排列组合习题_(含详细答案)
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排列组合专项训练
1.题1 (方法对比，二星)
题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分
到一个，有多少种不同的分配方法
(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分
到一个名额，有多少种不同的名额分
配方法
解析：“名额无差别”——相同元素问题
(法1)每所学校各分一个名额后，还有2
个名额待分配，
可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：
C
2
C
1
33
(种)
(法2——挡板法)
相邻名额间共4个空隙，插入2个挡
板，共：
C
2
4
6
(种)
注意：“挡板法”可用于解决
待分配的元素无差别，且每
个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无
差别)
同类题一
题面：
有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多
少种分配方案
答案：
C
6
9
详解：
因为10个名额没有差
别，把它们排成一排。相邻名额
之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，
可把名
额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板
方法对应一种分法共有
C
6
9
种分法。
同类题二
题面：
求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
答案：36.
详解：
将1
0个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两
个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定
由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z
之值,
故解的个数为C
9
2
=36（个）。
2.题2
(插空法，三星)
题面：某展室有9个展台，现有
3
件展品需要展出，要
求
每件展品独自占用
1
个展台，并且
3
件展品所选用的
展台既不在两端
又不相邻，则不同的展出方法有______
种；如果进一步要求
3
件展品所选用的展
台之间间隔不
超过两个展位，则不同的展出方法有____种.
答案：
60
，
48
同类题一
题面：
6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排
法
答案：A
6
6
·A
4
7
种.
详解： 任
何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以
先排男生再让女生插到男生的空中，共有A
6
6
·A
4
7
种不同排
法．
同类题二
题面：
有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座
位相邻的不同坐法有(
)
A．36种 B．48种 C．72种
D．96种
答案：C.
详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个
空位不相邻，先排
三个人，然后插空，从而共A
3
3
A
2
4
＝72
种
排法，故选C.
3．题3 (插空法，三星)
题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少
隔一个空位．
1]没有坐人的7个位子先摆好，
[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所
成的8个空当中，有：
A
5
8
=6720种排法.
(法2)[1]5个男生先排好：
A
5
5
；
[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当
作5个排好的元素，
共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插
1个、2个、3个元素，
共有：
C
3
6
2C
21
6
C
6
种，
综上：有
A
5
C
3
2C
2C
1
5
(
666
)=6720种.
同类题一
题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有
4个歌舞节目，如果保持这些节目
的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列
方法有多少种
答案：
30
。
详解：
记两个小品节目分别为<
br>A
、
B
。先排
A
节目。根据
A
节目前后的歌
舞节目数目
考虑方法数，相当于把
4
个球分成两堆，有种方法。
这
一步完成后就有
5
个节目了。
再考虑需加入的
B
节目前后
的节目数，同理知有种
方法。故由分步计数原理知，方
法共有（种）。
同类题二
题面：
(2013年开封模拟)2位男生和3位女
生共5位同学站成
一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女
生相邻，则不同排法的
种数是( )
A．60 B．48
C．42 D．36
答案：B.
详解：
第一步选2女相邻排列C
2
3
·A<
br>2
2
，第二步与男—女排列
A
2
2
，第三步男生甲插
在中间，1种插法，第四步男—男
生插空C
1
4
，故有C
2
3
·A
2
2
·A
2
2
·C
1
4<
br>＝48种不同排法．
4.题4 (隔板法变形，三星)
题面：15个相
同
．．
的球，按下列要求放入4个写上了1、
2、3、4编号的盒子，各有多少种不同
的放法
(1)将15个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；
C
3
14364
(2)将15个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子
的编号数；
(3)将15个球放入盒子内，每个盒子不必非空；
(4)任取5个球，写上1-5编号，再放入盒内，使每个盒
子都至少有一个球；
(
5)任取10个球，写上1-10编号，奇数编号的球放入奇
数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号
的盒子．
解析：
(2)先将2、3、4号盒子分别放入1、2、3个球，剩下的
9
个球用挡板法，
C
3
8
=56
(3)借来4个球，转化为19个球
放入盒子内，每个盒子
非空，
C
3
18
816
(4)不能用“挡板法”，因为元素有差别.
(法1)必有一个盒子有2个球，
C<
br>2
5
A
4
4
240
；
(法2)先选3个球，分别排到4个盒子中的3个里，剩
下的盒子自然放2个球.
C
33
5
A
4
240
；
(法3)A
4
5
C
1
4
480
，会重！需要除2！
重复原因：1号盒子放1、5号球，先放1后放5与先放
5、后放1是一样的！
(5)(法1)每个球都有2种选择，共有
2
10
种方法；
(法2)奇数号的球有1、3、5、7、9，共5个，可以在1、
3号两个盒子中选一个放入，
共有：
C
5
C
4
C
3105
555<
br>C
2
5
C
5
C
5
2
种放法
，
同理放偶数号的球也有
2
5
种方法，综上共有
2
10<
br>种方法.
