顽固的敌人-人世下游

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
排列组合基础知识讲座


首先看一道简单的例题

例1：用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？

解答：
题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可
以组成多少个这样的2位数。假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都
是由1，2组成 ，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。由于和位置有关，
所以这是排列问题。
（注意：虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题）

排列公式的定义如下
n!
P
(nr)!

r
n
P
n
r
也可写成P（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示进行排列
的元素个数，！表示阶乘，例如6！=
654321
，5!=
54321
，
但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则
P（5,3）=
5!54321
60

(53)!21

在这个题目里，总共的元素个数是4 ，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排
列，所以r=2。根据公式
P（4,2）=
4!4321
12

(42)!21
因此共有12种组法。

下面我们一起来看考试当中出现的一个题目：
例2. 黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法?
解答：
假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白 、蓝） 和 （蓝、白、黄），可以
发现虽然 都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。很
1

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
明显这属于排列问题。在这里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中
取出3个进 行排列，所以r=3。根据公式P（3,3）=
的时候注意0！=1）
因此共有6种排法。

如果我们把这个题目改一改，变成
例3 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几
种排法?

解答
这仍然属于排列问题，只不过r变成了2。在这里，总共的元素个数是3 ，所以
n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式
P（3,2）=
3!321
6
（ 计算的时候注意1！=1）
(32)!1
3!321
6
（ 计算
(33)!1
因此还是有6种排法。

下面我们这个题目再变一下
例4 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，有几种取法?
解答：
假设我们第一次 取出黄球，第二次取出白球，或者第一次取出白球，第二次取出
黄球，可以发现虽然顺序不同，但都是同 一种取法，即（黄，白）和（白，黄）
是同一种取法。由于和取出的球的排列位置无关，因此这属于组合 问题。


组合公式的定义如下
n!
C
r!

nr

!

r
n
C
n
r
也可写成C（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示 进行组合
的元素个数，！表示阶乘，例如6！=
654321
，5!=
54321
，
但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则
C（5,3）=
5!54321
30

2!(53)!(21)(21)
另外，为便于计算，还有个公式请记住
2

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
rnr
C
n
C
n

例如C(6,2)=C(6,4)



在例4里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中任意取出2个进行组
合，所以r=2。根据公式
C（3,2）=
3!321
3
（ 计算的时候注意1！=1）
2!(32)!21
因此有3种取法。


基础知识讲完后，我们进行一次随堂模拟考试，下面是公考中曾经出现过的题目

考试题1.
林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有
多少不同选择方法？

解答：

这里涉及到了解答排列组合问题中常用到一种方法：分步法。即
把完成一件事情的过程分成几步，每一步的可供选择的方案数相乘就
是总的可供选择的方案数。 例如完成一件事情需要两步，第一步有2
种选择，第二步有3种选择，如果不考虑完成顺序（即先完成第 一步
再完成第二步，或先完成第二步再完成第一步效果一样），则总的选
择数为2乘3等于6。

本题中，就餐分成三步，第一步挑选肉类，第二步挑选蔬菜，第三步挑选点
心。在每一步的挑选中，由于挑选的物品是同一种类（例如从四种蔬菜中挑选两
种，虽然种类不同，但挑 出的仍然是蔬菜，与挑选时的顺序无关），所以每一步
的挑选是组合问题。
第一步的选择数为C(3,1)=
3!321
3
，
2!(32)!21
3

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
第二步的选择数为C(4,2)=
4!4321
6

2!(42)!2121
4!4321
4

1!(41)!1321
第三步的选择数为C(4,1)=

由于不考虑挑选食物的顺序，所以总共有
C(3,1)C(4,2)C(4,1)36472
种

考试题2.
将五封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）
解答：
这个题 也采用分步法。分成五步，第一步将第一封信投入邮筒，第二步将第二封
信投入邮筒，……第五步将第五 封信投入邮筒。在每一步中，每一封信都有三个
邮筒的选择，即可选择数是3。由于结果与五封信的投递 次序无关，所以共有
33333243


