春游游戏-不必花力气打的东西是什么

鸡兔同笼问题

在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流 传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十
五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现 代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，
已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一 共有多少只？
这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解 法多种多
样，但一般采用假设法。

【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔 头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多
少只？
【解析】鸡兔同笼问题往往用假设 法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，
根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找 到正确答案。
假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－7 0=24只。减少
的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只 ，鸡有35－12=23只。
【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情
况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换
同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。
【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？
【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是2×27= 54
元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一张面5 元的
人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币 有27－
15=12张。
【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？
【解析】2分10枚，5分30枚
【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装 载，只要36辆。每辆大车比小车多装4
吨，这批水泥有多少吨？
【解析】求出大车每辆各装 多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需
45－36=9辆小车来运 ，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有16
×45=720吨。
【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？
【解析】96吨
【例4】★★某玻璃杯厂要为商场运送 1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，
这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结 果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。求打
碎了几个玻璃杯？

【解析】假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费1×1000 =1000元，实际上少得1000－
920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个， 不但不给运费还要赔偿3元，这样玻璃
杯厂就少收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元，所以打碎 的玻璃杯数为80÷4=20个。
【小试牛刀】搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3 角。但打碎一只，不仅不给搬运费
还要赔5角。如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了多少 只？
【解析】50只
【例5】★★某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共2 00张，收入7800元。其中40元
和50元的张数相等，每种票各售出多少张？
【解析】 因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票，
假设这2 00张门票都是45元的，应收入45×200=9000元，比实际多收入9000－7800=1200元， 这
是因为把30元的门票都当作45元来计算了。因此30元的门票有1200÷（45－30）=80 张，40元
和50元的门票各有（200－80）÷2=60张。
【小试牛刀】某场球赛售出 40元、30元、50元的门票共400张，收入15600元。其中40元和50
元的张数相等，每种 门票各售出多少张？
【解析】30元的160张
【例6】★★一次竞赛的抢答题共有20道 题，如果抢答对一道题就加10分，抢答错误要倒扣20分。
李刚在比赛中抢答了9道题，一共加了30 分，他抢答对几道题？
【解析】假设李刚答对了9道题，那么他答错了
（10×9－30）÷（10＋20）
=（90－30）÷30
=60÷30
=2（道）
答对了9－2=7（道）
【例7】★★ 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
【解析】假设100只都是鸡，没有 兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多
200只，而实际上只多20只，这说 明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只 ，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少
4＋2＝6（只），而180÷6＝ 30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），
有鸡100——30=70（只）。
【小试牛刀】现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克， 每个小瓶可装油2千克，大瓶比小
瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
【解析】小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
【例8】★★★有蜘蛛、蝉、蜻蜓共22只，共有腿148 条，翅膀22对。（其中蜘蛛有8条腿；蜻蜓
有6条腿，两对翅膀；蝉有6条腿，一对翅膀）。求蜻蜓有 多少只？
【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题，我们先依据题意，得到以下几种数量：
项目
腿（条）
蜘蛛 蜻蜓

2×只数
蝉

6×只数
1×只数
合计
22
148
22
只数（只）
翅膀（对） ——
8×只数 6×只数
注意到蜻蜓和蝉都是有6条腿，而蜘蛛有8条腿。所以可以先从腿数入手求出蜘蛛的只数。假

设三种昆虫都是6条腿，那么总腿数是6×22=132（条），与已知的148条腿相差148 －132=16（条），
这是因为每只蜘蛛少算了8－6=2（条）腿，所以有16÷2=8（只）蜘蛛 。这样蜻蜓和蝉一共有22－
8=14（只），一共有22对翅膀。再从翅膀入手，假设14只昆虫全是 蜻蜓，求出蝉有（2×14－22）
÷（2－1）=6（只），这样蜻蜓有14－6=8（只）。
假设三种昆虫都是6条腿，那么蜘蛛有：（148－6×22）÷（8－6）
=（148－132）÷2=16÷2=8（只）
蜻蜓和蝉一共有22－8=14（只）
假设14只昆虫全是蜻蜓，那么蝉有：（2×14－22）÷（2－1）
=（28－22）÷1=6÷1=6（只）
蜻蜓有14－6=8（只）
【小试牛刀 】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共
18只，有118 条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？
【解析】 9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
提示：把小虫分成8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。
【例9】★★★学校买来足球、 篮球和排球共45个，共花费2820元。其中足球每个80元，篮球每
个60元，排球每个50元；现 已知足球个数比排球少3个。三种球各买了多少个？
【解析】假设排球减少3个，此时三种球一共有4 5－3=42（个），共花费2820－50×3=2670（元）。
由于足球与排球个数同样多，就可 以把足球与排球和起来看作是一种球，这时足球、排球平均每个
是（80+50）÷2=65（元）。此 时就将题目转化为典型的鸡兔同笼问题：
两种球共有42个，共花费2670元，其中篮球每个是60 元，另一种球每个是65元。两种球各
有多少个？
求出篮球有多少个以后，就可以求出足球和排球有多少个。
将排球减少3个，那么有45－3 =42（个）球，共花费2820－50×3=2670（元），足球、排球平均每
个是（80＋50） ÷2=65（元）。
假设全是另一种球，那么篮球有（65×42－2670）÷（65－60）
=（2730－2670）÷5=60÷5=12（个）
这样足球与排球一共有33个，一共花了2820-60×12=2100元。
假设全是排球，那么足球有（2100－50×33）÷（80－50）
=（2100－1650）÷30=450÷30=15（个）
排球有33－15=18（个）
【小试牛刀】学校买来足球、篮球和排球共34个，共花费2 430元。其中足球每个90元，篮球每个
70元，排球每个60元；现已知买足球所花的钱数与买排球 用的同样多。三种球各买了多少个？
【解析】把2个足球、3个排球看作一组，求出平均每个球的价钱是：
（90×2＋60×3）÷（2＋3）
=360÷5
=72（元）
假设学校买来的全是篮球，那么
“新球”有：（2430－70×34）÷（72－70）
=（2430－2380）÷2
=50÷2
=25（只）
篮球有：34－25=9（只）
足球有：25÷（2＋3）×2
=25÷5×2
=10（个）

