歌词大意-凉拌莴笋的做法

目录
第1讲 行程问题（一） ........................ ........................................ 2
第2讲行程问题（二） ................................... ............................... 6
第3讲 行程问题(三) .................................................. ................. 11
第4讲 鸡兔同笼问题 .............. .................................................. .. 15
第5讲 枚举与筛选 .............................. ........................................ 18
第6讲 从反面考虑 .................................... .................................. 20
第7讲 乘法原理 .................................................. ........................ 22
第8讲 加法原理 ......... .................................................. ............... 26
第9讲 加法原理和乘法原理的应用........... ................................ 29
第10讲 容斥原理 .................................................. ...................... 33
第11讲 最佳策略 .......... .................................................. ............ 37
第12讲 填数字游戏 ................... ................................................. 40
第13讲 一般应用题 ................................ .................................... 43
第14讲 平均数应用题 ........................................... ..................... 47







1

第1讲 行程问题（一）
【知识精要】
1.行程问题中的基本数量关系。
2.相遇问题中的数量关系及应用。
行程问题包 括相遇问题、追及问题、行船问题、火车过桥等等，这类问题灵活性大、涉
及面广，但依据都只有一个： 速度、时间和路程之间的数量关系。
这个关系是：
路程=速度X时间
时间=路程÷速度
速度=路程÷时间
两个运动物体(人） 分别以一定的速度，从两地同时出发，相向（面对面)而行，经过一
段时间后在途中相遇，像这样反映速 度、时间、路程三个数量间关系的行程问题叫做“相遇
问题”。
解答这类问题要理解三个概念：
速度和：两个运动物体（人）在单位时间(秒、分、时）所行 驶的路程和，即：速度和=甲速
十乙速。
相遇时间：两个运动物体（人）同时出发到相遇所用的时间。
相遇路程：两个运动物体（人）同时出发到相遇所走的路程。
基本数量关系式是：
相遇路程=速度和X相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
解答相遇问题，应注意物体运动的方向、出发时间、相遇时间、 是否相遇等。关键是找
出两个运动物体的速度和，然后根据两地路程求出相遇时间，或根据相遇时间求出 两地路程。
稍复杂的，可借助线段图帮助理解题意，找出解题途径。
【经典例题】
例1、张红家离学校1000米，李强家离学校3000米，他们步行上学。一天早晨张红7点20
分从 家出发，7点40分到学校。李强7点从家出发，7点40分到达学校。他们俩人谁走得
快?





例2、李明去爷爷家，爷爷出门迎接李明。已知爷孙俩同时 从家出发，相向而行，爷爷每分
钟走60米，李明每分钟走50米，经过10分钟他们相遇。问李明家离 爷爷家多少米?





2

例3、两城市相距1500千米，甲、乙两车分别从两城市同时相对开出。已知甲、乙两车的
速度分别 为每小时130千米、120千米，问甲、乙两车经过几小时相遇?






例4、邮局和书店分别在李明家的东、西两边，上午10点李明和妈妈同时从家出 发，妈妈
去邮局，李明去书店。李明每分钟走55米，妈妈每分钟走65米，8分钟后他俩相距多少米? 10
点20分李明到达书店，10点28分妈妈到达邮局，书店与邮局之间的路程是多少米?






例5、小明和小红两人在长100米的直线跑道 上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米
秒，小红的速度是4米秒。他们同时从跑道两端点出发，连 续跑了12分钟。在这段时间
内，他们相遇了多少次？






例6、一列客车长120米，速度为20米秒，一列货车长160米速度为15米 秒。当客车与
货车相遇时，错车而过需要几秒钟？







例7、小强和小丽同时从A、B两村出发，相向而行。小强每分钟行7 0米。两人相遇后，小
丽再走2800米到A村，小强再走20分钟到B村。小丽每分钟走多少米?







3

【随堂练习】
1、一架客机每分钟行12千米，从A城市机场飞到B城市机场 需要3个半小时，A、B两城
市的距离是多少?





2、张明和李华同时从家出发，相对而行。张明每分钟走65米，李华每分钟走50米，经过
6 分钟两人相遇，问他们两家之间相距多少米?





3、甲、乙两人同时从相距60千米的两地出发，相向而行。甲步行，要12小时走完全程；
乙骑自行车 ，每小时的速度是甲的3倍。几小时后两人在途中相遇?





4、两城市相距94千米，甲、乙两人骑自行车分别从两城市同时出发，相向而行。甲每小时
行 10千米，乙每小时行11千米，乙在途中因修车耽误1小时，然后继续行进，与甲相遇。
问从出发到相 遇经过几小时?





5、一列客车和一列货车从同 一地点相背而行，当客车行驶6小时、货车行驶7小时后，两
车相距699千米，客车每小时比贷车多行 6千米，客车每小时行多少千米?





6、两列火 车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米。两车错车时，甲车
上一乘客从乙车车头经 过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用38秒。问：乙车
全长多少米?



4

7、小客车和大货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。 若两车按原定速度前进，则4
小时相遇；若两车各自都比原定速度提高2千米小时，则3小时相遇。甲、 乙两地相距多
少千米?






8 、大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，小客车的速度是大客车的2倍，两车开出60
分钟相遇，并继 续前进。问大客车比小客车晚多少分钟到达目的地?






9、两列对开的火车相遇，甲车上的司机看到乙车从旁边开过去，共用了6秒钟。已知甲车< br>每小时行45千米，乙车每小时行36千米，乙车长多少米?






10、两列火车从某站相背而行，甲车的速度是52千米小时，甲车先开出2小时 后，乙车才
开出，乙车速度是48千米小时，乙车开出5小时后，两列火车相距多远?






11、甲、乙两站相距360千米。客车与货车 同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千
米，货车每小时行40千米，客车到达乙站停留半小时， 又以原速返回甲站，两车相遇的地
点离乙站多少千米?








