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公务员考试-数学-鸡兔同笼问题
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200632
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“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《 孙子算经》中.许多小学
算术应用题都可以转化成
这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它
的解法和思路.
1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
我们设想， 每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后
腿，像人一样用两只脚
站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，?也就是

244?2=122（只）.
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子 的头数相当于算了两次.因此从122
减去总头数88，剩下的就是兔子头数
122-88=34，
有34只兔子.当然鸡就有54只.
答：有兔子34只，鸡54只.
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数?2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减 法，马上能求出兔
子数，多简单！能够这样
算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又 是2的2倍.可是，当其他问
题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不 通.因
此，我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了
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88×4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡
（88×4-244）?（4-2）= 54（只）.
说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公
式
=×-?-.

当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×8 8=176（只），比
244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，
68?2=34（只）.
说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式
=-×?-.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知
道另一个数.
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.
2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.1 1元，两种铅笔共买了16支，花了
2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？
以“分”作为钱 的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19
只脚，它们共有16个头，280只脚 .
现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，
就有
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蓝笔数=（19×16-280）?（19-11）
=24?8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类问题的计算，常常可以利用 已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19
与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子 ”，8只是“鸡”，根据
这一设想，脚数是
8×（11+19）=240.
比280少40.
40?（19-11）=5.
就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成
计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”
为10，“鸡数 ”为6，就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24?（19-11）=3，
就知道设想6只“鸡”，要少3只.
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.
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下面再举四个稍有难度的例子.
3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单
独打若干小时后，
因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？

我们把这份稿 件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打
30?6=5（份），乙每小时打30 ?10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数< br>是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔
同笼”问题 了.
根据前面的公式
“兔”数=（30-3×7）?（5-3）
=4.5，
“鸡”数=7-4.5
=2.5，
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.
答：甲打字用了4小时30分.
4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年
后（20 02年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父
的年龄是兄的年龄的3倍时 ，是公元哪一年？
4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之 和是
78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是
“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是
（25×4-86）?（4-3）=14（岁）.
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1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.

父年龄是
（25-14）×4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
（40-10）?（3-1）=15（岁）.
这是2003年.
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
5 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对 翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这
三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只 ？
因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条
腿”与“6条 腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=（118-6×18）?（8-6）
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=（13×2-20）?（2-1）=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
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答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.
6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少
做对1道题，做对1道的有 7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样
多，那么做对4道的人数有多少人？

对2道、3道、4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的 人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人
（（2+3）?2=2.5）.这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5，
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
（144-2.5×39）?（4-1.5）=31（人）.
答：做对4道题的有31人.
“”
鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该
怎样去解呢？
7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多
40张，那么两 种邮票各买了多少张？
如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
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（680-8×40）?（8+4）=30（张），
这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有
40+30=70（张）.

答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.
也可以用任意假设一个数的办法.
譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40 张”，那么应有60张8
分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是
4×20+8×60=560.
比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40， 每增加1张4分，就要
增加1张8分，每种要增加的张数是
（680-4×20-8×60）?（4+8）=10（张）.
因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.
8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天

工程要多少天才能完成？
类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每
天完成8份. 用上一例题解一的方法，晴天有
（150-8×3）?（10+8）= 7（天）.
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雨天是7+3=10天，总共
7+10=17（天）.
答：这项工程17天完成.
请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是 17天完成，
由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？
9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
假如再补上28只 鸡脚，也就是再有鸡28?2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔
的脚是鸡的
脚4?2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是
（100+28?2）?（2+1）=38（只）.
鸡是
100-38=62（只）.
答：鸡62只，兔38只.
当然也可以去掉兔28?4=7（只）.兔的只数是
（100-28?4）?（2+1）+7=38（只）.
也可以用任意假设一个数的办法.
假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是
4×50-2×50=100，
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比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了） .为了保持总数是100，一
只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意， 不是
2）.因此要减少的兔数是
（100-28）?（4+2）=12（只）.
兔只数是
50-12=38（只）.

另外，还存在下面这样的 问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两
数之差”.
10 古诗中，五言绝句是 四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句
都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句 多13首，总字数却反而少了
20个字.问两种诗各多少首.
如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差
13×5×4+20=280（字）.
每首字数相差
7×4-5×4=8（字）.
因此，七言绝句有
28?（28-20）=35（首）.
五言绝句有
35+13=48（首）.
答：五言绝句48首，七言绝句35首.
假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七 言绝句是10首.字数分别是
20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数 ，反而多了
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460-280=180（字）.
与题目中“少20字”相差
180+20=200（字）.
说明假设诗的首数 少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首
七言绝句，而字数相差

增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加
200?8=25（首）.
五言绝句有
23+25=48（首）.
七言绝句有
10+25=35（首）.
在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡 ，对于例7、
例9和例10三个问题，
当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计 算式子与“鸡兔同笼”
公式对照一下，就会发现非常有趣的事.
例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是
（680-8×40）?（8+4）=30（张）.
例9，假设都是兔，鸡的只数是
（100×4-28）?（4+2）=62（只）.
10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是
（20×13+20）?（28-20）=35（首）.
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首先 ，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，
这三个算式只是有一处“-”成 了“+”.其奥妙何在呢？
当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从 数学
上说，这一讲前两节列
举的所有例子都是同一件事.