考试题3：
从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？
解答：
这个题和 例题1有相似处，但要注意队与队之间的区别只与组成队员有关，而与
队员的排列顺序无关。例如，1, 2,3,4,5,6号队员组成一队，不论他们怎么排列，
123456和654321仍然是同一只队 。因为和位置无关，所以这是组合问题。

总共的元素个数是9 ，所以n=9，从所有元素中任意取出6个元素进行组合，
所以r=6。根据公式
C（9,6）=
9!
84

6!(96)!
因此有84种取法。
（注意：考试时只要求知道计算公式C（9,6），不要求具体计算）


专家解析公务员考试：排列组合问题之插板法
文章摘要：插板法是用于解决相同元素分组问题 ，且要求每组均非空，即要求每组至少
一个元素；若对于 可空问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？
首先给各位公务员考友看一道题目：
4

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同
的分法?
【解析】：题目中球的分法共三类：
第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为 。
第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分
法种数 。
第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数 。

所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为： 。
由上面解题过程 可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数
目较多处理起来将更加困难，因此 我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种
虚拟的情境--插板。
将 10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用档板把10个球
隔成有序的7份， 每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3
个、4个），借助于这样的虚拟 档板分配物品的方法称之为插板法。
由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即 是在9个空档之中插入6个档板
（6个档板可把球分为7组），其方法种数为 。
由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，
这类问题模型适用 前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：
①所要分的元素必须完全相同；
②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
下面再给各位看一道例题：
例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（ ）种不同方法.
A．35 B．28 C．21 D．45
【解析】 ：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的插板法，而忽略
了插板法的适用条件。例2 和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求非空，而例2
则无此要求，即可以出现空盒子。
5

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
其实此题还是用插板法，只是要做一些小变化，详解如下：
设想把这8个球一个接一个排起来，即 ，共形成9个空档（此时的空档包括中间7个空
档和两端2个空 档），然后用2个档板把这8个球分成3组，先插第一个档板，由于可以
有空盒，所以有9个空档可以插 ；再插第二个板，有10个空档可以插，但由于两个板是不
可分的（也就是说当两个档板相邻时，虽然是 两种插法，但实际上是一种分法），所以共 种。
例3．（1）已知方程 ，求这个方程的正整数解的个数。
（2）已知方程 ，求这个方程的非负整数解的个数。
【解析】：(1)将20分成20个1，列出来：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1在这
20个数中间的19个空中插入2个板子，将20分成3 部分，每一部分对应的个数，按顺
序排成 ； ； ；即是正整数解。故正整数解的个数为 ，解法非常简单。
：（2）此题和例2的解法完全相同，请各位考友自己考虑一下。
【王永恒提示】：今后我们利用插板法解决这种相同元素问题时，一定要注意空与
不空的分析，防止掉入 陷阱。例3的两题相比较，可以很明显地看出空与不空的区别。
【王永恒总结】： 非空问题插板法原型为：设有 个相同元素，分成 （ ）组，每组至
少一个元素的分组方法共有 ；可空问题插板法问题原型为：设有 个相同元素，分成 （ ）
组，则分组方法共有 种方法。
练习1．有10级台阶，分8步走完。每步可以迈1级、2级或3级台阶，有多少中走法？
（答案为 ）
老子曰：夫物芸芸，各复归其根，归根曰静，静曰复命。在平时的学习中，我们应当学
会寻找共性，寻找根源，从本质上理解归纳各种问题。
在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！
C5取3＝(5×4×3)(3×2×1) C6取2＝(6×5)(2×1)
通过这2个例子 看出
CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分
母

P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1
通过这2个例子
PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N＝M时 即M的阶层

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.
区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有2：
其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；
6

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
其2是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.

分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要
根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两
条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方
法.

分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方 法，都要分成n个步骤.
分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置 要满足完成这件事必须并
且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算很终完成.