5

第2讲行程问题（二）
【知识精要】
1.追及问题解题方法。
2.行程问题解题方法。
追及问 题也是行程问题中的一类。这类问题的特点是：两个物体同时向同一方向运动，
出发的地点不同(或者从 同一地点不同时出发，向同一方向运动)，慢者在前，快者在后，因
而快者离慢者越来越近，最后终于追 上。
解答这类题时，要理解速度差的含义（即单位时间内快者追上慢者的路程，也就是快者
速 度减去慢者速度)。追及问题的基本公式有：
路程差=速度差X追及时间
追及时间=路程差÷速度差
速度差=路程差÷追及时间
快者速度=速度差+慢者速度
慢者速度=快者速度一速度差
“列车过桥”问题也是 行程问题中的一类。过桥时，桥是静止的，列车是运动的。列车通
过大桥，是指从车头上桥到车尾离桥的 过程。如下图所示，观察车头的运动可看出，当列车
通过桥时，车头实际运动的路程就是列车运动的总路 程，即车长与桥长的和。





如果以车尾或车上任何一个位置去观察它的运动轨迹，都可得出同样的结论。
“列车过桥”是 以动对静。有些题目由于比较物与被比较物的不同，可能不容易想出运动
过程中的数量关系。解题时可以 利用身边的文具，如铅笔、文具盒、尺子等，根据题意模拟
情景，动态操作，使问题具体化、形象化；也 可以画出示意图，从而找出其中的数量关系，
帮助我们解决问题。这类题目的基本数量关系仍然是：路程 =速度×时间
【经典例题】
例1、甲、乙两人在相距16千米的A、B两地同时出发，同向 而行。甲步行每小时行4千米；
乙骑车在后面，每小时速度是甲的3倍。几小时后乙能追上甲?






例2、两个码头相距48千米。甲、 乙两船分别同时从两个码头出发，向同一方向航行。甲船
在前，乙船在后，甲船每小时行18千米，乙船 如果要在12小时追上甲船，每小时应行多少
千米?


6

例3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，同向而行， 乙车在前、甲车在后。已知甲车比乙
车提前出发1小时，甲车的速度是96千米小时，乙车每小时行80 千米。甲车出发5小时
后追上乙车，求A地到B地的路程。






例4、快车A车长120米，车速是20米秒，慢车B车长140米，车速是16 米秒。慢车B
在前面行驶，快车A从后面追上到完全超过需要多少时间?






例5、A.B两列火车的车身长分别是130米、140米 ，速度分别是16米秒、14米秒。两车
相向开出，两车从“相遇”到“错过”需要多少时间?






例6、车长160米的一列火车以1 8米秒的速度穿过一条380米长的山洞。问火车穿越山洞(进
入山洞直至完全离开)需要多少时间?







例7、一列火车长160米，每秒行18米，全车通过一座大桥用了30秒，桥长是多少米?






7

例8、A、B两 地相距480千米，甲、乙两辆货车都从A地同时出发，甲比乙车每小时慢行8
千米，乙车到达B地立即 返回，于距B地12千米处与甲相遇。那么，甲车每小时行多少千
米?






【随堂练习】
1、甲以4千米小时的速度步行去某地，乙比 甲晚2小时骑自行车从同一地点出发去追甲。
乙的速度是8千米小时，乙几小时可以追上甲?






2、甲、乙两人由A地到B地，甲的速度是每分 钟50米，乙的速度是每分钟45米。乙比甲
早走4分钟，两人同时到达B地。问：A地到B地的路程是 多少?






3、A、B两地相距88千 米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲每小
时行10千米，乙每小时行12千米 。问：（1)几小时后他们相遇?(2)几小时他们相距22千米?







4、甲车的车速是30千米小时，乙车的车速是36千米小时。甲、乙 两车从同地点出发，
甲车先行，乙车后行，乙车出发5小时后追上甲车。问：甲车比乙车早出发了几小时 ?





5、在周长为200米的椭圆形跑道上，甲、乙两人分别以6米秒、5米秒的速度骑车同时
8

同向出发沿着跑道行驶。己知出发时两人相距的跑道线长100米，那么16分钟内甲
追上乙多少次?





6、一列火车以16 米秒的速度通过一个山洞。已知火车长150米，从进入山洞到火车完全
离开共用了48秒。这个山洞长 多少米?






7、甲、乙两人环绕周长 为400米的跑道跑步。两人若从起点背向而行，经过1分钟，迎面
相遇；两人若从起点同向而行，经2 5分钟，甲可以追上乙。求甲、乙两人各自的速度。






8、张红以3米秒的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长152米的火车，火车的车速是16
米秒。问：火车经过张红身旁的时间是多少?







9、一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米。这列客车长100米，过桥 时的车速是40
米秒。这列客车经过南京长江大桥需要多少时间?









10、甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出。出发后2小时，两车相距141千米；出发
9

后5小时，两车相遇。A、B两地相距多少千米?






11、一列以相同速度行驶的火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9 秒，通过一座468米长
的铁桥用了35秒。这列火车长多少米?






12、甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。甲 、乙两人从A地，丙一人
从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米?( 选做题)


























第3讲 行程问题(三)
10

【知识精要】
1.行船问题中的基本数量及数量之间的关系。
2.解行船问题的一般方法。
船在 流水中航行的问题叫做行船问题。行船问题和行程问题一样，也有速度、时间与路
程之间的数量关系，但 是又比一般的行程问题多了一个水流的影响。
行船问题中常用的概念有：船速、水速、顺水速度和逆水 速度。船在静水中航行的速度
叫船速，河水流动的速度叫水速，船从上游向下游顺水而行的速度叫顺水速 度，船从下游向
上游逆水而行的速度叫逆水速度。
各种速度之间的关系：
顺水速度=船速十水速
逆水速度=船速一水速
船速=(顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度一逆水速度）÷2
【经典例题】
例1、一条船从甲港开往乙港， 顺水航行15小时可以到达乙港。已知船在静水中的速度是
16千米小时，水流速度是1千米小时。甲、 乙两港间的航线长是多少?船返回时从乙港
到达甲港需要多少时间?






