冠心病最佳治疗方法-柔软华

1
除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累 排列组合问题得以快速准确求解。
直接法
特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=240
2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位 有种，余下的有，共有=192所以总
共有192+60=252
间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252
例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起
组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？
分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用 与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而
可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不 同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组
成不同的三位数-=432（个）
插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方
法？
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。
捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：先将男生捆绑在一起看成 一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足
条件的排法有：×=576
练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（）
某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所 学校人数较多，
要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意 连续参观2天，即需
把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选2 8天进行排列）
阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方
案 共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名 额种的11个空当中插入7块
闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种
练习1.(a+b+c+d)15有多少项？
当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。
当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即
当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可
当项种4个字母都在时 四者都相加即可．
练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编 号数，问
有多少种不同的方法？（）
3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有（）
平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3 ,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，
故6本不同的书 平均分成三堆方式有=15种
练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

2
2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
合并单元格解决染色问题
例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用
同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．
下面分情况讨论:
( ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数
（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得 种着色法．
（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格
①
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法．
由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）
练习1（天津卷（文））将3种作物种植
1 2 3 4 5



在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，
不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．（江苏、辽宁、天津卷（ 理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种
4种颜色的花，每部分栽 种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作
答）．（120）





图3 图4
3．如 图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反
复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5：四个区域坐定4个单 位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，
且相邻两区域的颜色不同，不 相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是
种（84）




图5 图6
5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色 可供使用，则不同
的染色方法共 种（420）
递推法
例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

2

3
分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a 2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是
最后一步跨一级，有an-1种走法，第 二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,
据此，a3 =a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a 9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89
种不同的方法。
九.几何问题
1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种
（3+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？
(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96
3×6=18 共有114
先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从1 0人中选派4人承担这三项任务，不同的选
派方法有（ ）
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
分析：先从10人中选出2人
十一．用转换法解排列组合问题
例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中 ，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．=20种
个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解 把问题转化 为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问
题．=126种
例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。
某城市街道 呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有
多少种．
解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问 题．=35
（种）
一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为 6个相同
的黑球与6个相同的白球的排列问题．=924（种）．
求（a+b+c）10的展开式的项数．
解 展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因 此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问
题．=66（种）
亚、欧 乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘
汰， 胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出
现的比赛过程有多少种？
解 设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，… ，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次
被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互 相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可
能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个 相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252
（种）
十二．转化命题法
圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？

3

4
分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两 弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆
周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因 此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）
十三．概率法
一天的课程表要排入语文、数 学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的
课程表有多少种排法？
分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所 求的
排法种数就是所有排法的，即A=360种
十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
解（1）（2）
十五．错位排列
例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种
（9）
公式 1） n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排．
2）=n!(1-+-+…+
练习 有五位客 人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他
们的妻子都 发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）



10.1排列与组合
10.1.1学习目标

掌握排列、组合问题的解题策略

10.1.2重点

（1），特殊元素优先安排的策略：
（2），合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（4）正难则反、等价转化的策略；
（5）相邻问题捆绑处理的策略；
（6）不相邻问题插空处理的策略。
10.1.3难点
综合运用解题策略解决问题。
10.1.4学习过程:
(1)知识梳理
1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有
m
1
种有不同的方法，在第2类中有
m
2
种不同的方法…… 在第n类型有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有
Nm
1m
2
m
n
种不同的方

4

5
法。
2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有m
1
种不同的方法，做第2步有
m
2
种不同的 方法……，做第n步有m
n
种不同的方法；那么完成这件事共有
Nm
1m
2
m
n
种不同的方
法。

特 别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原
理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分< br>步，做到不重复、不遗漏。
3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个
．．．．．．
元素的一个排列.
4． 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
m
从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示.
5．排列数公式：
A
m
n(n1)(nm1)
特别提醒 ：
（1）规定0! = 1
（2）含有可重元素的排列问题.
．．．．．．
n!
(mn,n,mN)

(nm)!
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a
1
，a
2
,…...a
n
其中限重复数为n
1
、n
2
……n
k
，且
n = n
1
+n
2
+……n
k
, 则S的排列个数等于
n
n!
.
n
1!n
2
!...n
k
!
例如：已知数字3、2、2，求其排列个 数
n
3!
3
又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数
n
3!
1
.
3!
1!2!
6．组合：从n个不 同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
m
7．组合数公式：
C
m

A
n
n(n1)

(nm1)
C
m

nn
m
A
m
m!
n!

m!(nm)!
nmm1m m
8．两个公式：①_
C
m
n
C
n
;
②
C
n
C
n
C
n1

特别提醒：排列与组合的联系与区别.
联系：都是从
n
个不同元素中取出
m
个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.


(2)典型例题
考点一:排列问题
例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端.




5

6









考点二:组合问题
例2, 男运动员6名，女运 动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派
方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
















考点三:综合问题
例3, 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？














6

7


10.1.5当堂测试
1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要 求其中男、女医生都有，则不同的组队方
案共有 （ ）
A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种

2，20 10年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、
礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的< br>选派方案共有 （ ）
A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种

3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个 奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为
（ ）
A,48 B, 12 C，180 D，162
.