两 个原理的区别在于一个和分类关于，一个与分步关于.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此 之
间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数， 就用
加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这 件事，
而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：
1．有限制条件的排列问题常见命题形式：
“在”与“不在”
“邻”与“不邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：
⑴“相邻”问 题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻很常用
的方法.
⑵“不邻”问题在解题时很常用的是“插空排列法”.
⑶“在”与“不在”问题，常常涉及 特殊元素或特殊⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排
列完毕后，利用规定顺序的实情 求出结果.
2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.
3． 在处理排列、组合综合题时，通过解析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程
分步 ，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的很基本的，也是很重要的思想方法.
************************************************ ************************
*****

提供10道习题供大家训练
1、三边长均为整数，且很大边长为11的三角形的个数为( C )
(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个
-------- ----------------------------------------------
【解析】
根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可见很大的边是11
则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和很大的时候
7

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
因此我们以一条边的长度开始解析
如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1
如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。。。。2，
(不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种状况包含了11，10的组合)
如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。。。。。。。3
(理由同上 ，可见规律出现)
规律出现 总数是11＋9＋7＋。。。。1＝(1＋11)×6÷2＝36


2、
(1)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
-------- -------------------------------------------------- --
【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性 。接着
再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原则 即3×3×3×3＝3^4

(2)3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
------------ -------------------------------------------------
【解析】跟上述状况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没关于系 不够成分类关系。 属
于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道很后一个旅客也 是
4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4×4×4＝4^3

(3)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？
---- -------------------------------------------------- -------
【解析】分步来做
第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取3＝56种
第2步：分配给3个同学。 P33＝6种
这 里稍微介绍一下为啥是P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只
剩下2种选择的状况，很后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符合乘法原则。很常见的例子就
是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。 用P来计算是因为每个步骤
之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。
所以该题结果是56×6＝336

3、

七个同学排成一横排照相.
(1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ (3600)
---------------------------------------------
【解析】
这个题目我们分2步完成
第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个第2步： 剩下的6个人即满足P原则 P66＝720
所以 总数是720×5＝3600

(2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ (1440)
-------------------------------------- -----------
8

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
【解析】
第一步：确定乙在哪个第2步：剩下的6个人满足P原则 P66＝720
则总数是 720×2＝1440

(3)甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ (3120)
---- -----------------------------------------------
【解析】特殊状况先安排特殊
第一种状况：甲不在排头排尾 并且不在中间的状况
去除3个第2种状况：甲不在排头排尾， 甲排在中间则 剩下的6个因为是分类讨论。所以很后的结果是
两种状况之和 即 2400＋720＝3120

(4)甲、乙必须相邻的排法有多少种？ (1440)
---------- -------------------------------------
【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个第1： 选第2： 选出来的2个则安排甲乙符合状况的种数是
2×6＝12
剩下的5个人即满足P55的规律＝120
则 很后结果是 120×12＝1440

(5)甲必须在乙的左边(不一定相邻)的不同排法有多少种？(2520)
- -------------------------------------------------- ----
【解析】
这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左
右问题 则总数是P77＝5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的状况种数是5040÷2＝2520



4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.
(1)能组成多少个四位数？ (300)
--------------------- -----------------------------------
【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性
接下来3个
(2)能组成多少个自然数？ (1631)
-------------------- -------------------------------------
【解析】自然数是从个位数开始所有状况
分状况
1位数： C6取1＝6
2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
3位数： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100
4位数： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300
5位数： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600
6位数： 5×P55＝5×120＝600
总数是1631
这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2×P22 还有一种状况是从不是0的5个数字中选一个和
9

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
0搭配成2位数 即C5取1×P11 因为0不能作为很高位 所以很高位只有1种可能

(3)能组成多少个六位奇数？ (288)
--------------------------------------- ------------
【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3×4×P44＝12×24＝288