例2、甲、乙两港的水路长288千米。一只船从甲港开往乙港、顺水 航行16小时到达乙港；
从乙港返回甲港，逆水航行18小时到达甲港。求船在静水中的速度(即船速） 和水流速度（即
水速）。






例3、一艘船从甲港开往乙港，逆水而行每小时行14千米，返回甲港时顺水而行用了12小
时。已知水 流速度为每小时2千米，甲、乙两港相距多少千米?






例4、A、B两港之间的水路长90千米，甲船顺水而下需要行驶6小时，逆流而上需要行驶
10小时。如果乙船顺流而下需要行驶5小时，那么乙船在静水中的速度是多少?
11

例5、甲、乙两港相 距360千米。一轮船往返这两港需64小时，逆水航行比顺水航行多花
16小时。现有一艘客船在静水 中的速度是每小时15千米，这艘客船往返两港需要多少小时?






例6、一艘轮船第一次顺流航行64千米，逆流航行24千米，共用14小时；第 二次用同样
的时间顺流航行82千米，逆流航行15千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。







【随堂练习】
1、一放轮船的静水速度是25千米小时，往来于相距180千米的A、B两城之间。从A到B
是顺水航 行，水速为5千米小时，求轮船往返于两城之间各需航行多长时间?






2、甲、乙两港间的水路长286千米，一艘轮船从甲港开往乙港顺水11小时到 达；从乙港返
回甲港，逆水13小时到达。求轮船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。






3、一艘轮船从甲港开往乙港，顺水 而行每小时行20千米，返回甲港时逆水而行用了9小时。
已知水流速度为每小时2千米，甲、乙两港相 距多少千米?

12

4、一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而下每小时行25千米，返回时逆流而上用了 75小时。
已知这段航道的水流是每小时5千米，问甲、乙两港相距多少千米?







5、某轮船在相距216千米的两个港口间往返 运送货物。已知轮船在静水中每小时行21千米，
两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么，这嫩轮 船往返一次需多长时间？







6、一被轮船从甲城出发，逐流而行，每小时行18千米，经过6小时到达乙城，回来是顺水
栽行，枪 船在水中的机行速度此逐水航行每小时快9千来，往返一共需要多少小时？







7、一条船顺流航行48千米，再逐流航行16千米，共用 5小时：如果这条船顺流航行32
千米，再逐流航行24千米，也共用5小时。求这条船在静水中的速度 。






8、一条船从甲地沿水路去乙地 ，往返一次共需2小时。去时顺水，比返回时每小时多航行
8千米，且第二小时比第一小时少航行6千米 。求甲、乙两地水路的距离。

13

9、A、B两船的静水速度分别是每小时25千米和20千米。两船先后从重庆港 顺水开出，B
比A早出发3小时，若水速是每小时5千米，问A开出后几小时可追上B?（选做题)






10、一被轮船从河的上游甲港顺流 到达下游的丙恶，然后调头送流向上到达中游的乙港，共
用了13小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流 速度的2倍，水流速度是每小时21千
米，从甲港到乙港相距18千米。求甲、丙两卷间的距离。（选做题）

























第4讲 鸡兔同笼问题
【知识精要】
14

1.鸡免同笼问题的解题思路。
2.应用鸡免同笼问题的解题思路解答有关问题。
“鸡免同笼”问题是有名的中国古算题，最 早出现在《孙子算经》中。许多应用题都可以
转化成这类问题，或者用它的典型解法——“假设法”来求 解。学会它的解题思路和解题方
法是很重要的。
【经典例题】
例1、李明家养了一 些鸡和兔子，同时养在一个围栏中，李明数了数，它们共有35个头，94
只脚。问李明家养的鸡和兔各 有多少只?






例2、动物园里养了一 些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和
鸵鸟各有多少只?







例3、学校买大、小日记本共40本 。已知大日记本每本17元，小日记本每本12元，共花
了540元。问买大、小日记本各多少本?







例4、李明和张华轮流打 一份稿件。李明每天打15页，张华每天打10页，他们一连打了25
天，平均每天打12页，问李明、 张华各打了几天?





例5、蜘蛛有8条腿，蜻蜓 有6条腿和2对翅膀，蝉有6条线1对翅膀。现在这三种小虫共
18只，有118条腿和20对翅路每种 小虫各多少只?
【随堂练习】
15

1、鸡和兔共有头80个，脚256只，那么，鸡兔各有多少只？





2、每只蛇鸟有2只腿和2只眼睛，长颈鹿有4只腿和2只眼睛动物园 里有一群蛇鸟和长颈
鹿。它们共有68只眼晴和84只腿，问鸵鸟和长颈鹿各有多少只?





3、学校农场养了一些兔和鸡，共有腿216只，兔比鸡少21只，那么，鸡和兔各多少只?





4、一停车场，停着小轿车和三轮摩托车正好24辆。这些 车共有86个轮子，那么，三轮摩
托车有多少辆?





5、有30枚硬币，由2分和5分组成，总面值9角9分，问2分和5分硬币各多少枚?






6、大油瓶装油5千克，小油瓶每瓶 装油2千克。现有100千克油装了26个瓶子，问大、
小油瓶各装了多少个?