排球有：25－10=15（个）
【例1 0】★★师徒二人合作加工赶制一批零件。师傅每小时加工零件200个，徒弟每小时加工120
个，中 途师傅由于疲劳先后休息了3小时。工作完成后，徒弟发现他仍然比师傅少加工了200个零
件。师徒二 人共加工了多少个零件？
【解析】师徒二人一共加工了2600个零件。

1.1 00个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
【 解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假
设法来解 。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以
小 和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故
小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
2. 彩色文化用品每套19 元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。
问：两种文化用品各买了 多少套？
【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们 共有16
个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买 了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），
现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
买普通文化用品 24÷8=3（套），
买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
3 .一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装
4吨 ，那么这批钢材有多少吨？
【解析】要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法， 假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以
要剩下4×36= 144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆
小卡车 能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。
4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：这批钢材有720吨。
4.乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共< br>打破了几只花瓶？
【解析】假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0. 24×500=120（元）。实
际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。 搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5
（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3 （只）。
（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
5. 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜
比小乐 每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。
6.有2角一张的人民币和5角一张的人民币共33张，共11元1角。两种人民币各有多少张？
【解析】11元1角=111角
假设全是5角一张的人民币，那么
2角一张的人民币有：（5×33－111）÷（5－2）
=（165－111）÷3=54÷3=18（张）
5角一张的人民币有：33－18=15（张）
7.在竞赛抢答题组比赛中，李刚和王平各自 抢答了10道题，已知抢答的规则是答对一题加20分，
答错一题要倒扣16分。结果两人一共得了25 6分，其中李刚比王平多得了72分。两人各答对了几
道题？
【解析】假设20道题全答对，那么
二人一共答错：（20×20－256）÷（20＋16）
=（400－256）÷36
=144÷36
=4（道）
二人一共答对：20－4=16（道）
李刚比王平多答对：72÷（20＋16）=2（道）
所以李刚答对：（16＋2）÷2=9（道）
王平答对：9－2=7（道）
8．红 英小学组织120名教师和学生参加植树活动。每个老师植树2棵，每两个学生种一棵树。他们
一共种了 90棵树。老师和学生各有多少人？
【解析】假设参加植树的全是学生，那么
教师有：（90－120÷2）÷（2－0。5）
=（90－60）÷1。5
=30÷1。5=20(人)
学生有：120－20=100（人）
9．一个年级 有四个班，一共有181名学生。其中一班比二班少3人，二班比三班少4人，三班人数
与四班人数同样 多。四个班各有多少学生？
【解析】假设四个班的人数都与二班人数同样多，那么
二班有：（181＋3－4×2）÷4
=（184－8）÷4
=176÷4
=44（人）
一班有：44－3=41（人）
三班、四班分别有：44＋4=48（人）
10．传说九头鸟有9个头和 1条尾巴，九尾狐有1个头和9条尾巴。现在一共有153个头，177条
尾巴。两种动物各有多少只？
【解析】假设153个头全是九头鸟的，那么
九尾狐有：9×〔（177－153÷9）÷（9×9－1）〕
=9×〔（177－17）÷80〕
=9×2
=18（只）

九头鸟有：（153－18）÷9
=135÷9
=15（只）
11.现在有5元一张和20元一张的人民币共520元，其中20元面值的人 民币的张数是5元面值的3
倍。两种面值的人民币各有多少张？
【解析】5元面值的人民币有：520÷（20×3＋5）
=520÷65
=8（张）
20元面值的人民币有：8×3=24（张）
12．修一条公路，如果 由甲队单独修，需要6天完成；由乙队单独完成，需要12天。现在由甲队先
单独修了一部分以后，再由 乙队接着修，一共用了10天完成。两队各修了几天？
【解析】这是一道较复杂的工程问题，我们可以 尝试把它转化成鸡兔同笼问题。由已知，我们可以
把这条公路平均分成24份，那么甲平均每天修其中的 4份，乙平均每天修其中的2份。这样我们把
一共修的天数看作是鸡兔头的总数，把甲每天修的看作是每 只兔的腿数，乙每天修的看作是每只鸡
的腿数。24份就是“鸡兔”的腿数和。有假设法可知：假设全是 “鸡”，那么一共有兔（24－2×10）
÷（4－2）=2（只），即甲队修了2天，所以乙队修了1 0－2=8（天）。
把公路平均分成24份，那么有甲队平均每天修其中的4份，乙队平均每天修其中 的2份。假设乙队
修了10天，那么甲队修了：
（24－2×10）÷（4－2）
=4÷2
=2（天）
乙队修了：10－2=8（天）