数的整除 整除、因数和倍数
三维立体图片-陌陌谦行
第四讲 数的整除 整除、因数和倍数
【知识点】
一、整除的意义
1、零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数。
2.
整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整
除，或者说b能整除a。
用式子表示:如果
a÷b=c(其中a、b，c都为整数)称a能被b整除或b能整除a。
（区分两种表述）
3. 整除的条件:
1）除数，被除数都为整数
2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
二、因数和倍数
1.
整数a被整数b整除,a叫b的倍数,b叫a的因数(也称为约数)
2.注意：只有在整除的条件下，
才有因数和倍数的概念。倍数和因数是相互依
存的，不能单独存在，这里包含两层意思：
第一
，讲倍数和因数时，只能说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数，不能说谁
是倍数，谁是因数。
第二，两个整数存在倍数和因数关系是相互，如果a是b的倍数，那么b一定
是a的因数。
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一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3.求一个数的因数的方法
（1）.列乘法运算：根据因数的意义，有序的写出某数的所有两
个数乘积的乘
法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。
（2）.列除法运算：用此数除以
任意数，所得商是整数且没有余数，这些除数
和商都是该数的因数。
4.求一个数的倍数的方法
求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个
数的倍数。
三、奇数和偶数
1.整数中能被2整除的整数叫做偶数（2k），余下的整数都是奇数[（2
k+1）或
（2k-1）]
2.奇数＋奇数＝偶数 偶数＋偶数＝偶数
奇数＋偶数＝奇数
奇数－奇数＝偶数 偶数－偶数＝偶数 奇数－偶数＝奇数
奇数×奇数＝奇数 偶数×偶数＝偶数 奇数×偶数＝偶数
3.
能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8
能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5
能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0
能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除
能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除
【典型例题】
2 7
一、整除
例1.
什么是整数？什么是自然数？
3
，100，－8.5中，
7
在8，－10，0，0.25，－50，
正整数有
，自然数有 ，整数有
例2.最小的自然数是
思考：非负整数，如小于3的非负整数有
例3.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是
__________________________，
第二个数能整除第一个数的是
12和24；39和13；54和27；46和4；17和51；84和7
例4.
12÷3=4，那么 能被 整除； 能整除
例5： 小明认为2.5能被5整除。这种说法对吗？
思考.
因为4÷2=2,所以4是倍数,2是因数，这种说法对吗？
二、因数和倍数
例6.12与1、2、3、4、6、12有什么关系？
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例7.
一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（ ）
A <0 B
=0 C >0 D 不等于0
例8.
会求一个数的因数：如求105的因数
例9.
会求一个数的倍数：如求7的倍数（写出5个）
思考：任何一个正整数至少有两个因数？
例10. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定
是
。
例11. 18的因数 24的因数
4
7
18和24的最大公因数是
例12. 在15,27,38,62,90,135,420这七个数中:
1)能被2整除的数是 。2)能被5整除的数是
。
3)既能被2整除,又能被5整除的数是 。
4)能被3整除的数是 。5)能被9整除的数是
。
例13. 如果连续三个偶数之和是42，那么这三个数是（ ）
例14. 三个连续的偶数中,最大的是a，最小的是 ( )
【课后练习】
1．
9÷3=3，则____是____的因数，____是_____的倍数。
2．
18的因数有哪些？
3．写出下列个数的倍数
4．7的倍数（50以内）；24的倍数（100以内）
5．判断
（1）15的倍数一定大于15。…………………………………（ ）
（2）一个数的最大因数和它的最小倍数相等。…………… （ ）
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（3）36的最小倍数和最大因数都是36。……………………（ ）
（4）1没有因数。………………………………………………（ ）
（5）
40以内6的倍数有12、18、24、30、36这五个。……（ ）
6.若一个四位数199□能同时被2、5整除，则□表示 。
7．100以内能同时被3和7整除的最大奇数是 ，最大偶数是 。
8．连续三个奇数之和是39，它们中最小的是 。
9.将1到30这30个自然数相乘，所得的积的末尾有 零。
10.在空格处填上“奇数”或者“偶数”。
（1）奇数+偶数=
（2）偶数+偶数= （3）奇数+奇数
（4）奇数×奇数=
（5）奇数×偶数= （6）偶数×偶数=
（7）奇数× =偶数
（8） ÷奇数=偶数
11.用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，
（1）使这个数有因数2，有几种不同的排法？
（2）使这个数能被5整除，有几种不同的排法？
（3）使这个数是3的倍数，有几种不同的排法？
12.张阿姨是公交汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，
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她习惯把钱放在车厢售票员位置上，这样就可以随时算出有没有出
错，有一次
她数了数桌上的硬币，是36枚1角，她对司机说：“今天我肯定出错。”你知道
为
什么吗？
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