高中数学排列组合题型总结
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排列组合题型总结
排列组合问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,
难以
找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时,除做到:排列组
合分清,加乘原理辩明
,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问
题得以快速准确求解。
一.
直接法
1.
特殊元素法
例1用1,2,3,4,5,
6这6个数字组成无重复的四位数,试
求满足下列条件的四位数各有多少个
(1)数字1不排在个位和千位
(2)数字1不在个位,数字6不在千位。
分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择A
5
2
,其余2位有四个
可供选择
A
4
2,由乘法原理:
A
5
2
A
4
2
=240
2.特殊位置法
1
(2)当1在千位时余下三位有
A
5
3
=60,1不在千位时,千位有
A
4
1112
种选法,
个位有
A
4
种,余下的有
A
4
2
,共有
A
4
=192所以总共
A
4
A
4
有192+60=2
52
二.
间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)
p>
可用间接法
A
6
4
2A
5
3
A
4
2
=252
例2 有五张卡片,它的正反面分别写0与1
,2与3,4与5,6
与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组
成多少
个不同的三维书
分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂,因而可使用间接计算:
任取三张卡片可以组成不同的三位数C
5
3
2
3
A
3
3
个,其中0<
br>在百位的有
C
4
2
2
2
A
2<
br>2
个,这是不合题意的。故共可组成不
同的三位数
C
5
32
3
A
3
3
-
C
4
2
2
2
A
2
2
=432(个)
三.
插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。
例3
在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节
目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法
分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空
11
档变
为10个,故有
A
9
=100中插入方法。
A
10
四.
捆绑法
当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。
例4
4名男生和3名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多
少种
分析:先
将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有
A
4
4
种
<
br>排法,而男生之间又有
A
4
4
种排法,又乘法原理满足条件的排法有:
A
4
4
×
A
4
4
=576
练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒
子不空,则不同的放法有
种(
C
4
2
A
3
3
)
2. <
br>某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只
能安排一所学校,其中有一所学校
人数较多,要安排连续参观2天,
119
其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有
(
C
29
)(注
A
28
意连续参观2天,即需把30天种
的连续两天捆绑看成一天作为一个
1
整体来选有
C
29
其余的就是1
9所学校选28天进行排列)
五.
阁板法
名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮
球队,这12个人由8个班
的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。
分析:此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名
额,可在12个名额种的11个空当
中插入7块闸板,一种插法对应一
7
种名额的分配方式,故有
C
11
种
练习1.(a+b+c+d)
15
有多少项
110
当项中只有一个字母时,有
C
4
种(即而指数只有15故<
br>C
4
。
C
14
当项中有2个字母时,有
C
4
2
而指数和为15,即将15分配给2个
11
字
母时,如何分,闸板法一分为2,
C
14
即
C
4
2
C
14
2
当项中有3个字母时
C
4
3
指
数15分给3个字母分三组即可
C
4
3
C
14
3
当项种4个字母都在时
C
4
4
C
14
四者都相加即可.
练习2.有20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子
2
里,要求每个盒子内的球数不少编号数,问有多少种不同的方法(
C
16
)
49
3.不定方程X
1
+X
2
+X
3
+…+X
50
=100中不同的整数解有(
C
99
)
六.
平均分堆问题 例6
6本不同的书平均分成三堆,有多少种不
同的方法
分析:分出三堆书(a
1
,a
2
),(a
3
,a
4
),(a
5
,a
6
)由顺序不同可以有
3
=6种,而这6种分法只算一种分堆方
式,故6本不同的书平均分
A
3
22
C
6
2
C4
C
2
成三堆方式有=15种
3
A
3
练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本,则有不同分法
2.某年级6个班的数学课
,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每
人教两个班,则分派方法的种数。
七.
合并单元格解决染色问题
例7
(全国卷(文、理))如图1,一个地区分为5个行政区域,
现给地图着色,要求相邻区域不
得使用同一颜色,现有四种颜色可
供选择,则不同的着色方法共有
种(以数字作答)。
分析:颜色相同的区域可能是2、3、4、5.
下面分情况讨论:
(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单
2,4
元格,此时不同的着色方法相当于4个元素
①③⑤的全排列数
A
4
4
(ⅱ)当2、4颜色不同且3、5颜色
相同时,与情形(ⅰ)类似同理
可得
A
4
4
种着色法.
(ⅲ)当2、4
2,4
与3、
3,5
5分别同
色时,将2、4;3、5分别合并,
这样仅有三个单元格
①
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有
C
3
3
4
A
3
种方法.
