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第三讲 变型鸡兔同笼问题与假设法

【专题知识点概述】

你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。
大约在1 500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述
的：“今有鸡兔同笼，上有三十 五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句
话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35个头；从下面数，
有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
古人常用的这种思维方法叫化 归法。化归法就是在解决问题时，先不对问
题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之 转化，直到最终
把它归成某个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”
问题的经典思路“假设法”！
【授课批注】
本节课意让在探究中体会解题思想，在策略多样 性中体验最优思想，培养学生多手段、多
层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体 验了解决问题策略的多样
性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛的应用，同时体会 解题过程
中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了
学生的个性，使学生在各种数学思想的渗透中形成良好的数学解题能力。
“鸡兔同笼”问题基本解题公式

（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔
数；
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数- 每只鸡脚数）=鸡
数；
总头数-鸡数=兔数。
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚
数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚
数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。

或（每只兔的脚数×总头数- 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚
数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数- 实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合
格品扣分数）=不合格品数。
或者是总产品数 -（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合
格品得分数+每只不合格品扣分数）=不 合格品数。
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），
可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总 脚数之差）÷（每
只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
【授课批注】
用不同方法（同 为鸡，同为兔，砍足，增头，图示法等）解决问题，增强学生知识面和拓
展思维。

【重点难点解析】
1. 通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题
2. 对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法

【竞赛考点挖掘】
1. 假设法的应用
2. 理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理


【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※）
工人运青瓷花瓶2 50个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个要倒赔100
元，运完这批花瓶后，工人共得 4400元.问共损坏了几个花瓶？
【分析与解】
假设250个能够完整运达目的地。 将得运费250×20=5000（元），与实际所得相差
5000-4400=600（元）。损坏个 数600÷（100+20）=5（个）。

【例2】（难度等级 ※※）
松鼠妈 妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112
个松果，平均每天采 14个.问这几天中有几个雨天？
【分析与解】
因松鼠妈妈共采松果112个，平均每 天采14个，所以实际用了112÷14＝8（天）.假设这
8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8 ＝160（个），比实际采的多了160－112＝48（个），
因雨天比晴天少采20－12＝8（个 ），所以共有雨天48÷8＝6（天）.

【例3】（难度等级 ※※）
四年级四 班有60个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20副，2人下一幅象棋，
6人下一副跳棋，问象棋 和跳棋各多少副？
【分析与解】
假设20副均为象棋，共有20×2=40（人）在玩，还 有20人没参加活动。跳棋数20÷（6-2）
=5（副），象棋数20-5=15（副）。

【例4】（难度等级 ※※）
实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10道题目，答对一道 得10分，答错一题反
扣5分（没有不答的情况）。张华得了70分，他答对了几道题？

【分析与解】
假设所有问题全部答对，得分10×10=100（分），比实 际得分多100-70=30（分），错题数：
30÷（10+5）=2（道），正确题数：10-2- 8（道）。

【例5】（难度等级 ※※※）
蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对 翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫
共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只 ？
【分析与解】
因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“ 8条腿”与“6条腿”
两种。
利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数(118－6×18)÷(8－6)＝5(只)。
因此就知道6条腿的小虫共18－5＝13(只)。
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。
蝉数 (13×2－20)÷(2－1)＝6(只)。
因此蜻蜓数是13－6＝7(只)。

【例6】（难度等级 ※※※）
一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时 完成,现在甲单独打若干小
时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？
【分析与解】
我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打 30÷6=5(份),乙
每小时打30÷10=3(份).
现在把甲打字的时间看成兔头数 ,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是7.兔的脚数是
5,鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化 成鸡兔同笼问题了.
根据前面的公式
兔数=(30-3×7)÷(5-3) =,
鸡数= =,
也就是甲打字用了小时,乙打字用了小时.

【例7】（难度等级 ※※※※）
有50位同学前往参观,乘电车前往每人元,乘小巴前往每 人4元,乘地下铁路前往每人6
元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位？
【分析与解】
由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的 人数一定是5的整
数倍. 如果有30人乘电车, ×30=74(元).

还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.
如果有40人乘电车 ×40=62(元).
还余下50-40=10(人)都乘地下铁路 前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多
了.30至40之间,只有35是5的 整数倍.
现在又可以转化成鸡兔同笼了:
总头数 50-35=15, 总脚数 ×35=68.
因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11.

【例8】（难度等级 ※※※※）
商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球 每个元,小球每个1元.张老师用120元共
买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多. 问每种球各买几个？
【分析与解】
因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所 以买中球的钱数是整数,而且还是3的整
数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球, 3个小球.因此,可以把这两种球
看作一种,每个价钱是
×2+1×3)÷(2+3)=(元).
从公式可算出,大球个数是
×55)÷=30(个).
买中,小球钱数各是
(120-30×3)÷2=15(元).
可买10个中球,15个小球.
答:买大球30个,中球10个,小球15个.

【例9】（难度等级 ※※※※）
使用甲种农药每千克要兑水20 千克，使用乙种农药每千克要兑水40 千克．根据农科
院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50 千克，要配药
水1400 千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？
【分析与解】

假设50 千克都是乙种农药，那么需要兑水40×50＝2000(千克)．但题目要求配药水1400
千克， 即实际兑水1400－50＝1350(千克)．多用了2000－1350＝650(千克)水，又已知使用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40-20＝20(千克)，所以推知，在混合农
药中甲种农药有650÷20＝(千克)．

【例10】（难度等级 ※※※）