7、某校师生95人去植树。教师每人栽6棵，学生每人栽1棵，一共 栽了120棵。问师生
各多少人？


16

8、学校举行一次数学竞赛，共有15道题，每做对一道得8分，做错 一道倒扣4分。小明共
得了84分，他做对了几道题?(选做题)


































【知识精要】

第5讲 枚举与筛选
17

1.枚举法。
2.用枚举法解题的一般方法。
（1）根据题目要求 ，按照一定顺序把问题所涉及的情况一一列举出来，分别加以讨论，这
种方法叫做枚举法。
用 这一方法解题必须注意枚举一定要充分，要把问题所涉及的情况一个不漏地列举出来。
枚举法有一定的局 限性，一般应用在对象的数目不太多的情况下。
（2)运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗 漏。因此，应力求有次序、有规律地进
行枚举。其关键就是要正确分类。分类要全，枚举要清。
（3)有些问题的解决是用枚举法将问题涉及的情况一一列举出来，加以讨论，最终筛选出所
需要的结 论。
【经典例题】
例1、人民币的面值有1元、2元、5元。现在小明手中有这3种人民币 各一张，用这3张人
民币可以组成多少种价钱？





例2、小明要把一张1元的人民币换成零钱。现有足够的面值为1角、2角、5角的人民币，
共 有几种不同的换法?






例3、由0，2，4，6可以组成多少个没有重复数字的三位数?分别是哪几个?






例4、用数字0，2，4可以组成多少个没有重复数字的数?





例5、两个自然数的和是15，积是36，这两个自然数各是多少?



18

【随堂练习】
1、张红有1角，2角，5角和1元的人民币各一张，用这4张人
民币可以组成多少种价钱?




2、如下图所示，从A地到B地有2条路
可走，从 B地到C地有4条路可走，从A
地到C地有几种走法?请写出所有的走法
（如A一E-B→H→ C是一种走法）。





3、用0，1，3，5，7可以组成多少个个位是5且没有重复数字的
四位数?





4、由数字9，2，3可以组成多少个没有重复的数字?






5、两个自然数的积是48，和是16。这两个自然数各是多少?





第6讲 从反面考虑
【知识精要】
19

有些问题，从正面着手往往很难解决，甚至不知从何下手；如果换一个思考的角度，从
问题的反 面入手，常常化难为易。这种换角度、另辟蹊径的思维方法就是“从反面考虑”
【经典例题】
例1;在1~2005这2005个自然数中，有多少个自然数不是100的倍数?







例2;口袋里有9张卡片，上面分别 写着1，2，3，4，5，6，7，8，9。现在任意取出7张卡
片，算出取出的卡片上的各数的和。问 这个和可能有多少种不同情况?







例3;如右图所示，图中5个阴影所示的图形都是正方形，并且每个小正方形的
边长都是4，图 上所标的数字是邻近线段的长度。那么，阴影所示的5个正方
形的面积之和是多少?







例4;桌上有8张分别标有数字1， 2，3，4，5，6，7，8的卡片游戏牌。甲、乙、丙3人每
人从中取出两张。甲取出的两张上面的数 之和是13，乙取出的两张上面的数之和是11，内
取出的两张上面的数之和是8。那么，丙取出的两张 卡片上标的数分别是几?






例5;有 一盒棋子，若4枚4枚地数多3枚，若6枚6枚地数多5枚，若15枚15枚地数多
14枚。如果这盒棋 子的枚数在100~150之间，那么这盒棋子有多少枚？


20

【随堂练习】
1;在400~2005这1606个数中，有多少个数不是37的倍数?





2;口袋里有8张卡片，上面分别写着1，2，3，5，7，11，1 3，17。现在任意取出6张卡片，
算出取出卡片上各数的积，这个积可能有多少种不同情况?





3;桌上有8张分别标有数字1，2，3，4， 5，6，7，8的游戏卡片。甲、乙、丙3人从中各
取出两张，两张上的数字之和分别是14、11、8 。那么，丙取出的两张上的数分别是多少？





4 ;学校文艺队的人数在100~150之间；若每2人一组，则剩1人；若每4人一组，刺3人；
若每5 人一组，则剩4人。这个文艺队有多少人?






5;有一筐革果，个数在50~100个之间；若每6个放一盘少2个；若每7个放一盘，则有一
盘少3个。问这筐苹果有多少个?




第7讲 乘法原理
【知识精要】
1.乘法原理。
21

2.乘法原理的应用。
（1）乘法原理。
做一件事，完成它需要分 成n个步骤，做第一步有m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不
同 的方法，…，做第n步有m。种不同的方法，那么完成这件事有：N=m
1
×m
2×……×m。
种不同的方法，这就是乘法原理。
（2）运用乘法原理解题的方法。
常用的方法有：枚举法、分类法、配对法、图表法。
例1;下图为某街区人行路示意图，从A到D有多少种走法?







例2;文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选1人做领唱，有多少种选法?






例3;花店里的阿姨要从3只篮子中各取一枝鲜 花扎成一束，已知有两只篮子里各有3种不同
的鲜花，另一只篮子里有2种不同的鲜花，且所有的鲜花品 种各不相同。问她们可以扎成多
少种不同式样的花束?





例4;（1）由数字1，2可以组成多少个两位数?（2）由数字1，2可以组成多少个没有 重复
数字的两位数?






< br>例5；（1）由3，6，9这3个数可以组成多少个没有重复数字的三位数?（2）由3，6，9这
3个数可以组成多少个三位数?



22

例6；由数字0，1，2，3可以组成多少个十位上是2的四位数?






【随堂练习】
1；如右图 所示，从A地到B地有5种走法，从B地
到C地有3种走法。李明从A地经B地到C地有多
少种 走法?







2；袋中有9个 球，其中A、B、C、D是红球，E、F、G、M、N是黄球。李明从袋中任意取
两个球，要求是一红一 黄，一共有多少种不同的取法？






3 ；从甲城到乙城有3条不同的火车线路，从乙城到丙城有2条不同的火车线路。从甲城经
乙城到丙城，共 有多少种不同的火车线路?






