地下城鬼泣加点-我国的政权组织形式是什么

如何求解排列组合的问题
----拓展课《排列与组合》学习体会
高二（5）班 王文洁 陈蓓丽
高二（9）班 吴 云 马一帆
高二第一学期， 我们选择了数学老师金建亚开设的《排列与组合》一课，通
过一学期的学习，我们收获很多。特别是金老 师上课的认真，所举例题的生动，
以及上课时活跃的气氛，引导同学们热烈讨论的方式，都让我们感到受 益非浅。
下面就来谈谈我们的几点体会和收获。
一．解题时要特别注意以下三点：
1.认真审题，弄清要做什么事.
2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类， 或是分步与分类同时
进行，确定分多少步和分多少类.
3.确定每一步和每一类是排列问题（ 有序）还是组合（无序）问题，元素总
数是多少及取出多少元素.
排列组合历来是学习中的难 点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题
的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特 ，数字庞大，难以验证. 同
学们只有对基本的解题策略熟练掌握. 根据它们的条件，我们就可以选取不同的
技巧来解决问题. 对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种 策略结合起来应用
把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础. 总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，
无序组合；分类为 加，分步为乘.
二．解决排列组合问题常用的解题策略
金老师告诉我们，排列组合问题是高 考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多
样，思路灵活，不易掌握。因此我们在高二开设这一拓展课， 可以先一步感受《排
列与组合》的问题，并且了解他的主要解题策略。老师向我们介绍了十二类典型排列组合题的解答策略．

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1．相邻问题并组法
2．相离问题插空法
3．定序问题缩倍法
4．标号排位问题分步法
5．有序分配问题逐分法
6．多元问题分类法
7．交叉问题集合法
8．定位问题优先法
9．多排问题单排法
10．“至少”问题间接法
11．选排问题先取后排法
12．部分合条件问题排除法
下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方
法。
（一）特殊优先，一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问 题，
有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共
有几个？
解法 一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有A42种，0在十位
有A21·A31种；第二类 ，不含0，有A21·A32种。
故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类， 0在个位有A42种；第二类，0不在
个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑 十位，有
A21A31A31种。
故共有A42+A21A31A31=30。
练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，
其中小于50000的偶数共有 个（用数字作答）。

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答案：36
（二）排组混合，先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。
[例2 ](全国高考)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则
恰有一个空盒的放法有几种？
解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入
不同的盒子是排 列。因此，有C42A43=144种放法。
练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位
数，数字不重复的有多少个？
答案：有C43C32A55=1440（个）
（三）元素相邻，整体处理
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个
元素再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素进行自排。
[例3] 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
解：先把3个女生捆绑为一个整体 再与其他5个男生全排列。同时，3个女
生自身也应全排列。由乘法原理共有A66·A33种。
练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？
答案：A44·24=384
（四）元素间隔，分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。
[例4] 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几
种排法？
解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原
理共有A55A43种。
注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入
必须间隔的元素 ；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列
形式插入要把握准。
练习4 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？
答案：2A44·A44

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[例5 ]马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉 其中的三盏，
但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方
法 有几种？
解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙
中插 入3个暗的即可，有C53种。
练习5 从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不
同的取法？
答案：C83。
（五）元素定序，先排后除或选位不排或先定后插
对于某些元素的 顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，
或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加 排列，然后对其它元素进行排列。
也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。
[例6] 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情
况？
解法 一：先5人全排有A55种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22，而这
里只有1种是符合要求的，故 要除以定序元素的全排A22种，所以有A55A22=60
种。
解法二：先在5个位置 中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C52种，再排列
其它3人有A33，由乘法原理得共有C52A 33=60种。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第
二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有3×4×5=60
种。
练习6 要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱
节目，则共有几种插入方法？
答案：A1111A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种
（六）“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小 团体”时，可先按制约条件
“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。
[例7] 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要

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求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？
解：先从四名男歌 手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，
把这个“女男男女”小团体视为1人再与 其余2男进行排列有A33种，由乘法原
理，共有A42A22A33种。
练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？
答案：A22·A44
（七）不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2 个元素时，不
可分批进入，必须先分堆再排入。
[例8 ]5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？
解：先把5位老师分3堆， 有两类：3、1、1分布有C53种和1、2、2分布
有C51C42C22A22种，再排列到3个班 里有A33种，故共有
(C53+C51C42C22A22)·A33。
注意：不同的 老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。
即“同一盒内的元素必须一次进入”。
练习8 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：
①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；
②分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；
③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；
④平均分成三组进行排球训练。
答案：①C63C32C11；②C62C42C22；③C63 C32C11·A33；④C62C42C22A33。
（八）、相同元素进盒，用档板分隔
[例9] 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
解：这里只 是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球
放入5个不同的盒内，每盒至少1球， 可先把10球排成一列，再在其中9个间
隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有 C94种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选
法？

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答案：C119
（九）两类元素的排列，用组合选位法
[例10] 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种
不同的跨法？
解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步
跨两级即可。故 有C73种跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
练习10 3面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？
答案：C52
[例11] 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？
解：每一种最短走法，都 要走三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素
不分顺序的排列问题。故有C74或C73种走法。
[例12 ]从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？
解： 这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5
格(构成5个盒子)，是球与档板 两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可
能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成 一列而占位置，故有C144
种选法。
练习11 (a+b+c+d)10的展开式有几项？
提示：因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式，
所以可以 看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有C133
项。
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
（十）个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
[例13] 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号
数，有几种不同的放法？
解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3
个盒内即可, 可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有
C112种。
（十一）多类元素组合，分类取出。

