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排列组合专题复习及经典例题详解
1. 学习目标
掌握排列、组合问题的解题策略
2.重点
（1）特殊元素优先安排的策略：
（2）合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（4）正难则反、等价转化的策略；
（5）相邻问题捆绑处理的策略；
（6）不相邻问题插空处理的策略．
3.难点
综合运用解题策略解决问题．
4.学习过程:
(1)知识梳理
1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有 几类办法，在第一类办法中有
m
1
种不
同的方法，在第2类办法中有
m
2
种不同的方法„„在第n类型办法中有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有
Nm
1
m
2
...m
n< br>种不同的方法．
2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有
m
1
种不
同的方法，做第2步有
m
2
种不同的方法 „„，做第n步有
m
n
种不同的方法；那么完成这
件事共有
Nm< br>1
m
2
...m
n
种不同的方法．
特别提醒：
分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；
分步计 数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这
两个原理进行正确地 分类、分步，做到不重复、不遗漏．
3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列，
mn
时叫做选 排列，
mn
时叫做全排列.
4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个 元素的所有排列的个数，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的排列数，用符号
P
n< br>m
表示.
5．排列数公式：
P
n
n(n1)(n2) ...(nm1)
排列数具有的性质：
P
n1
P
n
mP
n
mmm1
m
n!
（mn,n、mN
）

(nm)!

特别提醒：
规定0!=1

1

6．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素 ，组成一组，叫做从n个不
同元素中取m个不同元素的一个组合.
7．组合数：从n个不同 元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个
m
不同元素中取出m个不同元 素的组合数，用符号
C
n
表示.
P
n
m
n(n 1)(n2)...(nm1)n!
8．组合数公式：
C
m


m!m!(nm)!
P
m
m
n
mnm
mmm1
组合数的两个性质：①
C
n
；②
C
n

C
n
1
C
n
C
n
特别提醒：排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者
无顺序关系.
(2)典型例题
考点一:排列问题
例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端.
【解析】：(1)方法 一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有
P
4
种
站法 ，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有
P
5
5
种站法，根据分步乘法计 数原理，共
有站法：
P
4
1
P
5
5
48 0(种)

方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有
P
5
2
种
24
站法，然后中间4人有
P
4
种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：
P

（种）
5
P
4
480
4
1
方法三：若对甲没有限制条件共有
P
6< br>6
种站法，甲在两端共有
2P
5
5
种站法，从总
数中 减去这两种情况的排列数，即共有站法：
P
6
2P(种)

5480
（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有P
5
5
种
站法，再把甲、乙进行全排列，有
P
2
种站法，根据分步乘法计数原理，共有
P
5
P
2
240(种)< br>方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有
P
4
种站法，再在5个空档中选 出一个供甲、
12
乙放入，有
P
5
1
种方法，最后让甲、乙 全排列，有
P
2
种方法，共有
P
4
4
P(种)
5
P
2
240
2
4
2
65
52

2

（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用 “插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人
站队，有
P
4
4
种站法 ；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有
P
5
2
种站< br>2
法，故共有站法为
P
4
4
P

（种）5
480
此外，也可用“间接法”，6个人全排列有
P
6
6< br>种站法，由（2）知甲、乙相邻有
P
5
5
P
2
2240
种站法，所以不相邻的站法有
P
6
6
P
5< br>5
P
2
2
720240480(种)
.
（4 ）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有
P
4
4
种，然后将甲、乙按 条件插入站队，
有
3P
2
2
种，故共有
P
4
4

站法.
（3P
2
2
）144（种）
方法 二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有
P
4
2种，
然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有
P
33
种方法，最后对甲、
32
乙进行排列，有
P
2
种方法 ，故共有
P
4
2
P
站法.
（种）
3
P< br>2
144
2
（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有
P
2
2
种，再让其他4人在中间位置作
全排列，有
P
44
种，根据分步乘法计数原理，共有
P
2
2
P
4
4
48
站法.
（种）
方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站 有
P
2
种站法，然后考虑中间4个位
置，由剩下的4人去站，有
P< br>4
种站法，由分步乘法计数原理共有
P
2
P
4
48
站法.
（种）
（6）方法一：甲在左端的站法有
P
5
5< br>种，乙在右端的站法有
P
5
5
种，甲在左端而且乙在右端
的站 法有
P
4
种，故甲不站左端、乙不站右端共有
P
6
6
-2
P
5
5
+
P
4
=504（种）站法. 方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有
P
5
5
种站法，②甲在 中间4个位置之一，
而乙又不在右端有
P
4
P
4
P
4
种，故共有
P
5
5
+
P
4
P
4
P
4
=504（种）站法.
考点二:组合问题
114114
44
424
2
例2. 男运动员6名，女运动员4名， 其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.
在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
【解析】：（1）选法为
C
6
C
4
120
.
（种）
32

