神奇遥控器-1949年国庆阅兵

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一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
m
列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
n
.

1.公式：1.A
n
m
n

n1

n2
< br>……

nm1


n!


nm

!

2.
规定：0!1

(1)
n!n(n1)!,(n1)n!(n1)!

(2)
nn![(n1)1]n!(n1)n!n!(n1)!n!
； < br>(3)
n

n11

n1

1

1

1

(n1)!(n1)!(n1)!(n1)! n!(n1)!
三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素
中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
n

n 1

……

nm1

A
m
n!
1. 公式：
C
n

m!m!

nm

!
A
m
m
m
n
0

规定：C
n

1

01n

2.组合数性质：

C
n
m
C
n
n m
，C
n
m
C
n
m1
C
n
m
1
，C
n
C
n
……C
n
2
n


rrr1rrrrr1rrrr1

注：C
r
r
C
r
r
1
C
r
r
2
C
n
C
n
C
n1
C
n
C
r1
C
r1
C
r2
< br>1
C
n
C
r2
C
r2

1
C
n
C
n1
若
C
n
m
C
n
m
则m
1
=m
2
或m
1
+m
2
n

四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③
分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略
（1）两种思路：①直接法；
②间接法：对有限制 条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决
排列组合应用题时一种常用的解 题方法。
（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意 ：
分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理： 与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计
数原理解决。在处理排列组合 问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，
后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：
（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元
素优先考虑、特殊位置优先考虑；
（3）．相邻问题：捆邦法：
对 于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其
余元素排列， 然后再对相邻元素内部进行排列。
（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要 在某特殊位置时可采用插空
12
①；②；③；④
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法.即先安排好没 有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端
的空隙之间插入。
（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某几个元素按一定的顺序排 列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排
列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他 元素进行排列，剩余的几个位
置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排 法；若不要求，则
有2种排法；
（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 < br>对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其
余元 素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。
（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不 能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能
被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；
③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4
的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位
数字之和是3的倍数的偶数。
4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与
“不含” 用间接排除法或分类法:
3．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
4．分配问题：
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分配：（ 不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，
注意平均分堆除以均匀 分组组数的阶乘。
5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题
例1.电视台连续播 放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首
尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.

例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？

例. 有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到
高排列，有多少 种排法？

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的
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取法共有

2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛
（1）如果4人中男生和女生 各选2人，
有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；

（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须
既有男生又有女生，有 种选法



1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40 B．50 C．60 D．70

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

3．只用 1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻
出现，这样的四 位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个


4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其 中
女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规 定从
二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个 部门，其中两名英语翻译人员不能
分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则 不同的分配方案共有
( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种

7．已知集合
A
＝{5}，
B
＝{1,2 }，
C
＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐
标系中点的坐 标，则确定的不同点的个数为( )

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144

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9．如果在一周内 (周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，
要求甲学校连续参观两天 ，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班 ，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安
排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________ 种．(用数字作答)

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这 9个球排成一列有________
种不同的排法．(用数字作答)

12．将6位 志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场
馆服务，不同的分配方 案有________种(用数字作答)．



14. 将标号为1， 2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个
信封放2张，其中标号为1，2的卡片放 入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54
种
15. 某单位安排7位员工在10月1日 至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中
的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁 不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
14
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有
2A
2
2
A
4
A
4
种方法
113
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有
4
A
2
2
(
A
4
4
A
3
A
3
A
3
)
种方法
故共有1008种不同的排法


排列组合 二项式定理
1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办 法
（每一种都可以独立的完成这个事情）
分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法
2，排列
排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），
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按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数
A
n

公式
A
n
=
3，组合
组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素
中取出m个元素的一个组合
组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数
C
n

m
m
m
n!
规定0！=1
(nm)!
C
n
=
m
n!

m!(nm)!
m
nmmmm1
性质
C
n
=
C
n

C
n1

C
n

C
n




排列组合题型总结
一． 直接法
1 .特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四 位数
各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4 与5，6与7，8与9，将它们任意
三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

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Eg 三个女生和五个男生排成一排
（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法）
（2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻）
（3） 两端不能排女生
（4） 两端不能全排女生
（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法
二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，
有多少中插入方法？
捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种 ,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一
所 学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法
119
有（
C
29
）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一 个整体来
A
28
1
选有
C
29
其余的就是19所 学校选28天进行排列）
三． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一
人，名额分配方案共 种 。

五 平均分推问题
eg 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？
（1） 平均分成三堆，
（2） 平均分给甲乙丙三人
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（3） 一堆一本，一堆两本，一对三本
（4） 甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）
（5） 一人的一本，一人的两本，一人的三本



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