4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女 同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则
选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A，150种 B，180种 C，300种 D，345种

5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（ ）
A，6 B，12 C 30 D36


6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B，328 C，360 D，648


7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数
为 （ ）
A，85 B，56 C，49 D，28

8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同 的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一
个班，则不同分法的总数为 （ ）
A，18 B，24 C，30 D，30

9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有 且只有两位女生相邻，则不同
排法的种数是 （ ）
A，360 B，288 C，216 D，96


10.1.6 参考答案

7

8
例1,解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A
1
4
种站法，然后其余5
15
人在另外5个位置上作全排列有A
5
5
种站 法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A
4
·A
5
=480（种）.
2
方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A
5< br>种站法，然后中间4人有A
4
4
种
2
站法，根据分步乘法计数 原理，共有站法：A
5
·A
4
4
=480（种）.
方法三 若对甲没有限制条件共有A
6
甲在两端共有2A
5
从总数中减去这两种情况的 排列数，
6
种站法，
5
种站法，
即共有站
5
法：A
6
6
-2A
5
=480（种）.
（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A
5< br>5
种站法，再把甲、乙
52
进行全排列，有A
2
2
种 站法，根据分步乘法计数原理，共有A
5
·A
2
=240（种）站法.
方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A
4
再在5个空档中选出一个供甲、 乙放入，有A
1
4
种站法，
5
种
412
方法，最后 让甲、乙全排列，有A
2
2
种方法，共有A
4
·A
5
·A
2
=240（种）.
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法” ，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A
4
4
种站法；
22
第二 步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A
5
种站法，故共有站法为A
4
4
·A
5
=480（种）.
52
也可用“间接法”，6 个人全排列有A
6
6
种站法，由（2）知甲、乙相邻有A
5
·A2
=240种站法，所以不相邻的
52
站法有A
6
6
- A
5
·A
2
=720-240=480（种）.
2
（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A
4
4
种 ，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A
2
种，故
共有A
4
（3A< br>2
4
·
2
）=144（种）站法.
方法二 先从甲、乙以 外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A
2
4
种，然后把甲、乙及中 间
2
2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A
3
3
种方法， 最后对甲、乙进行排列，有A
2
种方法，故共有
32
A
2
4
·A
3
·A
2
=144（种）站法.
4
（5）方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A
2
2
种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A
4
种，
4
根据分步乘法计数原理 ，共有A
2
2
·A
4
=48（种）站法.
方法二 首先 考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A
2
然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，
2
种站法，
24
有A
4
4
种站法，由分步乘法计数原理共 有A
2
·A
4
=48（种）站法.
54
（6）方法一 甲在左端的站法有A
5
5
种，乙在右端的站法有A
5
种，且甲在左端 而乙在右端的站法有A
4
种，共

8

5 4
有A
6
6
-2A
5
+A
4
=504（种 ）站法.
9
方法二 以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A
5
5< br>种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有
145114
A
1
4
·A
4
·A
4
种，故共有A
5
+A
4
·A
4
·A
4
=504（种）站法.
例2, 解 （1）第一步：选3名男运动员，有C
3
6
种选法.
第二步：选2名女运动员，有C
2
4
种选法.
2
共有C
3
6
·C
4
=120种选法. 3分
（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法数为
4233241
C
1
4
C
6
+C
4
C6
+C
4
C
6
+C
4
C
6
= 246种. 6分
方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.
5
从10人中任选5人有 C
10
种选法，其中全是男运动员的选法有C
5
6
种.
5
所以“至少有1名女运动员”的选法为C
10
-C
5
6
=2 46种. 6分
（3）方法一 可分类求解：
4
“只有男队长”的选法为C
8
；
4
“只有女队长”的选法为C
8
；
3
“男、女队长都入选”的选法为C
8
；
43
所以共有2C
8
+C
8
=196种选法. 9分
方法二 间接法：
5
从10人中任选5人有C
10
种选法.
555
其中不选 队长的方法有C
8
种.所以“至少1名队长”的选法为C
10
-C
8
=196种. 9分
44
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C
9< br>种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C
8
种选法.其中不含
444
女运动员的选法有C
5
种，所以不选女队长时的选法共有C
8
-C
5
种选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有
444
C
9
+C
8
-C
5
=191种.
例3,解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个 球，3个
盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3 个盒子中选1
212
个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数原理， 共有C
1
4
C
4
C
3
×A
2
=1 44种.
（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即 另外3个盒子中恰
有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事， 所以共有144种放法.