3

（2）方法一：至少1 名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女
1男.
14233241
由分类计数原理可得总选法数为
C
4
.
C
6
C
4
C
6
C
4
C
6C
4
C
6
246（种）
方法二：因“至少1名女运动员”的 反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.
5
5
从10人中任选5人有
C
10
种选法，其中全是男运动员的选法有
C
6
种.
55
所以“至少有1名女运动员”的选法
C
10
.
C
6
246（种）
（3）方法一：可分类求解：
44
“只有男队长”的选法为
C
8
；“只有女队长”的选法为
C
8
；“男、女队长都入选”的选
343
法为
C
8
；所以共有2
C
8
+
C
8
=196（种）选法.
5
5
方法二：间接法：从10人中任选5人有
C
10
种选法.其中不选队长的方法有C
8
种.
5
5
所以“至少1名队长”的选法为
C10
-
C
8
=196种.
4
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有
C
9
种选法；
44
不选女队长时，必选男队长，共有
C
8
种选法，而且其中不含女运动员 的选法有
C
5
种，
44
所以不选女队长时的选法共有
C8
种选法.
C
5
44
所以既有队长又有女运动员的选法共有
C
9
(C
8
4
C
5
)191
种.
考点三:综合问题
例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”， 先从4个盒子中任意取出去一个，问题转
化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法 ？”即把4个球分成2，1，
1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个 盒子内，由分步
1212
乘法计数原理，共有
C
4
C
4C
3
P
2
144种
；
（2）“恰有1个盒内有2个 球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也
就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此 ，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不
放球”是同一件事，所以共有144种放法.
（3）确定2个空盒有
C
4
种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2 ）两类：
第一类有序不均匀分组有
C
4
C
1
P
2
8
种方法；
312
2

4

22
C
4
C
2
2
第二类有序均匀分组有
 P
2
6
种方法.
2
P
2
22
C
4
C
2
2
故共有
C（CCPP）84
种.
2
2
P
2
2
4
3
4
12
12< br>当堂测试
1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医 生都有，
则不同的组队方案共有 （ ）
A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种
2112
【 解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有
C
5
C
4
C5
C
4
70
种．
解题策略：合理分类与准确分步的策略．
2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分
别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其
余三人均能从 事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）
A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种
【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人 入选，先从两人中选1人，
113
然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行 全排列有
C
2
C
2
P
3
24
种选
法．（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有
P
2
2
 2
种方法，然后在剩
113
余的3人中选2人做后两项工作，有
P
3
3
6
种方法．故共有
C
2

C
2
P
3
P
2
2
P
3
3
36
种 选法．
解题策略：①.特殊元素优先安排的策略．
②.合理分类与准确分步的策略．
③.排列、组合混合问题先选后排的策略．
3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取 两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位
数的个数为（ ）
A.48 B.12 C.180 D.162
【解析】：分为两大 类：（1）含有0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有
C
2
种方法，
2< br>②.从3个奇数中选两个，有
C
3
种方法；③.给0安排一个位置，只能在个、 十、百位上选，
1
有
C
3
种方法；④.其他的3个数字进行全排列， 有
P
3
3
种排法，根据乘法原理共有
1213
C
2
C
3
C
3
P
3
108
种方法．（2）不 含0，分步：①偶数必然是2和4 ；②奇数有
C
3
2
种不
24同的选法，③然后把4个元素全排列，共
P
4
种排法，不含0 的排法有
C
3
P
4
72
种．根
4
1
据加法原理把 两部分加一块得108+72=180个
4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2 名女同学．若从甲、乙两组中各
选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）

5

A.150种 B.180种 C.300种 D.345种
【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1 名女同学或来自甲组，或来自乙
112211
组，则所有不同的选法共有
C
5
C
3
C
6
C
5
C
6
C
2
345
种选法．
解题策略：合理分类与准确分步的策略．
5.甲、乙 两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共
有（ ）
A.6 B.12 C.30 D.36
【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：
⑴．甲、乙所 选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有
22
C
4< br>C
2
6
种．
⑵．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步 ：①从4门中先任选一门作为相同的
1
课程，有
C
4
4
种 选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门，
11111
有
C
3
C
2
6
种选法，由分步计数原理此时共有
C
4
C
3
C
2
24
种．
最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．
故选C．
22
法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有
C
4
C
4
36
种方法，然后再把两个人
全相同的情况去掉，两个人全相同，可 以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有
2222
C
4
6
种选法，所以至少有一门不相同的选法为
C
4
C
4
C
4< br>30
种不同的选法．
解题策略：正难则反，等价转化的策略．
6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数
为 （ ）
A.324 B.328 C.360 D
.648
111
【解析】：第一类个位是0，共
P
9
2
种不同的排法；第二类个位不是0，共
C
4
C
8
C
8
种不同的
111
解法．故共有
P
9
2
+
C
4
C
8
C
8
=328（个）．
解题策略：合理分类与准确分步的策略.
7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则 甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的
不同选法的总数为（ ）
A.85 B.56 C.49 D.28
【解析】：合理分类，甲、乙 全被选中，有
C
2
C
7
种选法，甲、乙有一个被选中，有
C
2
C
7
种
不同的选法，共
C
2
C
7
+
C
2
C
7
=49种不同的选法．
解题策略：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.
2112
2112

6

8.将甲、乙、 丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名
学生不能分到同一个班，则 不同分法的总数为（ ）
A.4 B.18 C.24 D.30
2
【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有
C
4< br>种不同的分法，然后三组进行
全排列共
P
3
3
种不同的方法； 最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共
P
3
3
种不同的排
2
法．所以总的排法为
C
4
P
3
3
-
P3
3
=30种．
注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题．
解题策略：
⑴.正难则反、等价转化的策略
⑵.相邻问题捆绑处理的策略
⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略；
解排列组合的应用题要注意以下几点：
仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分
步．深入分析，严 密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分
析，全面考虑．
对限 制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解
成若干简单的基本问题 后用两个计数原理来解决．
由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时 ，应着重检
查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解．看看结果是否< br>相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复．

7