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排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象， 难以
找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组
合分清，加乘原理辩明 ，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问
题得以快速准确求解。

一．
直接法

1．
特殊元素法

例1用1，2，3，4，5， 6这6个数字组成无重复的四位数，试
求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择A
5
2
，其余2位有四个
可供选择
A
4
2，由乘法原理：
A
5
2
A
4
2
=240

2．特殊位置法

1
（2）当1在千位时余下三位有
A
5
3
=60，1不在千位时，千位有
A
4
1112
种选法， 个位有
A
4
种，余下的有
A
4
2
，共有
A
4
=192所以总共
A
4
A
4
有192+60=2 52

二．
间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）

可用间接法
A
6
4
2A
5
3
A
4
2
=252

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1 ，2与3，4与5，6
与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组
成多少 个不同的三维书

分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：
任取三张卡片可以组成不同的三位数C
5
3
2
3
A
3
3
个，其中0< br>在百位的有
C
4
2
2
2

A
2< br>2
个，这是不合题意的。故共可组成不
同的三位数
C
5
32
3
A
3
3
-
C
4
2
 2
2

A
2
2
=432（个）

三．
插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节
目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空
11
档变 为10个，故有
A
9
=100中插入方法。

A
10
四．
捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4
4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多
少种

分析：先 将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有
A
4
4
种

< br>排法，而男生之间又有
A
4
4
种排法，又乘法原理满足条件的排法有：
A
4
4
×
A
4
4
=576

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒
子不空，则不同的放法有 种（
C
4
2
A
3
3
）

2． < br>某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只
能安排一所学校，其中有一所学校 人数较多，要安排连续参观2天，
119
其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 （
C
29
）（注
A
28
意连续参观2天，即需把30天种 的连续两天捆绑看成一天作为一个
1
整体来选有
C
29
其余的就是1 9所学校选28天进行排列）

五．
阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮 球队，这12个人由8个班
的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名
额，可在12个名额种的11个空当 中插入7块闸板，一种插法对应一
7
种名额的分配方式，故有
C
11
种

练习1.(a+b+c+d)
15
有多少项

110
当项中只有一个字母时，有
C
4
种（即而指数只有15故< br>C
4
。

C
14
当项中有2个字母时，有
C
4
2
而指数和为15，即将15分配给2个

11
字 母时，如何分，闸板法一分为2，
C
14
即
C
4
2
C
14

2
当项中有3个字母时
C
4
3
指 数15分给3个字母分三组即可
C
4
3
C
14

3
当项种4个字母都在时
C
4
4
C
14
四者都相加即可．

练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子
2
里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法（
C
16
）

49
3．不定方程X
1
+X
2
+X
3
+…+X
50
=100中不同的整数解有（
C
99
）

六．
平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不
同的方法

分析：分出三堆书（a
1
,a
2
）,(a
3
,a
4
)，（a
5
,a
6
）由顺序不同可以有
3
=6种，而这6种分法只算一种分堆方 式，故6本不同的书平均分
A
3
22
C
6
2
C4
C
2
成三堆方式有=15种

3
A
3
练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法

2．某年级6个班的数学课 ，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每
人教两个班，则分派方法的种数。

七．
合并单元格解决染色问题

例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可

供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。

分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．

下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单
2,4
元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数
A
4
4

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色 相同时，与情形(ⅰ)类似同理
可得
A
4
4
种着色法．

（ⅲ）当2、4

2,4

与3、
3,5
5分别同 色时，将2、4；3、5分别合并，
这样仅有三个单元格

①

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有
C
3
3
4

A
3
种方法．

由加法原理知：不同着色方法共有 2
A
4
3
3
4

C
4
A
3
=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植




1

2


3

4

5

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻
的

不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）

2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花 圃，
花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种
一种且相邻部分不能栽 种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有
种（以数字作答）．（120）



5

6
1
4
B

2
3
A
C
D

E
试
验
田
不
能
种
植
同
一
作
物

，

图3 图4

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部
分不能用 同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合
这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，
每个单位的观众必须穿 同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，
不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制， 那么不同
D
C
B
E
A
的着色方法是 种（84）





4
1
2
3
图5 图6

5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两
端点异色， 若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共
种（420）

八．
递推法

例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一 级或两级，要走上
这10级楼梯，共有多少种不同的走法

分析：设上n级楼梯的走法 为a
n
种，易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时，

上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a
n-1
种走法，第二类是最后一步跨两级，有a
n-2
种走法，由加法原理知：a
n
=a
n-1
+
a
n-2
,据此，
a
3
=a
1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8,a
6
=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9
=55,a
10
=89.故
走上10级楼梯共有89种不同的方法。

九.几何问题

1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点， 使它
们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3
C
5
3
+3=33）

2.四面体的棱中点和顶点共 10个点（1）从中任取3个点确定一个平
面，共能确定多少个平面

3
(< br>C
10
-4
C
6
3
+4-3
C
4< br>3
+3-6C
3
4
+6+2×6=29)

(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥 三棱锥
C
10
4
-4 C
6
4
-6C
4
4
-3C
4
4
= 141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114

十．
先选后排法

例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10< br>人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ）

种 种 种 种

分析：先从10人中选出2人

十一．用转换法解排列组合问题

例10．某人连续射击8次有四次命 中，其中有三次连续命中，按“中”
与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个
黑球相邻的排列问题．
A
5
2
=20种

例11．
个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟
不同的带法．

解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相
同的黑球之间的9个空隙 种的排列问题．
C
9
5
=126种

例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然
数，有多少种不同的去法．

解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球
10
不相邻的 排列问题。
C
991

例13
某城市街道呈棋盘形，南北向大 街5条，东西向大街4条，一
人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．

解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同
的白球与四个相同的黑球 的排列问题．
C
7
3
=35（种）

例14
一 个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步

登两个台阶，一共有多少种 不同的走法．

解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登
两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球
6
的排列问题．
C
12
=924（种）．

例15
求（a+b+c）
10
的展开式的项数．

解 展开使的项为a
α
b
β
c
γ
,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2
2
个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．
C
12
=66（种）

例16
亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序
参加擂台赛 ，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方
2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜 ，形成一种
比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种

解 设亚洲队队员为 a
1
,a
2
，…,a
5
,欧洲队队员为b
1
，b
2
，…，b
5
，下
标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘 汰的队员为顺序．比赛过
程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰
的 队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的
6
白球和5个相同黑球排列问 题，比赛过程的总数为
C
10
=252（种）

十二．转化命题法

例17
圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连 一弦，这些弦在
圆内的交点最多有多少各

分析：因两弦在圆内若有一 交点，则该交点对应于一个以两弦的四
端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点 能
4
构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有
C
15
=1365
（个）

十三．概率法

例18
一天的课程 表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节
课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表 有多少种排
法

分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排
法的，即A=360种

十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没
有重复数字的七位数中，

（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个

（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的
有多少个

77
A
7
A
7
解（1）
3
（2）
34
A
3
A
3
A
4
1
2
1
2
1
2

十五．错位排列

例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张
别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）

公式 1）
a
n
(n1)(a
n1
a
n2
)
n=4时a
4
=3(a
3
+a
2
)=9种 即三个人有
两种错排，两个人有一种错排．

2）
a
n
=n !(1-+
1111
-+…+

1

n

1!2!3!n!
练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会
结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴
了别人的帽子，问5位客人都不戴自己 帽子的戴法有多少种（44）