(4)能组成多少个能被25整除的四位数？ (21)
--------------- -------------------------------------
【解析】 能被25整除的4位数有2种可能
后2位是25： 3×3＝9
后2位是50： P42＝4×3＝12
共计9＋12＝21

(5)能组成多少个比201345大的数？ (479)
-------------- ----------------------------------
【解析】
从数字201345 这个6位数看 是很高位为2的很小6位数 所以我们看很高位大于等于2的6位数是多
少？
4×P55＝4×120＝480 去掉 201345这个数 即比201345大的有480－1＝479

(6)求所有组成三位数的总和. (32640)
---------------------------------------------
【解析】每个百位上的和：M1=100×P52(5 4 3 2 1)
十位上的和：M2=4×4×10(5 4 3 2 1)
个位上的和：M3=4×4(5 4 3 2 1)
总和 M＝M1 M2 M3=32640



5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.
(1)“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ (152096)
【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的
所以 即C2取2×C98取3＝152096

(2)“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ (7224560)
【解析】同上述解析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个
C2取1×C98取4＝7224560

(3)“其中没有次品”的抽法有多少种？ (67910864)
【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5＝67910864

(4)“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ (7376656)
【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列状况 就是至少有1种的
C100取5－C98取5＝7376656
10

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！

(5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ (75135424)
【解析】所有的排列状况中去掉有2件次品的状况即是至多一件次品状况的
C100取5－C98取3＝75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视 机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取
法共有( )
(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种
------------ --------------------------------------------
【解析】根据条件我们可以分2种状况
第一种状况：2台甲＋1台乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30
第2种状况：1台甲＋2台乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40
所以总数是 30＋40＝70种

7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种.
- -------------------------------------------------- ----
【解析】至少有3件 则说明是3件或4件
3件：C4取3×C46取2＝4140
4件：C4取4×C46取1＝46
共计是 4140＋46＝4186

8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不
同的选法共有( C )
(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解析】分步完成
第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4＝210
第2步：分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种状况
则根据分步原则 乘法关系 210×12＝2520

9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__
C(4,12)C(4,8)C(4,4)
___种
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解析】每个路口都按次序考虑
第一个路口是C12取4
第2个路口是C8取4
第三个路口是C4取4
则结果是C12取4×C8取4×C4取4
可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P33吗？ 其实不是这样的 在我们从12人中任意抽取人
数的时候，其实将这些分类状况已经包含了对不同路的状况的包含。 如果再×P33 则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则状况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的
不同。所以很后要去除这种可能状况 所以在上述结果的状况下要÷P33
11

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！


10、在一张节 目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安
排方法？ 990
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解析】
这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法
直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个 空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去插10个空位，
有P(10,1)种方法；用很后一个 节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加
方法为P(9,1)×P (10,1)×P(11,1)=990种。
讨论一个非常经典的题目

6个学生平均分成3组，有多少种分法？
6个学生平均分到3个不同的班级，有多少种分法？

讨论中出现了2个做法，
其一：是 Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）=９０
其二：是 Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）＼Ａ（３，３）＝１５

现在我们就来讨论是否需要考虑 ×Ａ（３，３） 还是要除以 Ａ
（３，３）

我们先从简单的Ｃ 和 Ａ说起。
Ｃ是排列组合当中表示选取的意思。 整个核心是“选取”，所以不设计
到排列。 如 从１，２，３这三个数字中选出２个数字，有几种选法？
我们就可以简单的运用Ｃ（３，２） ＝３

而Ａ则有所不同，Ａ除了选取还需要排列。 比如 从１，２，３这
12

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
三个数字中选出２个数字，可以组成多少个两位数？
我们刚才说过了 排列是建立在选取的基础上，Ａ分步看，就是先选取
后排列。 如此题 Ｃ（３，２）×Ａ（２，２）＝Ａ（３，２）
＝６

现在我们就来看原题。
6个学生平均分成3组，有多少种分法？

我们知道这里的分组 是相同的， 也就是说我无需考虑排列的问题，
只管选取。
这个时候有人就会问了 正确答案不就是 Ｃ（６，２）×Ｃ（４，
２）=９０吗？ 其实不然！