9

10
（3）确定2个空盒有C
2
4
种方法.
12
4个球放进2 个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C
3
4
C
1
A
2
种方法；第二类有序均
2
C
2
4
C
2
匀分组有
A
2
2
·A
2
2
种 方法.
2
C
2
4
C
2
故共有C
2
4
( C
3
4
2
C
1
1
A
2< br>+
A
2
2
·A
2
2
）=84种.
当堂检测答案
1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男 、女医生都有，则不同的组队方
案共有 （ ）
A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种
2112
解 析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有
C
5
=70种，
C
4
C
5
C
4
解题策略：合理分类与准确分步的策略。
2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游 、
礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则 不同的
选派方案共有 （ ）
A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种
解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选， 先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工
113
作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列 有
C
2
种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，
C
2
A
3
22
然后再剩余的3人中选2人排列有
A
3
种方法。
A
2
共有24+12=36种选法。
解题策略：：1，特殊元素优先安排的策略。
2，合理分类与准确分步的策略。
3，排列、组合混合问题先选后排的策略。
3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个 数为
（ ）
A,48 B, 12 C，180 D，162
1
解析：分为两大类：（1）含有0，分步1 ，从另外两个偶数中选一个，
C
2
种方法，2，从3个奇数中选两个，有
1< br>种方法；4，其他的3个数字进行全排列，
C
3
2
种方法；3，给0安 排一个位置，只能在个、十、百位上选，有
C
3
312132
有
A< br>3
种排法，根据乘法原理共
C
2
种方法。（2）不含0，分步，偶数必 然是2，4 ；奇数有
C
3
种不
C
3
C
3A
3
24
4
同的选法，然后把4个元素全排列，共
A
4
种排法，不含0 的排法有
C
3
A
4
种。根据加法原理把 两部分加一块得
24
1213
+
C
3
A
4
=180.
C
2
C
3
C
3
A
3< br>解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。
2，合理分类与准确分步的策略。
3，排列、组合混合问题先选后排的策略。
4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同 学，则
选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A，150种 B，180种 C，300种 D，345种
解析：4人中恰有1名女同 学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法

10

112211
共有
C
5
C
3C
6
C
5
C
6
C
2
种选法。
11
解题策略：合理分类与准确分步的策略。
5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（ ）
A，6 B，12 C 30 D36
22
解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有
C
4
种选择 方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全
C
4
2222
不相同 ，可以让甲选两门有
C
4
种选法，然后乙从剩余的两门选，有
C
2
种不同的选法，全不相同的选法是
C
4
C
2
22
种 方法，所以至少有一门不相同的选法为
C
4
—
C
4
22
=30种不同的选法。
C
4
C
2
解题策略：正难则反，等价转化的策略。


6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B，328 C，360 D，648

解析：
9

CCC

8 1
2
第一类个位是零，共
A
9
种不同的排法。

8 8 4
111
第二类个位不是零，共
C
4
种不同的解法。
C
8
C
8
解题策略：合理分类与准确分步的策略.
7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数
为 （ ）
A，85 B，56 C，49 D，28
2112
解析：合理分类，甲乙全被选中，有
C
2
种 选 法，甲 乙有一个被选中，有
C
2
种不同的选法，共
C
7
C7
2112
+
C
2
=49种不同的选法。
C
2
C
7
C
7
解题策略：
（1）特殊元素优先安排的策略，
（2）合理分类与准确分步的策略.
8，将甲、 乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一
个班 ，则不同分法的总数为 （ ）
A，18 B，24 C，30 D，30
2
将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有C
4
种不同的分法，然后三组进行全排列共
3323
种不同的方法；然 后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共
A
3
种不同的排法。所以总的排法为
C
4
—
A
3
A
3
3
=30种不同的排法 。
A
3
注意:
这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。
这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。
解题策略：
1正难则反、等价转化的策略

11

12
2相邻问题捆绑处理的策略
3排列、组合混合问题先选后排的策略；
9，3位男生 和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同
排法的 种数是 （ ）
A，360 B，288 C，216 D，96
解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考 虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，
22
有
C
3
种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有
A
2
种方法；这样选出两名女生后，再考虑 男生的问题，先把
2
三个男生任意排列，有
A
3
中不同的排法，

2
然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有< br>A
4
种不同的排法，共有
232
种不同的排法。然后再考虑把男生甲站 两端的情况排除掉。
A
2
C
3
2
A
3
A
4



12
甲可能站左端，也可能是右端，有
C
2
种 不同的方法，然后其他两个男生排列有
A
2
种排法，最后把女生在剩余
221 2
的三个位置中排列，有
A
3
种不同的排法。共
A
2
C
3
2
C
2
A
2
A
3
2
种不同的排法， 故总的排法为
232212
----
A
2
A2
C
3
2
A
3
A
4
C
32
C
2
A
2
A
3
2
=288种不同的 方法。
本题难度大，体现的排列组合的解题策略多：
（1）特殊元素优先安排的策略：
（2）合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（4）正难则反、等价转化的策略；
（5）相邻问题捆绑处理的策略；
（6）不相邻问题插空处理的策略。
解排列组合的应用题要注意以下几点：
（1）
（2）
仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。
深 入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考
虑。
（3） 对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简 单
的基本问题后用两个计数原理来解决。
（4） 由于排列组合问题的答案一般数目较大，不 易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的
解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不 同的方法求解。看看结果是否相同，在对排列组合问
题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复 。



12