同类题一
题面：
某车队有7辆车，现要调出4辆
按一定顺序出去执行任
务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出
有_______
_种不同的调度方法(填数字)．
答案：120.
详解：
先从
除甲、乙外的5辆车任选2辆有C
2
5
种选法，连同甲、
乙共4辆车，排列在
一起，先从4个位置中选两个位置
安排甲、乙，甲在乙前共有C
2
4
种，最后
，安排其他两辆
车共有A
2
2
种方法，故不同的调度方法为C
25
·C
2
4
·A
2
2
＝120
种．
同类题二
题面：
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练
中,
有
5
架舰载机准备着舰,如
果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,
那么不同的着舰方法有（ ）
A．
12
B．
18
C．
24
答案：C.
详解：
分三步:把甲、乙捆绑为一个元素
A
,有A
2
2
种方
法;
A
与戊机形成三个“空”,把丙、 <
br>丁两机插入空中有
A
2
3
种方法;考虑
A
与戊机的排
法有
A
2
2
2
2
种方法.由乘法原理可知共有
A<
br>2
2
A
3
A
2
24
种不同
的着舰
方法.故应选C．
5. 题5(相同与不同，三星)
题面：某同学有同样的画
册2本，同样的集邮册3本，
从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的
赠送方法共
有( )
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
同类题一
题面：
(2013·北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张
参观
券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2
张参观券连号，那么不同的分法种数
是________．
答案：96.
详解：
按照要求要把序号分别为1
,2,3,4,5的5张参观券分
成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和
3,
3和4,4和5，故其方法数是4A
4
4
＝96.
同类题二
题面：
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不
站
两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排
法的种数是 （ ）
A. 360 B. 288 C. 216
D. 96
答案：288种.
详解：
分析排列组合的问题第一
要遵循特殊元素优先考
虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，
有
C<
br>2
A
2
3
种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有
2
种
方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把
三个男生任意排列，有
A<
br>2
3
中不同的排法，
然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成
D．
48
两个元
素插入4个位置中。有
A
2
4
种不同的排法，共有
A
22<
br>A
32
2
C
33
A
4
种不同的排法。然后再
考虑把男生甲站两
端的情况排除掉。
甲可能站左端，也可能是右端，有
C
1
2
种不同的方
法，然后其他两个男生排列有
A
2
2
种排法，最后把女生
在剩余的三个位置中排列，有
A
2
3
种不同的排
法。共
A
22122
2
C
3
C
2
A
2
A
3
种不同的排法， 故总的排法为
A
2232
—A
2122
2
C
3
A
3
A
2
42
C
3
C
2
A
2
A
3
=288
种不同的方法。
.题6(组合数的性质，二星)
题面：5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多
少种方法
(1)选出3人参加A活动；
(2)选出5人参加B活动；
(3)选出4人参加一项活动，女生甲必须参加；
(4)选出4人参加一项活动，女生甲不能参加.
答案：
同类题一
题面：
名教师，则不同的分配方案共有(
)
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个
答案：C.
医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的
详解：
组队方案共有 （
）
先分组再排列：将4名教师分成3组有C
2
4
种分法，
A.
70 种 B. 80种 C. 100 种
D.
140 种
答案：A.
详解：
分为2男1女，和1男2女两大类，共有
C
2
C
112
54
C
5
C
4
=70种
同类题二
题面：
男运动员6名，女运动员4名，其中男女
队长各1人.
选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
答案：（1）120种
（2） 246种.
详解：
（1）第一步：选3名男运动员，有C
3
6
种选法.
第二步：选2名女运动员，有C
2
4
种选法.
共有C
3
6
·C
2
4
=120种选法.
（2） 至少1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法数为
C
1
4
C
4
6
+C
2
4
C
3
6
+C
3
4C
2
6
+C
4
4
C
1
6
=2
46种.
.题7 (选和排，二星)
题面：从4名男生和3名女生中选出3人
，分别从事三
项不同的工作，若这3人中有且只有1名女生，则选派
方案共有多少种
法一：先选后排，
C
123
3
C
4
A
3
(C
1
A
1
33
)A
2
法二：边选边排
，
4
同类题一
题面：
将4名教师分配到3所中学任教，每所中
学至少1
再将这三组分配到三所学校有A
3
3
种分法，由分步乘法计
数原理，知一共有C
2
4
·A
3
3
＝36种不同分配方案．
同类题二
题面：
甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则
不同的站法种数是( )
A．258 B．306 C．336 D．296
答案：C.
详解：
根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：
第一类，有2人站在同一级
台阶，共有C
2
3
A
2
7
种不同的站
法；第二类，
一级台阶站1人，共有A
3
7
种不同的站法．根
据分类加法计数原理，得共有
C
2
3
A
2
7
＋A
3
7
＝336
(种)不同的
站法．
3．题一(合理分类，二星)
题面：若从1，2，
3，…，9这9个整数中同时取4个不
同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
同类题一
题面： 只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必
须同时使用，且同一数字不能相邻出现，
这样的四位数
有( )
A．6个 B．9个 C．18个
D．36个
答案：C.