4；如 右图所示，从A村到B村有3条路可走，从
B村到C村有2条路可走，从C村到A村有4条路
可 走。小明从A村经过B村、C村最后回到A村，
有多少种走法?

23

5；某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停站点，铁路局要
为这条路线准备多少种不同的车票?






6；5名六年级同学毕业时互相赠送一张照片以作纪念，他们5
人一共交换了多少张照片?





7；冷饮店里有果味雪糕5种，奶油雪糕3种， 巧克力雪糕2种。小明想买果味雪糕、奶油
雪糕、巧克力雪糕各一根，有多少种选法?





8；由数字0，1，2，3可以组成多少个十位上是2的没有重复数字的四位数?





9；(1)由数字0，2，4，6，8可以组成多少个个位上是2的四 位数?(2)由数字0，2，4，6，8
可以组成多少个没有重复数字且个位上是2的四位数?





10；在5×5的方格图中(如图所示)，共有多少个
正方形?



24

11；某市电话号码自2004年1月1日起升至8位，每一位上的数码可以是0，1，2，3，·…，
9中的任一数字，而且不同的数字可以重复使用。如果把00000000也算是一个号码，那么
这座城市最多可以容纳多少部电话?






























【知识精要】
1.加法原理。

第8讲 加法原理
25

2.加法原理的应用。
（1）加法原理。
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m
1
种不同的方法，在第二类办
法中有m
2
种不同的方法，……，在第n类办法中有m， 种不同的方法，那么完成这件事共
有：N=m
1
+m
2
+··+m, 种不同的方法，这就是加法原理。
（2）运用加法原理解题的方法。
常用的方法有：枚举法、分类法、配对法、图表法。
【经典例题】
例1；下图是某街区人行路示意图，从A到D
有多少种走法?





例2；小明、小华、小红3人去公园游玩，想排成一行拍照留念，问她们共有多少 种不同的
照法?






例3；学 校四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人。从中任意选一人当升旗
手，有多少种选法 ？






例4；学校文艺小组有3名男生 ，4名女生：（1）从文艺小组中任意选1人当领唱，有多少
种选法?（2）从文艺小组中选出一名男生 、一名女生当领唱，有多少种选法?





例5；由数字1，2，3可以组成多少个数?




26

【随堂练习】
1；有不同的语文书6本，数学书 4本，英语书3本，科学书2本。从中任取一本，共有多
少种取法?





2；从大连到沈阳可以乘火车、汽车及飞机。已知每天从大连到沈阳的航班有2次 ，火车有
4次，汽车有6次。问从大连到沈阳共有几种走法?





3；李明的书包中有9本课本，4本连环画，还有5本科普读物他从中任意抽出一 本书，有
多少种不同的取法?





4；如 右图所示，正方形上有5个点：A、B、C、D、E，以其中的任意3
点为项点，可以组成多少个三角形 ?






5；由数字0，1，2，3可以组成多少个0在个位或0在十位且数字不重复的四位数?





6；甲袋有5张不同的红色卡片，乙袋有4张不同形状的白 色卡片，丙袋有3张不同形状的
黑色卡片。
（1）从这3个袋中任取一张卡片，有多少种取法?
（2）从每个袋中各取一张卡片，要求取 出的3张卡片红、白、黑色各一张，一共有多少种
不同的取法?
27

7；由数字2，4，6，8可以组成多少个数?





























第9讲 加法原理和乘法原理的应用
【知识精要】
1.加法原理和乘法原理。
28

2.运用加法原理和乘法原理解题的方法。
常用的方法有：枚举法、分类法、配对法、图表法。
【经典例题】
例1;商店里有 2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有3种水果糖：苹果味、梨味、橙味。小明
想买一些糖送给他的小朋友 。
（1）如果小明只买一种糖，他有几种选法?
（2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选
法?





例2;由数字0，1，3，9可以组成多少个数?






例3;3个圆A、B、C在同一条直线上，如图 所示。一只青蛙
在这3个圆之间跳来跳去(可以A与B之间跳、B与C之间
跳，还可以A与C之 间跳)。它先从A开始，跳了4次以后
又回到A。问：它有多少种不同的跳法?






例4;4只小鸟飞入4只不同的笼子里去，每只小鸟都有自 己的一个笼子，不同的鸟笼子也不
同。每个笼子只能飞进一只鸟，若都不飞进自己的笼子，有多少种不同 的飞法?






例5;如右图所示，在4×4的方格中，共有多少个正方形?




29

【随堂练习】
1;某信号兵用红、蓝、绿三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂一面、
两面或三 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号?






2;小明有3本不同的漫画书，4本不同的童话书，他想从这些书中选 出一本漫画书、一本童
话书送给他的小朋友刚刚和强强，他有多少种送法?






3;A队的李明、王华、张红与B队的王刚、刘胜、赵艳举 行乒乓球友谊比赛。要求每个队员
都要和对方的队员赛一场，采用“五局三胜制”，整个友谊赛至少要打 多少局比赛?







4;李红 有3本不同的数学书，5本不同的语文课外书，她想把这些书排成一行，共有多少种
排法?







5;架上有4本不同的漫画书，3本 不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不分
开，一共有多少种排法?



30

6;由数字0，2，4，8可以组成多少个四位数?





7;在5×5的方格图中(如下图所示)，共有多少个正方
形？































8;由数字0，1，3，9可以组成多少个没有重复数字的数?








9;如下图所示，从甲城到乙城有2条路，从乙 城到丙城有3条路，从甲城到
丁城有4条路，从丁城到丙城有2条路。从甲城到丙城共有多少种不同的< br>走法?










10;(1)用0、7、8、9四个数字组成不同的三位数，共有多少个?
（2）用0、7、8、9四个数字组成没有重复数字的三位数，共有多少个?
（3）用0、7、8、9四个数字组成没有重复数字的自然数，共有多少个?