由加法原理知:不同着色方法共有
2
A
4
3
3
4
C
4
A
3
=48+24=72(种)
练习1(天津卷(文))将3种作物种植
1
2
3
4
5
在如图的5块试验田里,每快种植一种作物且相邻
的
不同的种植方法共
种(以数字作答) (72)
2.(江苏、辽宁、天津卷(理))某城市中心广场建造一个花
圃,
花圃6分为个部分(如图3),现要栽种4种颜色的花,每部分栽种
一种且相邻部分不能栽
种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有
种(以数字作答).(120)
5
6
1
4
B
2
3
A
C
D
E
试
验
田
不
能
种
植
同
一
作
物
,
图3
图4
3.如图4,用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色,相邻部
分不能用
同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合
这种要求的不同着色种数.(540)
4.如图5:四个区域坐定4个单位的人,有四种不同颜色的服装,
每个单位的观众必须穿
同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,
不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,
那么不同
D
C
B
E
A
的着色方法是
种(84)
4
1
2
3
图5
图6
5.将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两
端点异色,
若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法共
种(420)
八.
递推法
例八 一楼梯共10级,如果规定每次只能跨上一
级或两级,要走上
这10级楼梯,共有多少种不同的走法
分析:设上n级楼梯的走法
为a
n
种,易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时,
上n级楼梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级,有a
n-1
种走法,第二类是最后一步跨两级,有a
n-2
种走法,由加法原理知:a
n
=a
n-1
+
a
n-2
,据此,
a
3
=a
1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8,a
6
=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9
=55,a
10
=89.故
走上10级楼梯共有89种不同的方法。
九.几何问题
1.四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点,
使它
们和点A在同一平面上,不同的取法有
种(3
C
5
3
+3=33)
2.四面体的棱中点和顶点共
10个点(1)从中任取3个点确定一个平
面,共能确定多少个平面
3
(<
br>C
10
-4
C
6
3
+4-3
C
4<
br>3
+3-6C
3
4
+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥 三棱锥
C
10
4
-4
C
6
4
-6C
4
4
-3C
4
4
=
141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114
十.
先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10<
br>人中选派4人承担这三项任务,不同的选派方法有( )
种 种 种
种
分析:先从10人中选出2人
十一.用转换法解排列组合问题
例10.某人连续射击8次有四次命
中,其中有三次连续命中,按“中”
与“不中”报告结果,不同的结果有多少种.
解
把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个
黑球相邻的排列问题.
A
5
2
=20种
例11.
个人参加秋游带10瓶饮料,每人至少带1瓶,一共有多少钟
不同的带法.
解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相
同的黑球之间的9个空隙
种的排列问题.
C
9
5
=126种
例12
从1,2,3,…,1000个自然数中任取10个不连续的自然
数,有多少种不同的去法.
解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球,其其中黑球
10
不相邻的
排列问题。
C
991
例13
某城市街道呈棋盘形,南北向大
街5条,东西向大街4条,一
人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.
解 无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为3个相同
的白球与四个相同的黑球
的排列问题.
C
7
3
=35(种)
例14
一
个楼梯共18个台阶12步登完,可一步登一个台阶也可一步
登两个台阶,一共有多少种
不同的走法.
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登
两个台阶,因此,把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球
6
的排列问题.
C
12
=924(种).
例15
求(a+b+c)
10
的展开式的项数.
解 展开使的项为a
α
b
β
c
γ
,且α+β+γ=10,因此,把问题转化为2
2
个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题.
C
12
=66(种)
例16
亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有5名队员,按事先排好的顺序
参加擂台赛
,双方先由1号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方
2号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜
,形成一种
比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种
解 设亚洲队队员为
a
1
,a
2
,…,a
5
,欧洲队队员为b
1
,b
2
,…,b
5
,下
标表示事先排列的出场顺序,若以依次被淘
汰的队员为顺序.比赛过
程转化为这10个字母互相穿插的一个排列,最后师胜队种步被淘汰
的
队员和可能未参加参赛的队员,所以比赛过程可表示为5个相同的
6
白球和5个相同黑球排列问
题,比赛过程的总数为
C
10
=252(种)
十二.转化命题法
例17
圆周上共有15个不同的点,过其中任意两点连
一弦,这些弦在
圆内的交点最多有多少各
分析:因两弦在圆内若有一
交点,则该交点对应于一个以两弦的四
端点为顶点的圆内接四边形,则问题化为圆周上的15个不同的点
能
4
构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有
C
15
=1365
(个)
十三.概率法
例18
一天的课程
表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节
课,如果数学必须排在体育之前,那么该天的课程表
有多少种排
法
分析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为,故本例所求的排法种数就是所有排
法的,即A=360种
十四.除序法 例19
用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没
有重复数字的七位数中,
(1)若偶数2,4,6次序一定,有多少个
(2)若偶数2,4,6次序一定,奇数1,3,5,7的次序也一定的
有多少个
77
A
7
A
7
解(1)
3
(2)
34
A
3
A
3
A
4
1
2
1
2
1
2
十五.错位排列
例20
同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张
别人送出的卡片,则不同的分配方法有
种(9)
公式 1)
a
n
(n1)(a
n1
a
n2
)
n=4时a
4
=3(a
3
+a
2
)=9种
即三个人有
两种错排,两个人有一种错排.
2)
a
n
=n
!(1-+
1111
-+…+
1
n
1!2!3!n!
练习 有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会
结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,他们的妻子都发现他们戴
了别人的帽子,问5位客人都不戴自己
帽子的戴法有多少种(44)