谐音古诗大全-小孩子的时间

排列组合基础知识讲座


首先看一道简单的例题

例1：用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？

解答：
题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可
以组成多少个这样的2位数。假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都
是由1，2组成 ，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。由于和位置有关，
所以这是排列问题。
（注意：虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题）

排列公式的定义如下
n!
P
(nr)!

r
n
P
n
r
也可写成P（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示进行排列
的元素个数，！表示阶乘，例如6！=
654321
，5!=
54321
，
但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则
P（5,3）=
5!54321
60

(53)!21

在这个题目里，总共的元素个数是4 ，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排
列，所以r=2。根据公式
P（4,2）=
4!4321
12

(42)!21
因此共有12种组法。

下面我们一起来看考试当中出现的一个题目：
例2. 黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法?
解答：
假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白 、蓝） 和 （蓝、白、黄），可以
发现虽然 都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。很
明显这属于排列问题。在这里，总 共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中

取出3个进行排列，所以r=3。根据公式
P（3,3）=
3!321
6
（ 计算的时候注意0！=1）
(33)!1
因此共有6种排法。

如果我们把这个题目改一改，变成
例3 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几
种排法?

解答
这仍然属于排列问题，只不过r变成了2。在这里，总共的元素个数是3 ，所以
n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式
P（3,2）=
3!321
6
（ 计算的时候注意1！=1）
(32)!1
因此还是有6种排法。

下面我们这个题目再变一下
例4 黄、白、蓝三个球，任意取出两个，有几种取法?
解答：
假设我们第一次 取出黄球，第二次取出白球，或者第一次取出白球，第二次取出
黄球，可以发现虽然顺序不同，但都是同 一种取法，即（黄，白）和（白，黄）
是同一种取法。由于和取出的球的排列位置无关，因此这属于组合 问题。


组合公式的定义如下
n!
C
r!

nr

!

r
n
C
n
r
也可写成C（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示 进行组合
的元素个数，！表示阶乘，例如6！=
654321
，5!=
54321
，
但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则
C（5,3）=
5!54321
30

2!(53)!(21)(21)
另外，为便于计算，还有个公式请记住
rnr
C
n
C
n

例如C(6,2)=C(6,4)



在例4里，总共的元素个数是3 ，所以n=3，从所有元素中任意取出2个进行组
合，所以r=2。根据公式
C（3,2）=
3!321
3
（ 计算的时候注意1！=1）
2!(32)!21
因此有3种取法。


基础知识讲完后，我们进行一次随堂模拟考试，下面是公考中曾经出现过的题目

考试题1.
林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有
多少不同选择方法？

解答：

这里涉及到了解答排列组合问题中常用到一种方法：分步法。即
把完成一件事情的过程分成几步，每一步的可供选择的方案数相乘就
是总的可供选择的方案数。 例如完成一件事情需要两步，第一步有2
种选择，第二步有3种选择，如果不考虑完成顺序（即先完成第 一步
再完成第二步，或先完成第二步再完成第一步效果一样），则总的选
择数为2乘3等于6。

本题中，就餐分成三步，第一步挑选肉类，第二步挑选蔬菜，第三步挑选点
心。在每一步的挑选中，由于挑选的物品是同一种类（例如从四种蔬菜中挑选两
种，虽然种类不同，但挑 出的仍然是蔬菜，与挑选时的顺序无关），所以每一步
的挑选是组合问题。
第一步的选择数为C(3,1)=
3!321
3
，
2!(32)!21

第二步的选择数为C(4,2)=
4!4321
6

2!(42)!2121
4!4321
4

1!(41)!1321
第三步的选择数为C(4,1)=

由于不考虑挑选食物的顺序，所以总共有
C(3,1)C(4,2)C(4,1)36472
种

考试题2.
将五封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）
解答：
这个题 也采用分步法。分成五步，第一步将第一封信投入邮筒，第二步将第二封
信投入邮筒，……第五步将第五 封信投入邮筒。在每一步中，每一封信都有三个
邮筒的选择，即可选择数是3。由于结果与五封信的投递 次序无关，所以共有
33333243


考试题3：
从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？
解答：
这个题和 例题1有相似处，但要注意队与队之间的区别只与组成队员有关，而与
队员的排列顺序无关。例如，1, 2,3,4,5,6号队员组成一队，不论他们怎么排列，
123456和654321仍然是同一只队 。因为和位置无关，所以这是组合问题。

总共的元素个数是9 ，所以n=9，从所有元素中任意取出6个元素进行组合，
所以r=6。根据公式
C（9,6）=
9!
84

6!(96)!
因此有84种取法。
（注意：考试时只要求知道计算公式C（9,6），不要求具体计算）