31

11;在所有四位数中，数字和是34的数有多少个?

































【知识精要】
1.容斥原理。

第10讲 容斥原理
32

2.应用容斥原理解决问题。
容斥原理：如果有5件东 西，其中具有性质A的有a件，具有性质B的有b件，既有
性质A又有性质B的有c件。
那么具有性质A或性质B的件数是：
abc

既不具有性质A也不具有性质B的件数是：
s(abc)

【经典例题】
例1；如右图所示，两个长方形A和B的面积分别是21和9平方厘米，
它们重叠部分C的面积为4平方厘米，这两个长方形盖住桌面的面积
是多少?







例2；某校四年级共有132名学生，学生们自 愿报名参加课外活动小组。其中参加体育小组、
科技小组的分别有39人、28人，既参加体育小组又参 加科技小组的有12人。问：
（1）参加体育小组和科技小组的共多少人？
（2）四年级有多少名学生既没参加体育小组又没参加科技小组?







例3；在1~100的自然数中，能被3或5整除的数有几 个?既不能被3整除又不能被5整除
的数有几个?








例4；一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人， 参加文艺代表队的有25人，并且
每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人?



33

例5；李老师出了两道题，全班40人中，第一题有30人对，第二题有12人未做对，两道
题都做对的有20人。问：
（1）第二题做对第一题没做对的有几个人?
（2）两题都不对的有几个人?





< br>例6；400盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着(每拉一下开关，电灯的状态发生改变：
亮 的灭了，灭的亮了)。现将其编号为1，2，3，…，399，400，然后将所有编号为5的倍
数的电 灯的开关线都拉一下，再将所有编号为7的倍数的电灯的开关线都拉一下。两次拉完
后，灭了的电灯有多 少盏?







【随堂练习】
1;面积为1平方米的正方形桌面上放着两本书A和B，A和B的面积分别为294平方厘米、
234平方厘米，两本书重叠部分的面积为100平方厘米。求桌面没被两本书盖住的面积。









2;如图，在 长和宽分别为10厘米、6厘米的长方形ABCD
上画有两个小长方形EFGH、MNGK，它们的面积 分别为
15平方厘米、12平方厘米，图中阴影部分的面积为36
平方厘米。求两个小长方形公 共部分OPQR的面积。

34

3;四年级一班有48人，其中会游泳的有21人，会滑冰的有12人 ，既会游泳又会滑冰的有
6人，问两样都不会的有几人？






4;在1，2，3，…，1998这1998个数中，既不能被8整除，又不能被 12整除的数共有多少
个?






5;50名学生面向老师站成一行，按老师的口令从左到右顺序报数：1，2…，50。报完后，
老师 让所报数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是6的倍数的同学向后转。问现
在仍然面向老师的 有多少名同学?






6;一个班有学生 45人，参加数学兴趣小组的有30人，参加音乐兴趣小组的有22人，并且
每人至少参加一个小组。这 个班两组都参加的有多少人?






7; 有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会。问既
会摔跤又会 击剑的运动员有多少人?



35

8;某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生；参加语文竟赛的有120 名女生，80名男
生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竟赛都参加了，那么 只参加
数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人?







9;在一次检测中，某班数学得A的有17人，语文得A的有13人， 语文、数学都得A的有7
人，那么语文、数学中至少有一科得A的有多少人?全班45人中两科都不得A 的有多少
人?







10;在1~100的自然数中，是5的倍数或3的倍数的数有几个?
















第11讲 最佳策略
【知识精要】
36

在日常生活、生产劳动、商业贸易等决策运筹时，经常会遇到这样一类问题：怎样安排
时间最省，怎样行走路线最短，怎样管理费用最低，怎样设计面积最大，怎样合作效率最高，
等等。
它们都可以归结为在一定范围、一定条件下寻求最佳策略，求最
大或最小值的问题。列举比较法是获得最大值或最小值的常用方法。
【经典例题】
例1;有9个苹果放在一起，其中8个一样重，另有一个比这8个轻。用一架天平最少称几次，
才可以找 到那颗较轻的苹果?








例2;用一只平底锅煎油饼，每次只能放2块饼。如果煎1块饼需要4分钟(正反两面各2分
钟 ），那么煎3块饼至少要几分钟?煎53块饼呢?








例3;办公室里只有一台电脑，A、B、C、D4人都要用电脑处理文 件。他们所用的时间分别是
4分钟、3分钟、2分钟和1分钟那么怎样安排他们使用电脑的顺序，使4人 等待和用电脑
时间的总和最小?最少的时间是多少?









例4;公园只售两种门票：个人票每张5元，1 0人一张的团体票每张30元；购买10张以上
团体票者，每张团体票可优惠3元。
（1）甲单位45人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱?
（2）乙单位208人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱?
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
37

【随堂练习】
1;公园只售两种门票 ：个人票每张5元，10人一张的团体票每张30元；购买10张以上团
体票者，每张团体票可优惠3元 。
（1）甲单位97人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱?
（2）乙单位134人追公园，按以上规定买票，最少应付多少钱?






2;有5个砝码，它们的重量分别为100克、101克、102克、 104克、107克，但外观完全相
同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秆，它可以称出300克以 内的物体的重量。怎样称
3次就找出重量为100克的砝码?请写出操作步骤。








3;妈妈要用一个平底锅烙6块饼， 这只锅每次能烙4个，烙熟一个饼要4分钟（每面各要2
分钟）。请你帮妈妈设计一个最省时间的熔饼方 法。所用的最少时间是多少?






< br>4;每个周四晚上6点30分到7点30分，在这一个小时内，张红必须完成以下工作：花2分
钟 浇花，花6分钟喂鱼，花半小时读外语，花15分钟吃晚饭，花5分钟收拾书包，还要听
半小时新闻。请 你为张红设计一个最佳方案，制作一张合理的时间安排表。


38

5;小玲在一个早晨 ，要完成以下几件工作，所需的时间是：①起床，穿衣服需要4分钟；②
刷牙、洗脸、整理书包需9分钟 ；③在煤气炉上煮汤粉需10分钟；④吃早餐需5分钟。
如果合理安排，最少用多少时间就可以吃完早餐上学?