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[例14 ]车间有 11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车钳
工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任 务，问有多少种不同调法？
解：不同的调法按车工分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类 调3
车工4钳工，从AB中调1人作车工；第二类调2车工4钳工，把AB二人作为车
工。故共 有C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185种不同调法。
三．解排列组合问题的策略归纳
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的 技巧，它要求我们
要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。解决排列组合问题要讲究
策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合
混合问题。其次， 要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分
类与分步”。加法原理的特征是分类解决 问题，分类必须满足两个条件：①类与
类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的 特征是分步解决问
题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决
排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，
有机结合，可以是类中 有步，也可以是步中有类。
以下是各种解题策略例举：
相邻问题
——
捆绑策略

【例1】7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？
不相邻问题
——
插空策略

【例2】7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？
复杂问题
——
排除策略

【例3】(全国高考题)正六边形的中心和 顶点共7个点，以其中3个点为顶点的
三角形共有多少个.
〖解答〗从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中
心和顶点三点共 线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 －3
＝32个.
〖评注〗有些排 列组合问题（有至多、至少的问题），正面直接考虑比较复杂，
或分类不清或多种，而它的反面往往比较 简捷，可以先求出它的反面，再从整体

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中排除.
解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制.
特殊元素（位置）
——
优先策略

【例4】(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老
师不排在两端，则共有多少各不同的排法．
【例5】（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5
名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2
名安排在第二、四位置，那么有多少各不同的 出场安排.
〖解答〗由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余
7名队员选出2名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 ＝
252种.
〖评注〗对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置（ 元
素），然后再考虑其他位置的安排.
染色问题
——
分类策略

【例6】（2003年全国高考试题）如图， 一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要 求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色
方法共有多少种？（以数字作答）
〖解答〗区域１与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，
可以涂三种或 四种颜色．用三种颜色着色有 =24种方法, 用四种颜色着色有 =48
种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.
〖评注〗对于染色问题，按所用颜色的种数分类.
平均分组问题
——
除法策略

【例7】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
〖评注〗平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一
定要除以， (n为均分的组数)避免重复计数.
排组问题
——
先选后排策略

【例8】（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，
若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）
A． 种B． 种 C． 种 D． 种

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〖评注〗对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．
相同元素
——
档板策略

【例9】把10本相同的书发给编号为1、 2、3的三个学生阅览室，每个阅览室
分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数. 请用尽可能多的方法求
解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
环排分排问题
——
直排策略

【例10】5人围桌而坐,共有多少种坐法?
〖解答〗围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定
一人 并从此位置把圆形展成直线其余4人共有 种排法.
〖评注〗一般地， 个不同元素作圆形排列，共有( -1)!种排法.
如果从 个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有 .
【例11】8人排成前后两排，每排4人,其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少
排法？
〖评注〗一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究.
〖练习〗1、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈.（120）
定序问题
——
除法策略

【例12】7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？
〖评注〗定序问题可以用除法，还可转化为占位插空模型处理.
（空位法）设想有7把椅子站除甲乙以外的四人就坐，共有 种方法，其余的三
个位置甲乙丙共有1种坐法，所以有 种方法.
（插入法）先排甲乙丙三人，共有1种坐法，再把其余四人依次插入，共有 种
方法，所以有 种方法.
重排问题
——
求幂策略

【例13】把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？
小集团问题
——
先整体局部策略

【例14】用1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹1、
5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？
〖评注〗小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理.
合理分类策略


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【例15】在一次演唱会上共 10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出
一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法 ?
〖评注〗解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发
生的连续过 程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确
定要贯穿于解题过程的始终.
构造模型策略

【例16】马路上有编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9的九 只路灯，现要关掉
其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条
件的关灯方法有多少种？
〖评注〗一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位 填空
模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决.
实际操作穷举策略
【例17】设有编号1、2、3、4、5的五个球和编号1、2、3、4、5的五个盒子，
现将5个 球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编
号与盒子的编号相同，有多少投法 ？
〖评注〗对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷
举法或画出 树状图会收到意想不到的结果.
分解与合成策略

【例18】30030能被多少个不同的偶数整除？
〖评注〗分解与合成策略是排列组合问题 的一种最基本的解题策略，把一个复杂
问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用 分类计数原理
和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用
到 这种解题策略.
化归策略

【例19】25人排成5×5方队，现从中选3人，要求 3人不在同一行也不在同一
列，不同的选法有多少种？
〖评注〗处理复杂的排列组合问题时可 以把一个问题退化成一个简要的问题，通
过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决 原来的问题.
以上解题思路金老师为我们编了顺口溜：

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审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间
接，思路可循； 元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
四．同学自己编的题目
1．一轻轨列车到达某站时，共有10个空位，此时上来14个乘客
（1） 如果10各空位全部被坐满，则有多少种不同的坐法？
（2） 若这14人中有2位是老人必须有座，则有多少种不同的坐法？
2．从全班40人（18男22女）中选6男6女参加跳长绳比赛，有多少种不同的
选法？
3．从6男6女中选5人参加跳绳比赛，在下列情况下各有多少种参赛方法：
（1）至少有2名女生参加
（2）必须有1名男生参加
（3）必须有男有女
4．有6张圣诞卡（1）分给3人，每人2张
（2）平均分成3份
（3）一个人1张，一个人2张，一个人3张
问各有多少种分法？
5．由1—10这10个数字组成没有重复数字的三阶行列式
（1）可以组成多少个不同的行列式？
（2）主对角线上为1，2，3的行列式有多少个？

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