下面我们继续来探讨。为什么不然 我们最熟悉的就是 数字排
列。

如 １，２，３，４，５ 这５个数字可以组成多少个５位数？ 我
们都知道是 Ａ（５，５）
Ａ５，５＝Ｃ（５，１）×Ｃ（４，１）×Ｃ（３，１）×Ｃ（２，１）
×Ｃ（１，１）
这样一分解大家也许就明白了：Ａ就是分步选取，换句话说，就是分步
选取，包含了排列。
13

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！


那么我们回头看 Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）=９０ 这里就必
定包含了对三个组的排列 所以我们必须要Ｔ除！ 即答案是 ９０
＼Ａ（３．３）＝１５

6个学生平均分到3个不同的班级，有多少种分法？
再看这个题目，我们发现其实，分组不同了， 那么我们只需做好分步
选取就ｏｋ了，无需再去重复的排列了？
即答案就是 Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）=９０

下面我再来举个简单的例子反驳
如 ２个人叫ＡＢ，他们分成２组 每组１人。有多少种？

Ａ，Ｂ 就１种， 因为组不区分， ＡＢ和ＢＡ是一回事。
Ｃ（２，１）×Ｃ（１，１）显然这里就是错误的了

可能很多考生会觉得，公务员考 试的题目都应该是极其严肃的，但事实上并不尽然。在行政
职业能力测验的数学运算部分，有一部分题目 略显与众不同，带有比较强的智力性和趣味性。
这些题目有个共同的特点，在计算上通常并不复杂，但往 往要求考生有比较严密的思维和比
较灵活的想法，与传统的数学题目相比，更多的带有一种“脑筋急转弯 ”的性质。而且对于某
些题目，仅仅具备数学知识还不够，需要考生掌握一定的生活相关常识才能够求解 。通过对
历年国家公务员考试真题的研究总结，专家发现，曾经有如下种类的智力型问题在公务员考试中反复涉及到。
一、抽屉原理类
“抽屉原理”也称“鸽巢原理”，最早由 德国数学家狄利克雷提出，在组合
数学中有非常重要的地位。如果用通俗一点的语言来描述，抽屉原理最 常见的情
14

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
形是：把多于 n个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里面要放有2
个或2个以上的物体。在国家公务员考试 中，抽屉原理类型的题目便曾经多次出
现，其特征是，在题干中有“至少”和“保证”这两个词或类似的 字样，比如：
【例题1】2004年国家公务员考试B卷48题。
有红、黄、蓝、 白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有
两粒颜色相同，应至少摸出几粒( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】：C。
从“至少”和“保 证”两个词我们可以判断，这是一道典型的抽屉原理问
题。解决此类问题，有一个总体上的原则，就是始 终考虑最坏的情况。对于本题，
最坏的情况就是每种颜色的珠子恰好各摸出一粒，没有任何两粒的颜色相 同。这
时只要再摸出一粒，不管是何种颜色，都能保证有两粒颜色相同的珠子了。对于
任何的抽 屉原理问题，实际上都是遵循这样一个大的原则来求解。
【例题2】2007年国家公务员考试49题。
从一副完整的扑克牌中至少抽出( )张牌才能保证至少6张牌的花色相同。
A.21 B.22 C.23 D.24
【答案】：C。
本题也可以很轻易的判断出属于抽屉原理类，依照“最坏的情况”来考虑，
应该是每种花色的牌恰好都抽出了5张。这里涉及到生活中的小常识，首先考生
要知道一副扑克牌中有 四种花色的牌，第二这道题有一个小小的陷阱，那就是一
副完整的扑克牌中还有两张大小王。所以如果考 虑不够全面的话，本题很可能得
到21张的答案，实际上真正最坏的情况就是连大小王也摸到了，需要摸 23张才
能保证有6张牌花色相同。
二、排列组合类
提到排列组合问题， 有一部分考生可能要开始头疼了，因为这在公务员考试
中是一个“超纲”知识点。在前面的系列文章中我 们曾经提到过，绝大部分数学
题目的基本解题知识点都囊括在初二数学大纲中，但排列组合是高中数学才 接触
到的内容。尽管如此，却并不意味着这一类型的题目很难，因为对于排列数和组
合数的复杂 计算性质，在解题中基本上是用不到的。对于绝大多数的排列组合题
目，只要掌握了乘法原理和加法原理 两种简单的方法就能够解决，稍复杂的题目
需要用到最基本的组合数。首先来交代一下，什么叫做乘法原 理和加法原理。
15

