387．

16 16