详解：
注意题中条件的要求，一是三个数字必
须全部使用，二
是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C
1
3
＝3(种)选
法，即1231,1232,1233，而每种选择有A
2
2
×C
2
3
＝6(种)排
法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18
个．
同类题二
题面：
由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与
5相邻的六位偶数的个数是(
)
A．72 B．96 C．108
D．144
答案：C.
详解：
分两类：若1与3相邻，有A
2
2
·
C
1
3
A
2
2
A
2
3
＝72(个
)，若1与
3不相邻有A
3
3
·A
3
3
＝36(个
)
故共有72＋36＝108个．
题8
题面：5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多
少种方法
(1)选出4人参加一项活动，女生甲必须参加；
(2)选3人参加数学竞赛，至少有一名男生.
(法1)分类：1名、2名、3名男生：C
121
C
3
5
C
3
C
2
5
C
35
55
；
(法2)间接法——
C
3<
br>8
C
3
C
3
38
155
.
(法3)[1]先取1名男生；[2]再在剩下的7人中取3人；
C
12
6
5
C
7
5
7
2
105
同类题一
题面：
将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班
至
少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个
班，则不同分法的种数为
A.18
B.24
C.30
D.36
答案：C.
详解：
用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种
数是
C23
4
，顺序有
A
3
种，而甲乙被分在同一个班的有
A
3
3
种，所以种数是
C
2
4
A
33
3
A
3
30
同类题二
题面：
甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的
课程中至少有1门不相同的选法共有
（ ）
A. 6 B. 12 C. 30
D. 36
答案：C.
详解：
可以先让甲、乙任意选择两门，有
C
22
4
C
4
种选择方法，
然后再把两个人全不相同的情
况去掉，两个人全不相
同，可以让甲选两门有
C
2
4
种选法，然后
乙从剩余的两
门选，有
C
2
种不同的选法，全不相同的选法是
C22
24
C
2
种
方法，所以至少有一门不相同的选法为
C
2
C
2
22
44
—
C
4
C<
br>2
=30种不同的选法。
题9 (组合数性质，三星)某班分成五个小组，分别有5,6,7,8,9名同学，现从该班挑选2名同学参加比赛，且
这两名同学必须来自同一小组，共
有多少种不同的方案
同类题一
题面：
将甲、乙、丙、丁四名学生分到
三个不同的班，每个班
至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个
班，则不同分法的
总数为 （ ）
A. 18 B. 24 C.
30 D. 30
答案：C.
详解：
将甲、乙、丙、丁四
名学生分成三组，则共有
C
2
4
种不
同的分法，然后三组进行全排列
共
A
3
3
种不同的方法；
然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，
共
A
3
3
种不
同的排法。所以总的排法为
C
233
4
A
3
A
3
=30种不同的排
法。
同类题二
题面：
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至
少1名，最多2名，则不同的分配方案有
（A）30种 （B）90种 （C）180种
十位和千位排4,5，则其他位置任意排1,2,3，则
（D）270种
答案：B.
详解：
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至
少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，
12
另两组都是2人，有
C<
br>5
C
4
A
2
15
种方法，再将3组分
2
到3个班，共有
15A
3
3
90
种不同的分配方案，选
B.
题10 (组合的识别，四星)
题面：(1)“渐升数”是指
每个数字比它左边的数字大的正
整数(如1458),则四位“渐升数”共有多少个
(2)5
个男生3个女生排成一排，自左至右，男、女生分
别都从高到矮排(任意两人身高不同)，有多少种不同
排
法
(法1)8个位置中选5个排男生，剩下3个位置排女生，
C
5
C
3
8
8
，
注意：男生位置选定以后，女生顺序一定，只对应一种
排法.
(法2——除序)A
8
8
5
A
5
A
3
C
8<
br>.
53
(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5能组多少个不同的九位数多重排列
除
序
C
324
9
C
6
C
4
<
br>9!
3!2!4!
答案：150
同类题一
题面：
形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，
千位数字均比与它们各自
相邻的数字大，则由
1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为
______
__．
答案：16.
详解：
由题意可得，十位和千位只能是4,5或者3,
5.若
这样的数有A
2
2
A
3
3
＝12(个)；若
十位和千位排5,3，
这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相
邻，1,2在其余位置上任
意排列，则这样的数有
A
2
2
A
2
2
＝4(个)，
综上，共有16个．
同类题二
题面：
4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法
答案：
（1）144种.
（2）144种.
（3）6种.
详解：
（1）为保证“恰有1个盒不放
球”，先从4个盒子中任
意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个
盒子都要放入球
，共有几种放法”即把4个球分成2，
1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，
其
余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数
原理，共有C
1
4
C2
4
C
1
3
×A
2
2
=144种.
（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2
个球，每个盒子至多放1个球，也即另
外3个盒子中
恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰
有1个盒不放球”是同一
件事，所以共有144种放法.
（3）确定2个空盒有C
2
4
种方法.