6;在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶300千 米，每辆巡逻车只可装供行驶15天的汽油。现
有3辆巡逻车甲、乙、丙同时从驻地A出发，完成任务后 再沿原路返回。为了让其中一辆
车尽可能向更远的地方巡逻，然后一起返回，甲、乙两车行至途中B处后 ，仅留下3辆车返
回驻地所必须的汽油，将多余的汽油给丙用。丙车最远离驻地A的路程是多少千米?( 选做题)
















第12讲 填数字游戏
【知识精要】
1.填数字的基础知识。
2.填数字的分析方法。
39

数字问题是研究关于数字的特殊结构、特殊关系，以及数字运算中的有关变换的应用题。
数字是指0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个阿拉伯数字，记数时，每个数字要占一个位置，这些位置叫做数位；同一个数字，它在所记的数里的位置不同，所表示的值的大小
也不同。 我们常常根据记数中的有关规则，解答一些有趣的关于“数字问题”的应用题。
本讲将结合具体事例来学习填数字问题的分析方法。
【经典例题】
例1;李明家的 门牌号是一个三位数，个位数字是十位数字的2倍，十位数字是百位数字的2
倍，3个数字之和是14， 请问，李明家的门牌号是多少?






例 2;有一个密码是六位数，其中左边3个数字相同，右边3个数字是3个连续的不为零的自
然数，6个数 字之和恰好等于未尾的两位数。问这个密码是多少?






例3;下面4个算式的被除数都是相同的两位数，根据算式推算被除数是多少?
÷6=□……3 ÷8=……7
÷7=……4 ÷9=……3





例4;将0、1、2、3…、9这10个数字填 入下面算式的囗内，每个囗内只填一个数字，使下
面的算式成立：
＋=
－=
×=


例5；一个三位数，个位和百位数 字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字
是7，试求它们的差。




40

【随堂练习】
1；一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字
的3倍，这个 四位数是多少?






2；把数字6写到 一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得的和正好是原来四
位数的35倍。原来的四位 数是多少?






3；某地区的邮政编码 可用AABCCD表示，已知这6个数字的和是11，A与D的和乘以A等于
B，D是最小的自然数。这 个邮政编码是多少?







4 ；一个四位数，去掉个位数后是一个三位数，四位数减去这个三位数的差是三位数的9倍，
去掉的数字是 几?







5；老师出了一道 加法题：AB+C0，其中A、B、C都是1—9中的数字。小明算对了，得97；
小刚抄错了题，算成 AB+C=52。若小刚的计算也是对的，那么老师出的题是什么?




41

6；xy,zm各表示一个两位数，xy+zm=139,则x+y+z+m的和是多少?







7；若三位数2a3加上326等于 另一个三位数569，若5b9能被9整除，则a十b的值是多
少?






8；一个三位数，3个数字各不相同且都不为0，如果3个数字之和为 10，这样的三位数有
多少个?







9；一个三位数，个位数字与百位数字的和与积都是4，3个数字的积还是4，这个三位数是
多少?








第13讲 一般应用题
【知识精要】
理解一般应用题的数量关系，掌握分析、解答 一般应用题的一般应用题没有固定的数量
关系，也没有可以依赖的解题模式。解答一般应用题时，可以借 助线段图、示意图、直观演
42

示等手段来帮助分析。在分析应用题的数量 关系时，我们可以采用从条件出发，逐步推出所
求问题的方法，即综合法；也可以采用从问题出发，找出 解决问题的必须条件的方法，即分
析法。在实际解题时，要具体分析题中的已知条件，灵活运用这两种方 法。另外，我们也常
常采用画线段图的方法来帮助理解题意和分析数量关系。
【经典例题】
例1；有6箱苹果，每箱的个数相等，现从每箱中拿出12个送给幼儿园小朋友吃，剩下的
苹果 正好相当于原来4箱苹果的个数，原来每箱苹果有多少个?








例2；张老师把一些笔记本奖给在数学竞赛中获奖的小红、 小莉和小欣三人。小欣得到2本；
小红得到的本数等于小欣的本数加上小莉所得本数的一半；而小莉得到 的本数正好等于小红
和小欣本数的和。张老师一共发了多少本笔记本?








例3；甲、乙、丙三人买面包平均分 着吃。甲出了5个面包的钱，乙出了4个面包的钱，丙
没带钱。回家后，丙拿出3.6元钱给甲和乙作为 吃面包的费用。问甲、乙各应收回多少钱?









例4；甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买了一管苹果，分配的时候甲和 丙都比乙多拿了7.5
千克。结果，甲和丙各付给乙10元钱，每千克苹果多少元?




43

例5；修路队修一条路，原计划每天修60米，实际每天比计划多修20米，结果提前5天完
成 任务。这条路全长多少米?








例6；左师傅和梁师傅两人生产同样的零件，原计划每天共生产400个。由于改进技术，左
师傅每天多生产100个，梁师傅的日生产量提高了1倍。这样，两人一天共生产650个。左
师傅和梁师傅原计划每天各生产零件多少个?









例7；师徒两人生产同一种零件，徒弟比师傅早1.5小时开工当师傅 生产了2.5小时后，发
现自己比徒弟少做60个零件。两人又生产了4小时，师傅反而比徒弟多生产了 60个。问师、
徒每小时各生产零件多少个?










【随堂练习】
1；有10个盒子，每 盒都装有同样多的珠子，现在从每盒中拿出6个珠子，剩下的珠子个数
相当于原来7盒珠子的个数，原来 每盒有多少个珠子?