11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只
2角，如有破损，破损瓶子 不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6
元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？ 如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破
损只数是
（400-379.6）?（1+0.2）=17（只）.
答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？
12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1
题倒扣1分； 第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两
次测验共答对30道题，但第一次测 验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次
测验各得多少分？
如果小明第一次测验24 题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-
24=6（题）得分是
8×6-2×（15-6）=30（分）.
两次相差
120-30=90（分）.
比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答 对题数多了，要减
少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣 2
分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少
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6+10=16（分）.

（90-10）?（6+10）=5（题）.
因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19
题，第二次答对30 -19=11（题）.
第一次得分
5×19-1×（24- 9）=90.
第二次得分
8×11-2×（15-11）=80.
答：第一次得90分，第二次得80分.
答对30题，也就是两次共答错
24+15-30=9（题）.
第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二 次答错一题，要从满分
中扣去8+2=10（分）.
答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.
如果答错9题都是第一次，要从 满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题
目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+ 10.因此，第二次答错题数是
（6×9+10）?（6+10）=4（题）?
第一次答错 9-4=5（题）.
第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.
第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.
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“”“”

“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类 似问题.在
第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三
种 ”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大
家两类转化的方法.
13 学 校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花
了300元.其中铅笔数量是圆 珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7
元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 ？
从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一
支圆珠笔成 一组，这
一组的笔，每支价格算作
（0.60×4+2.7）?5=1.02（元）.
现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数
是
（300-1.02×232）?（6.3-1.02）=12（支）.
铅笔和圆珠笔共
232－12＝220（支）.
其中圆珠笔
220?（4+1）=44（支）.
铅笔
220-44=176（支）.
答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.
14 商店出售大、中、小气球，大 球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1
元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与 买小球的钱恰好一样多.问
每种球各买几个？

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因为 总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，
而且还是3的整数倍.我们设想 买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个
小球.因此，可以把这两种球看作一种，每
个价钱是
（1.5×2+1×3）?（2+3）=1.2（元）.
从公式可算出，大球个数是
（120-1.2×55）?（3-1.2）=30（个）.
买中、小球钱数各是
（120-30×3）?2=15（元）.
可买10个中球，15个小球.
答：买大球30个、中球10个、小球15个.
例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相
等关系（倍数关系也可
用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均
价，就把“三”转化 成“二”了.
例15是为例16作准备.
15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千
米，求他的平均速度是多少？
去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.
平均速度=所行距离?所用时间

去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千
米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.
千万注意，平均速度两个速度的平均值：每小时走（6+3）?2=4.5千米.
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16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每
小时3千米， 平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙
地，李强行走了10小时；从乙地到 甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，
各种路段分别是多少千米？
把来回路程45 ×2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回
来时上坡.把上坡和下坡合并成“一 种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千
米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数1 0+11=21，总脚数90，鸡、
兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是
（90-4×21）?（5-4）=6（小时）.
单程平路行走时间是6?2=3（小时）.
从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是
45-5×3=30（千米）.
又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是
（6×7-30）?（6-3）=4（小时）.
行走路程是3×4=12（千米）.
下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.
答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.

做两次 “鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典
型的例题.
17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16
题，或者20题.那么 ，其中考25题的有多少次？
如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.
每次考25道题，就要多25-16=9（道）.
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每次考20道题，就要多20-16=4（道）.
就有
9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.
请注意，4和42都是偶数，9×考2 5题次数也必须是偶数，因此，考25题的
次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只 能是0，2，4这三个数.由
于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题 有6次）.
答：其中考25题有2次.
18 有50位同学前往参观，乘电车前往每人 1.2元，乘小巴前往每人4元，乘
地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小 巴的同学有多少
位？
由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前 往的人数
一定是5的整数倍.
如果有30人乘电车，
110-1.2×30=74（元）.
还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车
110-1.2×40=62（元）.
还 余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62＞6×10）.说明假设
的乘电车人数 又多
了.30至40之间，只有35是5的整数倍.
现在又可以转化成“鸡兔同笼”了：
总头数 50-35=15，
总脚数 110-1.2×35=68.
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因此，乘小巴前往的人数是
（6×15-68）?（6-4）=11.
答：乘小巴前往的同学有11位.
在“三”转化为“二”时，例13、例14、例16是一 种类型.利用题目中数量
比例关系，把两种东西合并
组成一种.例17、例18是另一种类型 .充分利用所求个数是整数，以及总量的
限制，其中某一个数只能是
几个数值.对几个数值逐 一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变
成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学习这 两种类型已足够了.更复杂的问
题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.
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