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
乘法原理，也叫分布计数原理，是指完成一件事需要分成n个步骤，做第一
步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种
不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2× ……×mn种不同的方法。
加法原理，也叫分类计数原理，是指完成一件事，有n类办法，在第一 类办
法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n
类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的
方法。
在 具体题目中，到底应该应用乘法原理还是加法原理，关键是看完成整个事
件是否有步骤之分。必须按照步 骤先后顺序进行的，应适用乘法原理;各办法之
间互斥，不用分成步骤完成的，应适用加法原理。对于某 些题目，还可能需要将
两种原理组合应用。
【例题3】2004年国家公务员考试B类44题。
把4个不同的球放入4个不同的盒子中，有多少种放法( )
A.24 B.4 C.12 D.10
【答案】：A。
因为球需要一个一个的放，只有将4个球全部放入盒子中 才算完成，因此存
在先后的步骤之分，应采用乘法原理。第一个球放到盒子中有4种不同的放法，
第二个球只剩了3个盒子可以放，因而有3种放法，依此类推，放第三个球有2
种放法，放第四个球只 有1种放法，总的放法数目应该是各放法的乘积，即
4×3×2×1=24种
【例题4】2004年国家公务员考试A类47题。
林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中 的一种肉类，四种蔬菜中的二
种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他 可以
有多少不同的选择方法( )
A.4 B.24 C.72 D.144
【答案】：C。
首先明确，三种食物要依次拿取，并且全部拿取之后才能算作挑选完毕，因
此在肉类、蔬菜、点心三种食物之间应该应用乘法原理，以“×”连接。接下来
考查每种食物的选择方 法，在三种肉类中挑选一种只有3种方法，四种点心中挑
一种也只有4种方法，本题的关键在于蔬菜。挑 选第一种蔬菜可以有4种方法，
再挑选第二种蔬菜有3种方法，但挑选蔬菜的方法却不是4×3=12种 ，因为题目
中有一句话，“不考虑食物的挑选次序”。打个比方，先挑选土豆后挑选胡萝卜，
1 6

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！
与先挑选胡萝卜后挑选土豆，在本 题中视作同一种选择方法，也就是说挑选蔬菜
的方法只有6种。因此总的选择方法是
4×3×6=72种
【例题5】2005年国家公务员考试一卷48题。
从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则
共有( )种不同的选法
A.40 B.41 C.44 D.46
【答案】：C。
要使三个数的和为偶数，可以有两种情况，即三个数都是偶数或者一个是偶
数两个是奇数， 明显在这两种情况之间应该适用加法原理，接下来分别考查这两
种情况。第一种情况，在四个偶数中选择 三个，和在四个偶数中只选择一个的方
法数其实是一致的，应该有4种。第二种情况，在四个偶数中选择 一个有4种方
法，在五个奇数中选择两个的方法数与例题4中类似，应该有(5×4)2=10种，所以第二种情况共有4×10=40种方法。因此总的选择方法数应为4+40=44种。
对 于2009年之前的国家公务员考试，涉及到排列组合的数学问题，只需要
应用这两个原理就完全可以得 到解决。而在2009年国家公务员考试中，这一要
求有了小小的提升，需要考生掌握最基本的组合数的 性质才可以。



17