44

2；把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重5千克，鱼头的重量等于鱼尾的重量< br>加鱼身一半的重量，而鱼身的重量等于鱼头的重量加鱼尾的重量，这条大鱼重多少千克?







3；小明和小兵拿出同样多的钱买铅 笔，分牺笔的时候，小明分了11支，小兵分了7支，因
此，小明又给了小兵1.2元钱。每支铅笔多少 钱?






4；甲、乙、丙三人拿出同样 多的钱合买了一批西瓜，分配时甲比乙和两多拿了60千克。结
账时，甲分别付给乙和丙各22元钱，每 千克西瓜多少元?






5；食堂运进一 批大米，原计划每天吃80千克，实际每天比计划少吃了10千克，这样这批
大米就比原计划多吃了2天 。这批大米一共有多少千克?






6； 甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产70个，由于更换了新机器，甲每天多生
产40个，乙每 天的生产量是原来的3倍，这样两人一天共生产零件170个，甲、乙原计划
每天各生产零件多少个?



45

7 ；把一根木棒插入水底，木棒湿了60厘米，然后将木棒倒转过来再插入水底，这时木棒湿
的部分比它的 一半短20厘米。这根木棒长是多少?







8；一个物体从高空中下落，已知第一秒钟下落的距离是4.9米，以后每秒钟落下的距离都
比前一秒钟多9.8米。20秒钟后物体落地，这个物体在下落前距地面有多少米?







9；甲、乙两人同时从A地骑车前往 B地，前3小时内，甲因修车耽误了1小时，结果乙领
先于甲6千米。又经过3小时，甲反而领先于乙3 千米，求甲、乙两人每小时各骑多少千米?






10；电视机厂要完成一批电视机的装配任务，现已经装好635台。如果以后每小时比原来多
装配2台，还需要40小时完成，但最后一小时要少装5台；如果仍然按原来的工作效率
装配，就需要多工作3小时，这批要装配的电视机一共有多少台?






第14讲 平均数应用题
【知识精要】
1.掌握求平均数应用题的一般解题方法。
2.求平均数方法的选择和技巧的运用。
46

将几个不同的数，在总数量不变的情况下，通过移多补少，使它们成为 相等的几份，求
其中一份是多少，这一份的数量叫做平均数，解答平均数应用题，一般根据“总数量”、 “总
份数”和“平均数”三者之间的关系进行解答，其基本数量关系是：总数量÷总份数=平均
数；也可以先确定一个数作为基准数，再把其他的数和基准数相比较，直接“移多补少”。
【经典例题】
例1；五位同学按身高从左到右排成一行，左起三位同学的平均身高是150厘 米，右起三位
同学的平均身高是147厘米。五位同学的平均身高是148.5厘米。小明正好站在中间 ，小明
的身高是多少厘米?





例2；小 红与四名同学一起参加一次数学竞赛，那四名同学的成绩分别为78分、82分、91
分、79分，小红 的成绩比五人的平均分高6分，小红的成绩排在五人中的第几位?






例3；已知甲、乙两数的平均数是30，乙、丙两数的平均数是34，甲、丙两数 的平均数是
32，甲、乙、丙三数的平均数是多少?






例4；合唱队里男同学的人数是女同学的一半，男同学的平均身高是154厘米， 女同学的平
均身高是160厘米，合唱队同学的平均身高是多少厘米?






例5；甲、乙两地相距60千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 20千米。到达乙地后
又从原路返回甲地，每小时行30千米。这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是每 小时多少
千米?



47

例6；某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖 中最后4人调整为二等
奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3 分。那么
原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？







例7；体操比赛的裁判小组由若干人组成，每位裁判给选手的最高分不 超过10分。第一名
选手比赛后的得分情况是：全体裁判所给的平均分是9.64分；如果只去掉一个最 高分，其
余裁判所给的平均分是9.60分；如果只去掉一个最低分，其余裁判所给的平均分是9.68
分。那么，所有裁判所给的分数中最低分最少是多少分?这次比赛的裁判有多少名?








【随堂练习】
1；7个数排成一行，它们的平均数是24，前4个数的平均数是20，后4个数的平均数是29，
第4 个数是多少?








2；小红期中考试成绩公布后计算得知：语文、数学的平均分为94分，数学、英语的平均分
为88分 ，语文、英语的平均分是86分，小红这三门功课各得多少分?




48

3；邮适员上山送信，上山时每小时行2千米， 下山时每小时行3千米，他往返一趋的平均
速度是每小时多少千米?






4；甲组数的个数是乙组数的2倍，甲组数的平均数是82，乙组数的 平均数是76，甲、乙两
组数的平均数是多少?






5；有甲、乙、丙、丁四个数，甲、乙、丙三个数的平均数是20，丁数比四个数的平均数多
12，求丁数。







6；歌手大奖赛上六名评委给一名参赛者打分，六个人打的平均分是9.6分；如果去掉一个
最高分， 这名参赛者的平均分是9.4分；如果去掉一个最低分，这名参赛者的平均分是9.8
分，如果去掉一个最高分和一个最低分，这名参赛者的平均分是多少?








7；育才小学100名学生参加数学竟赛，平均 分是63分。其中男生的平均分是60分，女生
的平均分是70分，问女生比男生少多少人?




49

8；甲、乙、丙三人，平均体重是34千克。甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙
重 4千克，乙的体重是多少千克?








9；有A、B、C、D四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样计算了四次， 得
到的结果分别是26、33、30、23，那么，A、B、C、D这四个数的平均数是多少?







10；某次考试，林丽等 7人的平均分是78分，其中得分最高的是97分，最低的是64分，
林丽得了88分，余下的4个人中 有2人得了相同的分数；分数各不相同的5个人的平均分
是80分，其中还有一个同学与别人的得分不同 ，他的得分是多少?

50